1、 1.5 定积分的概念一、预习教材问题导入根据以下提纲，预习教材P38P47的内容，回答下列问题观察教材P39图1.52，阴影部分是由抛物线yx2与直线x1，y0所围成的平面图形(1)通常称这样的平面图形为什么图形？提示：曲边梯形(2)如何求出所给平面图形的面积近似值？提示：把平面图形分成多个小曲边梯形，求这些小曲边梯形的面积和(3)如何更精确地求出阴影部分的面积S?提示：分割的曲边梯形数目越多，所求得面积越精确二、归纳总结核心必记1连续函数如果函数yf(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I上的函数2曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线xa，xb(ab)，和曲
2、线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图)连续y0(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：分割：把区间a，b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些(如图)；近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的(如图)；求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的求和；取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积小曲边梯形矩形近似值近似值3求变速直线运动的位移(路程)如果物体做变速直线运动，速度函数为vv(t)，那么我们也可以采用、的方法，求出它在atb内所作的位移s.分割近似代替求和取极限4定积分(1
3、)定积分的概念如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0 x1xi1xixnb将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式 i1nf(i)x_，当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作abf(x)dx，即abf(x)dx_i1n ban f(i)limni1nban f(i)其中a与b分别叫做与，区间a，b叫做，函数f(x)叫做，x叫做，f(x)dx叫做(2)定积分的几何意义如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有，那么定积分abf(x)dx表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积这就是定积分abf
4、(x)dx的几何意义积分下限积分上限积分区间被积函数积分变量被积式f(x)0 xa，xb(ab)，y0yf(x)(3)定积分的基本性质abkf(x)dx_；abf1(x)f2(x)dx_；abf(x)dx_kabf(x)dx(k为常数)abf1(x)dxabf2(x)dxacf(x)dxcbf(x)dx(其中acb)三、综合迁移深化思维(1)曲边梯形与“直边图形”的主要区别是什么？提示：前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段(2)求曲边梯形面积时，能否直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢？怎样才能减小误差？提示：不能直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”，否则误差太大，为了减小近似代
5、替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到面积的误差越小(3)在“近似代替”中，如果取任意ii1n，in 处的函数值f(i)作为近似值，求出的S有变化吗？提示：没有变化(4)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程有哪些共同点？提示：求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法(5)abf(x)dx是一个常数还是一个变量？abf(x)dx与积分变量有关系吗？提示：由定义可得定积分abf(x)dx是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即abf(x)dxabf(t)dtabf(
6、u)du.(6)在定积分的几何意义中f(x)0，如果f(x)0，abf(x)dxx表示什么？提示：如果在区间a，b上，函数f(x)0，f(i)0，故f(i)xi0，从而定积分 abf(x)dx0，这时它等于图中所示曲边梯形面积的相反数，即abf(x)dxS或Sabf(x)dx.(7)02 4x2dx 的几何意义是什么？提示：是由直线 x0，x2，y0 和曲线 y 4x2所围成的曲边梯形面积，即以原点为圆心，2 为半径的14圆的面积即024x2dx.探究点一 求曲边梯形的面积典例精析如图所示，求直线 x0，x3，y0 与二次函数 f(x)x22x3 所围成的曲边梯形的面积(提示：122232n2
7、16n(n1)(2n1)解(1)如图，分割，将区间0,3n 等分，则每个小区间3i1n，3in(i1,2，n)的长度为 x3n.分别过各分点作 x 轴的垂线，把原曲边梯形分成 n 个小曲边梯形(2)近似代替以每个小区间的左端点函数值为高作 n 个小矩形则当 n 很大时，用 n 个小矩形面积之和 Sn 近似代替曲边梯形的面积 S.(3)求和 Sni1nfinxi1n i 2n22 in3 3n27n31222(n1)218n2123(n1)927n316(n1)n(2n1)18n2nn129911n 1 12n 911n 9.所以 SSn911n 1 12n 911n 9.(4)取极限Slimn
