1、第三章 空间向量与立体几何3.1.3 空间向量的数量积运算第三章 空间向量与立体几何考点学习目标核心素养 空间向量数量积了解空间向量夹角的概念及表示方法，掌握空间向量数量积的计算方法及运算律数学抽象、数学运算 空间向量数量积的应用能将立体几何问题转化为向量运算问题数学运算、逻辑推理问题导学预习教材 P90P92，并思考下列问题：1空间向量的数量积的定义是什么？2空间向量的数量积满足哪些运算律？1空间向量的夹角定义已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OAa，OB b，则AOB 叫做向量 a，b 的夹角 记法_ 范围通常规定：0a，b，当a，b_时，ab a，b2名师点拨 对空间两个向
2、量夹角的理解，应注意以下几点：(1)两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为 0；反向时，夹角为.故a，b0 或 ab(a，b 为非零向量)(2)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定 0 与任何向量a 都共线，即 0a.(3)对空间任意两个向量 a，b，有：a，bb，aa，bb，a；a，ba，ba，b；AB，AC BA，CA AB，CA 2空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量 a，b，则|a|b|cosa，b叫做 a，b 的数量积，记作 ab.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(a)b_ 交换律ab_分配律a(bc)_(ab)baabac(3)数量积的性质向量数
3、量积的性质垂直若 a，b 是非零向量，则 ab_ 共线 同向：ab|a|b|反向：ab|a|b|模aa_|a|2|a|aa|ab|a|b|夹角 为 a，b 的夹角，则 cos ab|a|b|ab0|a|a|cosa，a名师点拨 对于空间向量的数量积，我们可以从以下几个方面理解：(1)向量 a，b 的数量积记为 ab，而不能表示为 ab 或 ab.(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角 的余弦值的符号决定当 为锐角时，ab0，但当 ab0时，不一定是锐角，因为 也可能为 0；当 为钝角时，ab0，但当 ab0 时，不一定是钝角，因为 也可能为.(3)当 a0 时，由 ab0 不
4、能推出 b 一定是零向量，这是因为对于任意一个与 a 垂直的非零向量 b，都有 ab0.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量AB 与CD 的夹角等于向量AB 与DC 的夹角()(2)若 ab0，则 a0 或 b0.()(3)对于非零向量 a，b，a，b与a，b相等()(4)若 abbc，且 b0，则 ac.()(5)若 a，b 均为非零向量，则 ab|a|b|是 a 与 b 共线的充要条件()已知 i，j，k 是两两垂直的单位向量，a2ijk，bij3k，则 ab()A2 B1C1 D2答案：A在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为 45的是()A.AB 与ACB.AB 与CAC.
5、AB 与ADD.AB 与BA答案：A已知|a|3，|b|2，ab3，则a，b_答案：23已知向量 a，b 满足：|b|2，a，b45，且 a 与2ba 互相垂直，则|a|_答案：2如图所示，在棱长为 1 的正四面体ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，求值：(1)EF BA；(2)EF BD；(3)EF DC；(4)AB CD.空间向量的数量积运算【解】(1)EF BA 12BD BA 12|BD|BA|cosBD，BA 12cos 6014.(2)EF BD 12BD BD 12|BD|212.(3)EF DC 12BD DC 12|BD|DC|cos BD，DC 12cos 1
6、2014.(4)AB CD AB(AD AC)AB AD AB AC|AB|AD|cos AB，AD|AB|AC|cos AB，AC cos 60cos 600.空间向量运算的两种方法(1)利用定义：利用 ab|a|b|cosa，b并结合运算律进行计算(2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算 在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，试计算下列各式的值(1)AB AC；(2)AD C1B1；(3)AA1 CD1；(4)CC1 BD1.解：(1)AB AC AB(AB BC)AB AB AB BC 2204.(2)A
7、D C1B1 AD CB AD DA 224.(3)AA1 CD1 AA1(CD CC1)CC1(CD CC1)CC1 CDCC1 CC1 4.(4)CC1 BD1 CC1(BD DD1)CC1 BD CC1 DD1 CC1(BA BC)CC1 DD1 CC1 BA CC1 BC CC1 DD1 4.如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面 ABCD.求证：PABD.利用向量的数量积判断或证明垂直问题【证明】由底面 ABCD 为平行四边形，DAB60，AB2AD，知 DABD，则BD DA 0.由 PD底面 ABCD，知 PDBD，则
8、BD PD 0.又PAPD DA，所以PABD(PD DA)BD PD BD DA BD 0，即PABD.利用向量数量积判断或证明线线、线面垂直的思路(1)由数量积的性质 abab0(a，b0)可知，要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为 0 即可(2)用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，G 分别是棱 CC1，BC，CD 的中点，求证：A1G平面 DEF.证明：设正方体的棱长为 a，因为A1G DF(A1A AD DG)(DC
