1、2013天水一中信息卷数学文第卷为选择题，共60分；第卷为非选择题共90分。满分100分，考试时间为120分钟。第卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的1已知集合，集合，则（ ）ABCD【答案】D【KS5U解析】因为集合，集合，所以。2已知是虚数单位，则等于（ ）ABCD【答案】A【KS5U解析】。3一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A12 B11 C D【答案】A【KS5U解析】由三视图知：该几何体为四棱锥，四棱锥的底面是边长为3和4的长方形，四棱锥的高是3，所以该几何体的体积为。3若数列的前n项
2、和为，则下列命题：（1）若数列是递增数列，则数列也是递增数列；（2）数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数；（3）若是等差数列（公差），则的充要条件是（4）若是等比数列，则的充要条件是其中，正确命题的个数是（ ）A0个B1个C2个D3个【答案】B【KS5U解析】数列的前n项和为，故 ，若数列是递增数列，则数列不一定是递增数列，如0 时，数列是递减数列，故（1）不正确；由数列是递增数列，不能推出数列的各项均为正数，如数列：0，1，2，3，满足是递增数列，但不满足数列的各项均为正数，故（2）不正确；若是等差数列（公差d0），则由不能推出，例如数列：-3，-1，1，3，满足，但 ，故（3）不正
3、确；若是等比数列，则由可得数列的公比为-1，故有；由可得数列的公比为-1，可得，故（4）正确5执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）A3 B6 C10 D 【答案】C【KS5U解析】因为即小于5又是奇数，所以；因为即小于5且是偶数，所以；因为即小于5又是奇数，所以；因为即小于5且是偶数，所以；因为小于5不成立，所以此时输出的S的值为10.6已知:命题：“是的充分必要条件”；命题：“”则下列命题正确的是（ ）A命题“”是真命题 B命题“（）”是真命题C命题“（）”是真命题 D命题“（）（）”是真命题【答案】B【KS5U解析】易知：命题：“是的充分必要条件”是假命题，应该是充分不必要条件；命题
4、：“”是真命题。因此命题“（）”是真命题正确，所以选B。7若空间三条直线a、b、c满足，则直线（ ）A一定平行B一定相交C一定是异面直线 D一定垂直【答案】D【KS5U解析】若，则直线可能相交、也可能异面，不管相交还是异面他们都是垂直的，但直线一定不平行，因此选D。8函数 的图象大致是（ ）【答案】C【KS5U解析】因为函数的定义域为，又，所以函数是奇函数，因此B排除。又，由，由此可以排除A、D，因此选C。9如图所示的方格纸中有定点，则（ ）A B C D【答案】C【KS5U解析】设，以OP、OQ为邻边作平行四边形，则夹在OP、OQ之间的对角线对应的向量即为向量，由长度相等，方向相同，所以。1
5、0设的最大值为（ ）A 80 B C 25D 【答案】A【KS5U解析】画出约束条件表示的可行域，目标函数的几何意义为：可行域内的点与点（-1，0）的距离的平方。由可行域知：点（3,8）与点（-1,0）的距离最大，最大为，所以的最大值为80.11若双曲线的左、右顶点分别为A、B，点P是第一象限内双曲线上的点。若直线PA、PB的倾斜角分别为，且，那么的值是（ ）ABCD【答案】D【KS5U解析】易知双曲线的左顶点为A（-a，0），右顶点为B（a，0）设P（m，n），得：直线PA的斜率为；直线PB的斜率为，所以，因为P（m，n）是双曲线上的点，所以，得，代入（1）式得，因为直线PA、PB的倾斜角分
6、别为，得，所以tantan=1，因为P是第一象限内双曲线上的点，得、均为锐角，所以。12若实数满足，则称是函数的一个次不动点设函数与函数（其中为自然对数的底数）的所有次不动点之和为，则（ ）A B C D【答案】B【KS5U解析】因为函数与函数（其中为自然对数的底数）的图像关于直线对称，所以函数函数与的交点函数与的交点关于直线对称，所以。第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。13已知与之间的部分对应关系如下表：1112131415则和可能满足的一个关系式是 【答案】（不唯一）【KS5U解析】将11、12、13、14、15、对应的函数值
7、分别写成，由此可得和满足的一个关系式是（写成也可）。14在中，已知分别为，所对的边，为的面积若向量满足，则= 【答案】【KS5U解析】因为，所以，由三角形的面积公式和余弦定理，得：，所以=。15在区间（0，1）上任意取两个实数a，b，则的概率为 【答案】【KS5U解析】在区间（0，1）上任意取两个实数a，b，记为，则点构成的区域边长为1 的正方形，表示的区域为阴影部分，所以其概率为：。16、已知，。根据以上等式，可猜想出的一般结论是 ；【答案】，【KS5U解析】根据等式：，可猜想出的一般结论是。24三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分1
