1、2016-2017学年河北省衡水市安平中学高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：（每题只有一个正确选项共12个小题，每题5分，共60分）1下列数列中不是等差数列的为（）A6，6，6，6，6B2，1，0，1，2C5，8，11，14D0，1，3，6，102已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（）A2B3C6D93在A BC中内角A，B，C所对各边分别为a，b，c，且a2=b2+c2bc，则角A=（）A60B120C30D1504已知等差数列an中，a2=2，d=2，则S10=（）A200B100C90D805已知an是等比数列，其中|q|1，且a3+a4=2
2、，a2a5=8，则S3=（）A12B16C18D246大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，则此数列第20项为（）A180B200C128D1627定义为n个正数p1，p2，pn的“均倒数”若已知正数数列an的前n项的“均倒数”为，又bn=，则+=（）ABCD8在ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB=，则=（）ABC3D39一艘海轮从A处出发，以每小时40海
3、里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是（）海里A10B20C10D2010数列an满足，则an=（）ABCD11在ABC中，若sin（A+BC）=sin（AB+C），则ABC必是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰或直角三角形D等腰直角三角形12ABC外接圆半径为R，且2R（sin2Asin2C）=（ab）sinB，则角C=（）A30B45C60D90二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分）13边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 14若数列an满
4、足，则a2017= 15已知正项等比数列an中，a1=1，其前n项和为Sn（nN*），且，则S4= 16ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b= 三、解答题：（解答题应写出必要的文字说明和演算步骤）17在ABC中，a，b，c分别为A、B、C的对边，且满足2（a2b2）=2accosB+bc（1）求A（2）D为边BC上一点，CD=3BD，DAC=90，求tanB18已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an3n（nN+）（1）求a1，a2，a3的值；（2）是否存在常数，使得an+为等比数列？若存在，求出的值和通项公式an，若不存在，请说明理由19已
5、知数列an的前n项和为Sn，且n+1=1+Sn对一切正整数n恒成立（1）试求当a1为何值时，数列an是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列的前n项和Tn取得最大值20在ABC中，AC=6，cosB=，C=（1）求AB的长；（2）求cos（A）的值21已知an是等差数列，bn是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4（1）求an的通项公式；（2）设cn=an+bn，求数列cn的前n项和22在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2（） 求角A的大小；（） 若b+c=2，求a的取值范围2016-2017学年河北省衡水市安平中学
6、高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每题只有一个正确选项共12个小题，每题5分，共60分）1下列数列中不是等差数列的为（）A6，6，6，6，6B2，1，0，1，2C5，8，11，14D0，1，3，6，10【考点】83：等差数列【分析】根据等差数列的定义，对所给的各个数列进行判断，从而得出结论【解答】解：A，6，6，6，6，6常数列，公差为0；B，2，1，0，1，2公差为1；C，5，8，11，14公差为3；D，数列0，1，3，6，10的第二项减去第一项等于1，第三项减去第二项等于2，故此数列不是等差数列故选：D2已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和
7、n的等差中项是（）A2B3C6D9【考点】8F：等差数列的性质【分析】由等差中项的性质，利用已知条件，能求出m，n，由此能求出m和n的等差中项【解答】解：m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，解得m=4，n=2，m和n的等差中项=3故选：B3在A BC中内角A，B，C所对各边分别为a，b，c，且a2=b2+c2bc，则角A=（）A60B120C30D150【考点】HR：余弦定理【分析】由已知及余弦定理可求cosA的值，结合范围A（0，180），利用特殊角的三角函数值即可得解A的值【解答】解：在A BC中，a2=b2+c2bc，可得：b2+c2a2=bc，cosA=，A（0，180），
8、A=60故选：A4已知等差数列an中，a2=2，d=2，则S10=（）A200B100C90D80【考点】85：等差数列的前n项和【分析】由等差数列的通项公式，可得首项，再由等差数列的求和公式，计算即可得到所求和【解答】解：等差数列an中，a2=2，d=2，a1+d=2，解得a1=0，则S10=10a1+109d=0+452=90故选：C5已知an是等比数列，其中|q|1，且a3+a4=2，a2a5=8，则S3=（）A12B16C18D24【考点】88：等比数列的通项公式【分析】推导出a3，a4是方程x22x8=0的两个根，|a3|a4|，解方程，得a3=4，a4=2，由等比数列通项公式列出方