8、 Snlimn 911n 1 12n 911n 99(10)(10)9(10)99，即所求曲边梯形的面积为9.类题通法 求曲边梯形面积的思想和步骤(1)求曲边梯形面积的思想是“以直代曲”，即用小矩形的面积来代替小曲边梯形的面积；“逐步逼近”，即用n个小矩形的面积的和Sn来逼近曲边梯形的面积S.(2)求曲边梯形面积的步骤：分割、近似代替、求和、取极限针对训练 1求由抛物线yx2与直线y4所围成的曲边梯形的面积解：因为yx2为偶函数，图象关于y轴对称，所以所求曲边梯形的面积应为抛物线yx2(x0)与直线x0，y4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影由yx2x0，y4得交点为(2,4)，如图所示，
9、先求由直线x2，y0和曲线yx2(x0)围成的曲边梯形的面积(2)近似代替求和Sni1nin22n 8n3122232(n1)28311n 1 12n.(3)取极限SlimnSnlimn8311n 1 12n 83.所以所求平面图形的面积为S阴影2483163.所以2S阴影323，即抛物线yx2与直线y4所围成的图形面积为323.探究点二 求变速直线运动的路程思考探究求变速直线运动的路程与求曲边梯形的面积有什么相似之处？名师指津：与求曲边梯形面积类似，将变速直线运动的路程问题转化为小区间上近似做匀速直线运动的路程问题，求得各小区间上路程和的极限即为变速直线运动的路程 典例精析 汽车做变速直线运
10、动，在时刻 t 的速度(单位：km/h)为v(t)t22，那么它在1t2(单位：h)这段时间行驶的路程为多少？解 将区间1,2等分成 n 个小区间，第 i 个小区间为1i1n，1in(i1,2，n)第 i 个时间区间的路程的近似值为iiv(t)1nv1i1n1n3n2i1n2i12n3，于是 sni1nii1n3n2i1n2i12n3n3n 2n2(012n1)1n31222(n1)23 2n2n1n2 1n3n1n2n16311n 1311n 1 12n.所以 slimnsnlimn 311n 1311n 1 12n 133.所以这段时间行驶的路程为133 km.类题通法 求变速直线运动路程
11、的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限应特别注意变速直线运动的时间区间针对训练 2已知做自由落体运动的物体的运动速度vgt，求在时间区间0，t内物体下落的距离解：分割将时间区间0，t等分成n个小区间，其中第i个区间为i1n t，itn(i1,2，n)，每个小区间所表示的时间段titni1n ttn，在各小区间内物体下落的距离，记作si.近似代替在i1n t，itn 上取ii1n t，则v(i)gi1n t，因此在每个小区间内所经过的距离可近似表示为sigi1n ttn(i1,2，n)求和i1nsii1ngi1n ttn
12、gt2n2012(n1)12gt211n.取极限sli mn12gt211n 12gt2.探究点三 求定积分 典例精析 求下列定积分的值：(1)12(x1)dx；(2)3 39x2dx.解(1)法一：(定义法)f(x)x1 在区间1,2上连续，将区间1,2等分成 n 个小区间1i1n，1in(i1,2，n)，每个区间的长度为 x1n，在1i1n，1in 上取 i1i1n(i1,2，n)，f(i)11i1n 2i1n，i1nf(i)xi1n2i1n1ni1n2ni1n22nn 1n2012(n1)2n12n 212 12n52 12n，12(1x)dxlimn 52 12n 52.法二：(几何意
13、义)12(x1)dx表示如图所示阴影部分的面积由于梯形的面积S12(23)152，故12(x1)dx52.(2)在平面上y9x2表示的几何图形为以原点为圆心、以3为半径的上半圆如图所示，其面积为S123292.由定积分的几何意义知3 39x2dx92.类题通法(1)用定义求定积分abf(x)dx 的一般方法是：分割：将区间a，bn 等分，记第 i 个小区间为xi1，xi，区间长度 xxixi1；近似代替、求和：取点 ixi1，xi，abf(x)dxi1nf(i)x；取极限：abf(x)dxlimni1nf(i)x.(2)利用几何意义求定积分的方法利用定积分所表示的几何意义求abf(x)dx 的
14、值的关键是确定由曲线 yf(x)，直线 xa，直线 xb 及 x 轴所围成的平面图形的形状常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形 针对训练 3求下列定积分的值：(1)012dx；(2)12xdx；(3)1 11x2dx.解：(1)012dx 表示的是图中阴影所示长方形的面积，由于这个长方形的面积为 2，所以012dx2.(2)12xdx 表示的是图中阴影所示梯形的面积，由于这个梯形的面积为32，所以12xdx32.(3)1 11x2dx 表示的是图中阴影所示半径为 1 的半圆的面积，其值为2，所以1 11x2dx2.探究点四 定积分性质的应用 典例精析 已知01x3dx14，
15、12 x3dx154，12x2dx73，24x2dx563，求下列各式的值：(1)02(3x3)dx；(2)14(6x2)dx；(3)12(3x22x3)dx.解(1)02(3x3)dx302x3dx301x3dx12x3dx 314154 12.(2)14(6x2)dx614x2dx612x2dx24x2dx 673563 126.(3)12(3x22x3)dx12(3x2)dx12(2x3)dx312x2dx212x3dx3732154 12.类题通法(1)定积分性质的推广ab f1(x)f2(x)fn(x)dxabf1(x)dxabf2(x)dxabfn(x)dx；abf(x)dxc1a
16、f(x)dxc1c2f(x)dxcnbf(x)dx(其中 nN*)(2)奇、偶函数在区间a，a上的定积分若奇函数 yf(x)在a，a上连续，则aaf(x)dx0；若偶函数 yg(x)在a，a上连续，则aag(x)dx20ag(x)dx.针对训练 4已知abf(x)g(x)dx12，abg(x)dx6，求ab3fxdx.解：abf(x)dxabg(x)dxabf(x)g(x)dx，abf(x)dx1266，ab3f(x)dx3abf(x)dx3618.课堂归纳领悟1本节课的重点是定积分的几何意义及定积分的性质，难点是定积分的概念2本节课要重点掌握的规律方法(1)会用定义或定积分的几何意义求定积分，见探究点三；(2)会用定积分的性质求定积分，见探究点四3在利用定积分的几何意义求定积分时，要注意积分上、下限及积分函数 f(x)的符号，这是本节课的易错点 “课下梯度提能”见“课时跟踪检测(九)”(单击进入电子文档)