8、2分）已知函数（）求的最小正周期；（）若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值18（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为，其中为标准，为标准，产品的等级系数越大表明产品的质量越好 已知某厂执行标准生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7该行业规定产品的等级系数的为一等品，等级系数的为二等品，等级系数的为三等品（）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、
9、二等品率和三等品率；（）从样本的一等品中随机抽取2件，求所抽得2件产品等级系数都是8的概率19（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面平面，是线段上一点，（）证明：平面；MSDCBA（）设三棱锥与四棱锥的体积分别为与，求的值20（本小题满分12分）已知数列的前项和。（） 求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和21（本小题满分12分）给定椭圆： 称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆” 若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为（）求椭圆的方程和其“准圆”方程；（）点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线，使得与椭圆都只有一个交点，试判断是否垂直？并说明理由。 22（本小题满分14
10、分）已知定义在正实数集上的函数，其中设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同。（）用表示，并求的最大值；（）求证：（）参考答案一、选择题1、D；2、A；3、A；4、B； 5、C；6、B；7、D；8、C；9、C；10、A；11、D；12、B；二填空题13、（不唯一）；14、；15、；16、，。三解答题17解析：（） 2分4分 所以的最小正周期为6分（）将的图象向右平移个单位，得到函数的图象， 8分时， 9分当，即时，取得最大值2 10分当，即时，取得最小值12分18解析：（）由样本数据知，30件产品中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件 3分样本中一等品的频率为，故估计该厂生产的产品的一
11、等品率为, 4分二等品的频率为，故估计该厂产品的二等品率为, 5分三等品的频率为，故估计该厂产品的三等品率为6分 （）样本中一等品有6件，其中等级系数为7的有3件，等级系数为8的也有3件， 7分记等级系数为7的3件产品分别为、，等级系数为8的3件产品分别为、,则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为： ,，, ,，, 共15种， 10分记从“一等品中随机抽取2件，2件等级系数都是8”为事件，则包含的基本事件有 共3种， 11分故所求的概率 12分19（）证明: 平面平面,平面平面,平面，平面,1分平面 2分四边形是直角梯形，,都是等腰直角三角形,4分平面，平面，,平面6分（）解: 三棱锥与三
12、棱锥的体积相等,由（ 1 ） 知平面,得,9分设由,得从而 12分20解析：（）时，; 2分4分 6分（） 设，当时，；7分时， 10分12分21解析：（），椭圆方程为， 4分准圆方程为 5分（）当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为，当方程为时，此时与准圆交于点，此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是（或），即为（或），显然直线垂直；同理可证方程为时，直线也垂直 7分当都有斜率时，设点，其中设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，则由消去，得 9分由化简整理得： 因为，所以有 10分设的斜率分别为，因为与椭圆只有一个公共点，所以满足上述方程，所以，即垂直 11分综合知垂直 12分22解析：（）设与在公共点处的切线相同，1分由题意，即由得：，或（舍去）即有4分令，则于是当，即时，；当，即时，故在为增函数，在为减函数，8分于是在的最大值为9分（）设10分则11分故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是13分故当时，有，即当时，14分