9、程组，求出，由此能求出S3【解答】解：an是等比数列，其中|q|1，且a3+a4=2，a2a5=8，a3a4=a2a5=8，a3，a4是方程x22x8=0的两个根，|a3|a4|，解方程，得a3=4，a4=2，解得，S3=12故选：A6大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，则此数列第20项为（）A180B200C128D162【考点】81：数列的概念及简单表示法【分
10、析】0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，可得偶数项的通项公式：a2n=2n2即可得出【解答】解：由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，可得偶数项的通项公式：a2n=2n2则此数列第20项=2102=200故选：B7定义为n个正数p1，p2，pn的“均倒数”若已知正数数列an的前n项的“均倒数”为，又bn=，则+=（）ABCD【考点】8E：数列的求和【分析】直接利用给出的定义得到=，整理得到Sn=2n2+n分n=1和n2求出数列an的通项，验证n=1时满足，所以数列an的通项公式可求；再利用裂项求和方法即可得出【解答】解：由已知定义，得到=，a1+a2+an=n（
11、2n+1）=Sn，即Sn=2n2+n当n=1时，a1=S1=3当n2时，an=SnSn1=（2n2+n）2（n1）2+（n1）=4n1当n=1时也成立，an=4n1；bn=n，=，+=1+=1=，+=，故选：C8在ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB=，则=（）ABC3D3【考点】HR：余弦定理；9R：平面向量数量积的运算【分析】利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，把已知等式及cosB的值代入求出ac的值，原式利用平面向量的数量积运算法则变形，将各自的值代入计算即可求出值【解答】解：在ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB=，由余弦定理得：cosB=，即ac=2，则=
12、cacosB=故选：B9一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是（）海里A10B20C10D20【考点】HU：解三角形的实际应用【分析】根据题意画出图象确定BAC、ABC的值，进而可得到ACB的值，根据正弦定理可得到BC的值【解答】解：如图，由已知可得，BAC=30，ABC=105，AB=20，从而ACB=45在ABC中，由正弦定理可得BC=sin30=10故选：A10数列an满足，则an=（）ABCD【考点】8H：数列递推式【
13、分析】利用数列递推关系即可得出【解答】解：，n2时，a1+3a2+3n2an1=，3n1an=，可得an=n=1时，a1=，上式也成立则an=故选：B11在ABC中，若sin（A+BC）=sin（AB+C），则ABC必是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰或直角三角形D等腰直角三角形【考点】HX：解三角形【分析】结合三角形的内角和公式可得A+B=C，A+C=B，代入已知sin（A+BC）=sin（AB+C）化简可得，sin2C=sin2B，由于02B，02C从而可得2B=2C或2B+2C=，从而可求【解答】解：A+B=C，A+C=B，sin（A+BC）=sin（2C）=sin2Csin（AB+C
14、）=sin（2B）=sin2B，则sin2B=sin2C，B=C或2B=2C，即所以ABC为等腰或直角三角形故选C12ABC外接圆半径为R，且2R（sin2Asin2C）=（ab）sinB，则角C=（）A30B45C60D90【考点】HR：余弦定理【分析】先根据正弦定理把2R（sin2Asin2C）=（ab）sinB中的角转换成边可得a，b和c的关系式，再代入余弦定理求得cosC的值，进而可得C的值【解答】解：ABC中，由2R（sin2Asin2C）=（ab）sinB，根据正弦定理得a2c2=（ab）b=abb2，cosC=，角C的大小为30，故选A二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分）
15、13边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为120【考点】HR：余弦定理【分析】直接利用余弦定理求出7所对的角的余弦值，求出角的大小，利用三角形的内角和，求解最大角与最小角之和【解答】解：根据三角形中大角对大边，小角对小边的原则，所以由余弦定理可知cos=，所以7所对的角为60所以三角形的最大角与最小角之和为：120故答案为：12014若数列an满足，则a2017=2【考点】8H：数列递推式【分析】数列an满足a1=2，an=1，可得an+3=an，利用周期性即可得出【解答】解：数列an满足a1=2，an=1，可得a2=1=，a3=12=1，a4=1（1）=2a5=1=，an+3=an，
16、数列的周期为3a2017=a6723+1=a1=2故答案为：215已知正项等比数列an中，a1=1，其前n项和为Sn（nN*），且，则S4=15【考点】89：等比数列的前n项和【分析】由题意先求出公比，再根据前n项和公式计算即可【解答】解：正项等比数列an中，a1=1，且，1=，即q2q2=0，解得q=2或q=1（舍去），S4=15，故答案为：1516ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=【考点】HX：解三角形【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=，代入计算即可得到所求
