1、集宁一中东校区2019-2020学年第一学期第二次月考高二年级理科数学试题第I卷（选择题 共60分）一、选择题（下列各题中每小题只有一项是符合题意的的.每小题5分，共60分）1.命题“”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据命题否定的定义进行求解，注意对关键词“任意”的否定.【详解】解：由全称命题的否定为特称命题可知：“”否定是“，”，故选D【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题2.若，则“”是“成等差数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【详解】由得b-
2、a=c-b，所以成等差数列；反之，因为成等差数列，所以b-a=c-b，即，故“”是“成等差数列”的充要条件，故选C.3.已知椭圆的一个焦点坐标为，则k的值为（ ）A. 1B. 3C. 9D. 81【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的方程，通过焦点坐标为（2，0），求解k即可【详解】解：椭圆的一个焦点坐标为（2，0），可得2，解得k9故选C【点睛】本题考查椭圆简单的几何性质，考查基本量的关系，属于基础题.4.设等差数列的前项和为，则等于（ ）A. 132B. 66C. 110D. 55【答案】A【解析】【分析】设等差数列的公差为d,根据题意明确公差，进而得到，又，从而得到结果.【详解】设等差数列
3、的公差为d,则即，故选A【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，考查等差数列的性质，是基础题5.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程得到a，b关系，求解即可【详解】解：抛物线y224x的焦点：（6，0），可得c6，双曲线的渐近线的倾斜角为60，双曲线的焦点坐标在x轴上可得，即，36a2+b2，解得a29，b227所求双曲线方程为：故选A【点睛】本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力6.到定点(
4、2,0)的距离与到定直线的距离之比为的动点的轨迹方程（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设动点的坐标为（x，y），利用动点P到定点（2，0）的距离与到定直线x8的距离之比为可得方程，化简，由此能求出轨迹的方程【详解】解：由题意，设P（x，y），则 ，化简得轨迹方程是x2+2y2+8x560故选A【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，考查计算能力，属于基础题7.已知双曲线满足,且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用待定系数法求解双曲线方程即可.【详解】由题意可得椭圆的焦点坐标为，据此可得，双曲线方程中：，解得：，双曲线的方程为
5、.本题选择A选项.【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出的值即可.8.已知P是椭圆E：上异于点，的一点，E的离心率为，则直线AP与BP的斜率之积为 A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用点P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积的不等式，建立等式，考查椭圆的方程，即可确定a，b的关系，从而通过椭圆的离心率，求解即可详解】设，点，椭圆E：，椭圆的离心率为，则，所以，点P与椭
6、圆长轴两顶点连线的斜率之积为：，故选C【点睛】本题考查斜率的计算，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题9.点P是抛物线上一动点，则点P到点的距离与P到直线的距离和的最小值是（ ）A. B. C. 3D. 【答案】D【解析】【分析】先求出焦点及准线方程，过P作PN 垂直直线x1，有|PN|PF|，连接F、A，有|FA|PA|+|PF|，从而只求|FA|即可【详解】由y24x得p2，1，所以焦点为F（1，0），准线x1，过P作PN 垂直直线x1，根据抛物线的定义，抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离，所以有|PN|PF|，连接F、A，有|FA|PA|+|PF|，所以P为AF与抛物
7、线的交点，点P到点A（0，1）的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值为|FA|，所以点P到点的距离与P到直线的距离和的最小值是.故选D【点睛】本题考查抛物线的定义及简单性质，考查数形结合思想，属中档题10.已知数列的前项积为，且满足，若，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，求出前项，确定数列是以为周期的数列，求出前项的乘积，即可求出结果.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以数列以为周期，又，所以.故选B【点睛】本题主要考查周期数列的应用，会根据递推公式推出数列的周期即可，属于常考题型.11.实数满足条件.当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为
8、（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先将目标函数化为，由题中约束条件作出可行域，结合图像，由题意得到，再由，结合基本不等式，即可求出结果.【详解】由得，因为，所以直线的斜率为，作出不等式对应平面区域如下：由图像可得：当直线经过点时，直线在轴截距最小，此时最小由解得，即，此时目标函数的最小值为，即，所以.当且仅当，即时，等号成立.故选D【点睛】本题主要考查简单线性规划与基本不等式的综合，熟记基本不等式，会求解简单的线性规划问题即可，属于常考题型.12.如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案
9、】D【解析】【详解】试题分析：由椭圆与双曲线的定义可知，|AF2|AF1|4，|AF2|AF1|2a(其中2a为双曲线的长轴长)，|AF2|a2，|AF1|2a，又四边形AF1BF2是矩形，|AF1|2|AF2|2|F1F2|2(2)2，a，e.考点：椭圆的几何性质第卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上）13.设，则四个数，中最小的是_【答案】【解析】【分析】根据基本不等式，先得到，再由作商法，比较与，即可得出结果.【详解】因为，所以，又，所以，综上，最小.故答案为【点睛】本题主要考查由不等式性质比较大小，熟记不等式的性质，以及基本不等式即
10、可，属于常考题型.14.若实数满足，则取值范围是_【答案】【解析】【分析】先由约束条件作出可行域，化目标函数为，令，则表示平面区域内的点与定点连线的斜率，结合图像求出的范围，进而可求出结果.【详解】由约束条件作出可行域如下：因为，令，则表示平面区域内的点与定点连线的斜率，由图像可得：；由直线，易得，因此，所以，所以.故答案为【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，根据约束条件作出可行域，会分析目标函数的几何意义即可，属于常考题型.15.设F为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上的三点，若，则_【答案】18【解析】【分析】根据，可判断点F是ABC重心，进而可求x1+x2+x3的值，再根据抛物线的