9、CF)A1A DC AD DC DG DC A1A CF AD CF DG CF DG DC AD CF 12a212a20，所以 A1GDF，同理可证 A1GDE，又 DFDED，所以 A1G平面 DEF.如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CACB1，BCA90，棱 AA12，点 N 为AA1 的中点(1)求BN 的长；(2)求 cosBA1，CB1 的值利用空间向量的数量积求夹角【解】由已知得|CA|CB|1，|CC1|AA1|2，AN 12AA112CC1.CA，CC1 CB，CC1 CA，CB 90，所以CA CC1 CB CC1 CA CB 0.(1)因为BN CN CB
10、CA AN CB CA 12CC1 CB，所以|BN|2BN 2CA 12CC1 CB 2CA 214CC1 2CB 2121422123，所以|BN|BN|2 3.(2)因为BA1 CA1 CB CA CC1 CB，CB1CB CC1，所以|BA1|2BA1 2(CA CC1 CB)2CA 2CC1 2CB 21222126，|BA1|6，|CB1|2CB1 2(CB CC1)2CB 2CC1 212225，|CB1|5，BA1 CB1(CA CC1 CB)(CB CC1)CC1 2CB 222123，所以 cos BA1，CB1 BA1 CB1|BA1|CB1|36 5 3010.1(变问
11、法)本例中条件不变，求BN 与CB1 夹角的余弦值解：由例题知，|BN|3，|CB1|5，BN CB1 CA 12CC1 CB(CB CC1)12CC1 2CB 21222121.所以 cos BN，CB1 BN CB1|BN|CB1|13 5 1515.所以BN 与CB1 夹角的余弦值为 1515.2(变条件)本例中，若 CACBAA11，其他条件不变，求异面直线 CA1 与 AB 的夹角解：由已知得|CA|CB|CC1|1，CA CC1 CB CC1 CA CB 0，因为|CA1|2CA1 2(CA CC1)2CA 2CC1 212122，所以|CA1|2，因为|AB|2AB 2(CB C
12、A)2CB 2CA 212122，所以|AB|2，又因为CA1 AB(CA CC1)(CB CA)CA 21.所以 cosCA1，AB CA1 AB|CA1|AB|12 212.所以CA1，AB 120，所以异面直线 CA1 与 AB 的夹角为 60.求两个向量的夹角的两种方法(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围(2)先求 ab，再利用公式 cosa，b ab|a|b|求 cosa，b，最后确定a，b 已知空间四边形 OABC 各边及对角线长都相等，E，F 分别为 AB，OC的中点，求向量OE 与向量BF 所成角的余弦值解：设OA a，OB b，OC c
13、，且|a|b|c|1，易知AOBBOCAOC3，则 abbcca12.因为OE 12(OA OB)12(ab)，BF OF OB 12OC OB 12cb，|OE|BF|32，所以OE BF 12(ab)12cb 14ac14bc12ab12b212，设OE 与BF 所成的角为，则 cos OE BF|OE|BF|1232 3223.所以向量OE 与向量BF 所成角的余弦值是23.如图，在三棱锥 A-BCD 中，底面边长与侧棱长均为 a，M，N 分别是棱 AB，CD 上的点，且 MB2AM，CN12ND，求 MN 的长利用数量积求两点间的距离【解】因为MN MB BC CN 23AB(AC A
14、B)13(AD AC)13AB 13AD 23AC，所以MN 213AB 13AD 23AC 2 19AB 229AD AB 49AB AC 49AC AD 19AD 249AC 2 19a219a229a229a219a249a2 59a2，所以|MN|53 a.则 MN 的长为 53 a.求两点间的距离或线段的长度的方法(1)将此线段用向量表示(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量(3)利用|a|a2，计算出|a|，即得所求距离 已知在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，AA1ABAD1，且这三条棱彼此之间的夹角都是 60，则AC1 的长为()A6 B 6C3 D 3解析：选 B
15、.设AB a，AD b，AA1 c，则|a|b|c|1，且a，bb，cc，a60，因此 abbcca12.由AC1 abc 得|AC1|2AC1 2a2b2c22ab2bc2ca6.所以|AC1|6，故选 B.1设 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体，则有()A.AB C1A a2 BAB A1C1 2a2C.BC A1C a2DAB C1A1 a2答案：C2已知空间四边形 OABC 中，OBOC，AOBAOC3，则 cosOA，BC 的值为()A.12B 22C12D0解析：选 D.OA BC OA(OC OB)OA OC OA OB|OA|OC|cosAOC|OA|OB|c
16、osAOB12|OA|OC|12|OA|OB|0，所以OA BC.所以 cosOA，BC 0.3已知|a|2 2，|b|22，ab 2，则 a 与 b 的夹角为_解析：cos a，bab|a|b|22，则 a 与 b 的夹角为 135.答案：1354若 a，b，c 为空间两两夹角都是 60的三个单位向量，则|ab2c|_解析：|ab2c|（ab2c）2 a2b24c22ab4ac4bc 114122 5.答案：55如图，已知正四面体 OABC 的棱长为 1.求：(1)OA OB；(2)(OA OB)(CA CB)解：在正四面体 OABC 中，|OA|OB|OC|1，OA，OB OA，OC OB，OC 60.(1)OA OB|OA|OB|cosAOB 11cos 6012.(2)(OA OB)(CA CB)(OA OB)(OA OC OB OC)(OA OB)(OA OB 2OC)OA 22OA OB 2OA OC OB 22OB OC 12 211cos 60 211cos 60 12 211cos 60 111111.按ESC键退出全屏播放本部分内容讲解结束