17、值【解答】解：由cosA=，cosC=，可得sinA=，sinC=，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=+=，由正弦定理可得b=故答案为：三、解答题：（解答题应写出必要的文字说明和演算步骤）17在ABC中，a，b，c分别为A、B、C的对边，且满足2（a2b2）=2accosB+bc（1）求A（2）D为边BC上一点，CD=3BD，DAC=90，求tanB【考点】HT：三角形中的几何计算【分析】（1）将2（a2b2）=2accosB+bc化解结合余弦定理可得答案（2）因为DAC=，所以AD=CDsinC，DAB=利用正弦定理即可求解【解答】解：（1）由题意2accosB
18、=a2+c2b2，2（a2b2）=a2+c2b2+bc整理得a2=b2+c2+bc，由余弦定理：a2=b2+c22bccosA可得：bc=2bccosAcosA=，0AA=（）DAC=，AD=CDsinC，DAB=在ABD中，有，又CD=3BD，3sinC=2sinB，由C=B，得cosBsinB=2sinB，整理得：tanB=18已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an3n（nN+）（1）求a1，a2，a3的值；（2）是否存在常数，使得an+为等比数列？若存在，求出的值和通项公式an，若不存在，请说明理由【考点】8D：等比关系的确定；81：数列的概念及简单表示法【分析】（1）分别令n=1
19、，2，3，依次计算a1，a2，a3的值；（2）假设存在常数，使得an+为等比数列，则（a2+）2=（a1+）（a3+），从而可求得，根据等比数列的通项公式得出an+，从而得出an【解答】解：（1）当n=1时，S1=a1=2a13，解得a1=3，当n=2时，S2=a1+a2=2a26，解得a2=9，当n=3时，S3=a1+a2+a3=2a39，解得a3=21（2）假设an+是等比数列，则（a2+）2=（a1+）（a3+），即（9+）2=（3+）（21+），解得=3an+3的首项为a1+3=6，公比为=2an+3=62n1，an=62n1319已知数列an的前n项和为Sn，且n+1=1+Sn对一切
20、正整数n恒成立（1）试求当a1为何值时，数列an是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列的前n项和Tn取得最大值【考点】8E：数列的求和【分析】（1）由已知数列递推式可得an+1=2an，再由数列an是等比数列求得首项，并求出数列通项公式；（2）把数列an的通项公式代入数列，可得数列是递减数列，可知当n=9时，数列的项为正数，n=10时，数列的项为负数，则答案可求【解答】解：（1）由an+1=1+Sn得：当n2时，an=1+Sn1，两式相减得：an+1=2an，数列an是等比数列，a2=2a1，又a2=1+S1=1+a1，解得：a1=1得：；（2），可知数列是
21、一个递减数列，由此可知当n=9时，数列的前项和Tn取最大值20在ABC中，AC=6，cosB=，C=（1）求AB的长；（2）求cos（A）的值【考点】HX：解三角形；HP：正弦定理；HR：余弦定理【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的长；（2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A）的值【解答】解：（1）ABC中，cosB=，sinB=，AB=5；（2）cosA=cos（C+B）=sinBsinCcosBcosC=A为三角形的内角，sinA=，cos（A）=cosA+sinA=21已知an是等差数列，bn是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4（1）求an
22、的通项公式；（2）设cn=an+bn，求数列cn的前n项和【考点】8M：等差数列与等比数列的综合【分析】（1）设an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式；（2）求得cn=an+bn=2n1+3n1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和【解答】解：（1）设an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q=3，bn=b2qn2=33n2=3n1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d=2，则an=a1+（n1）d=1+2（n1）=2n1；（2）cn=a
23、n+bn=2n1+3n1，则数列cn的前n项和为（1+3+（2n1）+（1+3+9+3n1）=n2n+=n2+22在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2（） 求角A的大小；（） 若b+c=2，求a的取值范围【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理【分析】（）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得，由0B+C，可求，进而可求A的值（）根据余弦定理，得a2=（b1）2+3，又b+c=2，可求范围0b2，进而可求a的取值范围【解答】（本小题满分12分）解：（）由已知得，化简得，整理得，即，由于0B+C，则，所以（）根据余弦定理，得=b2+c2+bc=b2+（2b）2+b（2b）=b22b+4=（b1）2+3又由b+c=2，知0b2，可得3a24，所以a的取值范围是2017年8月10日
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