1、第一章 常用逻辑用语1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系第一章 常用逻辑用语考点学习目标核心素养 四种命题了解命题的原命题、逆命题、否命题与逆否命题数学抽象 四种命题的关系理解四种命题之间的关系,会利用互为逆否命题的等价关系判断命题的真假逻辑推理 四种命题关系的应用能够利用命题的等价性解决有关问题逻辑推理问题导学预习教材 P4P8,并思考下列问题：1.一个命题的四种形式分别是什么？它们之间的相互关系分别是什么？2.什么样的两个命题有相同的真假性？3.两个互逆命题或互否命题,它们之间的真假性有没有关系？1.四种命题(1)原命题与逆命题(2)原命题与否命题(3)原命题与逆否命题名师
2、点拨(1)“逆命题、否命题、逆否命题”都是相对于原命题而言的,都是相对概念,如命题“若 x2,则 x24”相对于命题“若 x2,则 x24”是否命题,而相对于命题“若 x24,则 x2”则是逆否命题.(2)互逆命题、互否命题、互为逆否命题都是说两个命题之间的关系,把其中一个命题叫做原命题时,另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题、逆否命题,即要充分理解“互为”的相对性.(3)不是“若 p,则 q”形式的命题,最好先改写成“若 p,则 q”的形式,然后讨论其他三种命题,这样容易分清条件和结论.2.四种命题的真假性(1)四种命题的真假性,有且仅有下面四种情况原命题逆命题否命题逆否命题 真真_ 真假
3、_假真_假假_真真假真真假假假(2)四种命题的真假性之间的关系两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.名师点拨 因为原命题与逆否命题有相同的真假性,逆命题与否命题有相同的真假性,所以四种命题中真命题的个数一定为偶数,即真命题的个数只可能为 0,2,4.根据四种命题中真命题的个数只可能为0,2,4,可以检验写出的逆命题、否命题、逆否命题是否正确.判断(正确的打“”,错误的打“”)(1)任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题.()(2)两个互逆命题的真假性相同.()(3)对于一个命题的四种命题,可以一个真命题也没有.()“若 x21,则 x1
4、”的否命题为()A.若 x21,则 x1 B.若 x21,则 x1C.若 x21,则 x1D.若 x1,则 x21答案：C设 a,b 是向量,命题“若 ab,则|a|b|”的逆命题是()A.若 ab,则|a|b|B.若 ab,则|a|b|C.若|a|b|,则 abD.若|a|b|,则 ab解析：选 D.条件“ab”和结论“|a|b|”互换后得到逆命题：若|a|b|,则 ab.故选 D.命题“若|a|b|,则 ab”及其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为()A.0B.1C.2D.4解析：选 C.原命题是假命题,则逆否命题也是假命题.逆命题：若ab,则|a|b|,是真命题,因此否命题也是真
5、命题.所以四个命题中真命题的个数为 2.命题“若 a1,则 a0”的逆命题是_,逆否命题是_.答案：若 a0,则 a1 若 a0,则 a1把下列命题改写成“若 p,则 q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.(1)全等三角形的三边对应相等；(2)当 x2 时,x23x20.写原命题的其他三种命题【解】(1)原命题：若两个三角形全等,则这两个三角形三边对应相等；逆命题：若两个三角形三边对应相等,则这两个三角形全等；否命题：若两个三角形不全等,则这两个三角形三边对应不相等；逆否命题：若两个三角形三边对应不相等,则这两个三角形不全等.(2)原命题：若 x2,则 x23x20；逆命题：若 x
6、23x20,则 x2；否命题：若 x2,则 x23x20；逆否命题：若 x23x20,则 x2.写出一个命题的其他三种命题的步骤(1)分析命题的条件和结论.(2)将命题写成“若 p,则 q”的形式.(3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题.注意 如果原命题含有大前提,在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时,必须注意各命题中的大前提不变.1.原命题“若 x3,则 x0”的逆否命题是()A.若 x3,则 x0B.若 x3,则 x0C.若 x0,则 x3D.若 x0,则 x3解析：选 C.易知原命题的逆否命题是“若 x0,则 x3”.2.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题
7、.(1)若 k0,则方程 x2(2k1)xk20 必有两个相异实根；(2)在平面中,四条边都相等的四边形是菱形.解：(1)逆命题：若方程 x2(2k1)xk20 有两个相异实根,则 k0.否命题：若 k0,则方程 x2(2k1)xk20 没有两个相异实根.逆否命题：若方程 x2(2k1)xk20 没有两个相异实根,则k0.(2)原命题可以写成：在平面中,若一个四边形的四条边都相等,则它是菱形.逆命题：在平面中,若一个四边形是菱形,则它的四条边都相等.否命题：在平面中,若一个四边形四条边不都相等,则它不是菱形.逆否命题：在平面中,若一个四边形不是菱形,则它的四条边不都相等.下列命题：“若 xy1