11、定义，即可求得答案【详解】解：抛物线焦点坐标F（3，0），准线方程：x3设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），点F是ABC重心，x1+x2+x39 再由抛物线的定义可得|FA|x1（3）x1+3，|FB|x2（3）x2+3，|FC|x3（3）x3+3，|+|+|x1+3+x2+3+x3+318，故答案为18【点睛】本题考查三角形的重心坐标公式，抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，求得x1+x2+x3的值是解题的关键16.已知数列的前项和，若此数列为等比数列，则_【答案】【解析】【分析】先由，求出，；再由数列是等比数列，得到也满足，列出等式，即可求出结果.【详解】因为数
12、列的前项和，所以， ；又，因为数列为等比数列，则也满足，即，解得.故答案为【点睛】本题主要考查由等比数列前项和求参数，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.三、解答题（共70分）17.已知为实数.命题：方程表示双曲线；命题：对任意，恒成立.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题“或”为真命题、“且”为假命题，求实数的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由真可得,解不等式即可得到所求范围；(2)由真可得判别式小于0 ,解得的范国，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取
13、值范围.【详解】（1）若命题为真命题，则，即的取值范围是.（2）若命题为真命题，则，解得.即.命题“或”为真命题、“且”为假命题，和中有且仅有一个正确.若真假，则，解得；若假真，则，解得或.所以，综上所述：的取值范围为.【点睛】本题通过判断或命题、且命题真假，综合考查双曲线的方程以及不等式恒成立问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.18.已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上，离心率为，且过点.（1）求双曲线的方程； （2）若点在双曲线上，求 的面积.【答案】（1）；(2).【解
14、析】【分析】（1）设出双曲线的方程，代入点P的坐标，即可得到双曲线的方程；（2）利用点M（3，m）在双曲线上，求出m值，进而利用S|F1F2|m|，即可求F1MF2的面积【详解】解：（1），可设双曲线的方程x2y2双曲线过点P（4，），1610，即6双曲线的方程x2y26（2）由（1）知，双曲线中ab，|F1F2|4点M（3，m）在双曲线上，9m26，|m|F1MF2的面积为S|F1F2|m|6即F1MF2的面积为6【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查三角形面积的计算，确定双曲线的方程是关键19.已知点，椭圆的离心率为是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为2，O为坐标原点（1）求E的方程；（2）
15、设过点且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两M、N，且，求k的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由题意可知：ac，利用直线的斜率公式求得c的值，即可求得a和b的值，求得椭圆E的方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程由韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，求得直线l的方程【详解】解：（1）由离心率e，则ac，直线AF的斜率k2，则c1，a，b2a2c21，椭圆E的方程为；（2）设直线l：ykx，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，整理得：（1+2k2）x2kx+40，（k）244（1+2k2）0，即k2，x1+x2，x1x2，即,解得：或（舍去）k，【点睛】本题
16、考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，弦长的计算，考查转化思想以及计算能力20.已知为坐标原点，抛物线与直线相交于两点(1)求证：；(2)当的面积等于时，求实数的值【答案】(1)见解析.(2) .【解析】【分析】(1)将直线方程与抛物线方程联立，得到一元二次方程，通过根与系数的关系，结合两直线斜率乘积为，即可说明两直线垂直；(2)求出直线与轴交点，表示出三角形的面积，根据面积为，解方程即可求出实数的值.【详解】（1）显然直线的斜率存在且联立，消去，得如图，设，则，由根与系数的关系可得，因为在抛物线上，所以，因为，所以(2)设直线与轴交于点，令，则，即因为，所以，解得【点睛】(1)直线与抛
17、物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式21.设，为正项数列的前n项和，且.数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1) ；(2).【解析】【分析】（1）n1时，解得a11，n2时，anan11，由此求出数列an是以1为首项，1为公差的等差数列，从而an的通项公式，由已知得bn是首项为3，公比为3的等比数列，从而的通项公式；（2）利用错位相减法能求出数列cn的前n项和Tn【详解】
18、解：（1）n1时，2S12 a1a12+a1，a12a10，解得a10（各项均为正数，舍去）或a11，n2时，2Snan2+an，2Sn1an12+an1，2Sn2Sn12anan2+anan12an1an2an12anan10（an+an1）（anan11）0数列各项均为正，anan11，数列an是以1为首项，1为公差的等差数列an1+n1n数列bn满足b12，bn+1=3bn+2（n2，nN *），是首项为3，公比为的等比数列，（2）由（1）可知：cnanbnn，Tn3+23，3Tn，得：3 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的
19、合理运用22.已知动点P与平面上两定点，连线的斜率的积为定值（1）试求出动点P的轨迹方程C；（2）设直线与曲线C交于M，N两点，判断是否存在k使得面积取得最大值，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由【答案】（1）1（x2），（2）见解析【解析】【分析】（1）由斜率之积即可求出轨迹方程；（2）把直线方程，与（1）中方程联立，利用根与系数关系，表示面积，求最值即可【详解】解：（1）设P（x，y），有kPAkPB得整理可得1（x2），C的方程为1（x2），（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），其坐标满足 消去y并整理得（4k2+1）x2+8kx0，故，即，此时，直线方程为：【点睛】本题以斜率为载体，考查曲线方程的求解，关键是利用斜率公式，考查直线与椭圆的位置关系，考查了椭圆内三角形面积的最值问题