8、,则 x,y 互为倒数”的逆命题；“四边相等的四边形是正方形”的否命题；“梯形不是平行四边形”的逆否命题；“若 ac2bc2,则 ab”的逆命题.其中是真命题的是_.四种命题的关系及真假判断【解析】“若 xy1,则 x,y 互为倒数”的逆命题是“若 x,y互为倒数,则 xy1”,是真命题；“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”,是真命题；“梯形不是平行四边形”本身是真命题,所以其逆否命题也是真命题；“若 ac2bc2,则 ab”的逆命题是“若 ab,则 ac2bc2”,是假命题,所以真命题是.【答案】(1)四种命题关系判断的两个要领在判断四种命题之间的关系时,
9、首先要分清命题的条件和结论,再比较每个命题的条件和结论之间的关系；原命题与逆否命题互为逆否命题,逆命题与否命题也互为逆否命题.(2)判断四种命题真假的方法要正确理解四种命题间的相互关系；正确利用相关知识进行判断推理；若由“p 经逻辑推理得出 q”,则命题“若 p,则 q”为真；确定“若 p,则 q”为假时,则只需举一个反例说明.1.(2019长春外国语学校高二检测)下列命题为真命题的是()A.命题“若 x1,则 x21”的逆命题B.命题“若 x1,则 x2x20”的否命题C.命题“若 x20,则 x1”的逆否命题D.命题“若 xy,则 x|y|”的逆命题解析：选 D.命题“若 x1,则 x21
10、”的逆命题是“若 x21,则 x1”,为假命题；命题“若 x1,则 x2x20”的否命题是“若x1,则 x2x20”,为假命题；命题“若 x20,则 x1”的逆否命题是“若 x1,则 x20”,为假命题；命题“若 xy,则 x|y|”的逆命题是“若 x|y|,则 xy”,为真命题,选 D.2.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.(1)若 q94,则方程 x23xq0 有实根；(2)若 ab0,则 a,b 中至少有一个为 0.解：(1)逆命题：若方程 x23xq0 有实根,则 q94.真命题.否命题：若 q94,则方程 x23xq0 无实根.真命题.逆否命题：若方程 x
11、23xq0 无实根,则 q94.真命题.(2)逆命题：若 a,b 中至少有一个为 0,则 ab0.真命题.否命题：若 ab0,则 a,b 均不为 0.真命题.逆否命题：若 a,b 均不为 0,则 ab0.真命题.判断命题“已知 a,x 为实数,若关于 x 的不等式 x2(2a1)xa220 的解集是空集,则 a2”的真假.等价命题的应用【解】原命题的逆否命题为“已知 a,x 为实数,若 a2,则关于 x 的不等式 x2(2a1)xa220 的解集不是空集”.判断真假如下：抛物线 yx2(2a1)xa22 的开口向上,判别式(2a1)24(a22)4a7,因为 a2,所以 4a70,即抛物线与
12、x 轴有交点,所以关于 x 的不等式 x2(2a1)xa220 的解集不是空集,故原命题的逆否命题为真,从而原命题为真.等价命题的应用原则(1)在证明某一个命题的真假性有困难时,可以证明它的逆否命题为真(假)命题,来间接地证明原命题为真(假)命题.(2)四种命题中,原命题与其逆否命题是等价的,有相同的真假性,否命题与其逆命题也是互为逆否命题,解题时不要忽视.证明：已知函数 f(x)是(,)上的增函数,a,bR,若 f(a)f(b)f(a)f(b),则 ab0.证明：原命题的逆否命题为“已知函数 f(x)是(,)上的增函数,a,bR,若 ab0,则 f(a)f(b)f(a)f(b)”.若 ab0
13、,则 ab,ba.又因为 f(x)在(,)上是增函数,所以 f(a)f(b),f(b)f(a),所以 f(a)f(b)f(a)f(b).即原命题的逆否命题为真命题.所以原命题为真命题.1.已知 a,bR,命题“若 ab1,则 a2b212”的否命题是()A.若 a2b212,则 ab1B.若 ab1,则 a2b212C.若 ab1,则 a2b212D.若 a2b212,则 ab1解析：选 C.将原命题的条件与结论同时否定,得否命题为“若 ab1,则 a2b212”.故选 C.2.与命题“若 mM,则 nM”等价的命题是()A.若 mM,则 nM B.若 nM,则 mMC.若 mM,则 nMD.
14、若 nM,则 mM解析：选 D.互为逆否命题的两个命题是等价命题,“若 mM,则 nM”的逆否命题是“若 nM,则 mM”.3.已知命题 p：正数 a 的平方不等于 0,命题 q：若 a 的平方等于0,则 a 不是正数,则 p 是 q 的()A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.否定解析：选 C.根据四种命题的关系,知“正数 a 的平方不等于 0”的逆否命题是“若 a 的平方等于 0,则 a 不是正数”.4.给出下列命题：若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形；若一个四边形对角互补,则它内接于圆；正方形的四条边相等；圆内接四边形对角互补；对角不互补的四边形不内接于圆；若一个四边形的四条边相等,则它是正方形.其中互为逆命题的有_；互为否命题的有_；互为逆否命题的有_.解析：命题可改写为“若一个四边形是正方形,则它的四条边相等”；命题可改写为“若一个四边形是圆内接四边形,则它的对角互补”；命题可改写为“若一个四边形的对角不互补,则它不内接于圆”,再依据四种命题间的关系便不难判断.答案：和,和 和,和 和,和按ESC键退出全屏播放本部分内容讲解结束