1、2021年河北省衡水中学高考数学三调试卷一、单项选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）.1已知全集U，M，N是U的非空子集，且UMN，则必有（）AMUNBMUNCUMUNDMN2哥隆尺是一种特殊的尺子，图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为（）A11B13C15D173今天是星期日，经过7天后还是星期日，那么经过82021天后是（）A星期六B星期日C星期一D星期二4复数zC，在复平面内z对应的点Z，满足1|z|2，则点Z所在区域的面积（）AB2C3D45窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一每年新春佳节，我国许多地
2、区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（）A6，12B6，16C8，12D8，166已知函数f（x）x2，设alog54，blog，c2，则f（a），f（b），f（c）的大小关系为（）Af（a）f（b）f（c）Bf（b）f（c）f（a）Cf（c）f（b）f（a）Df（c）f（a）f（b）7密位制是度量角的一种方法把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的
3、角以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“007”，478密位写成“478.1周角等于6000密位，记作1周角6000，1直角1500如果一个半径为2的扇形，它的面积为，则其圆心角用密位制表示为（）A1250B1750C2100D35008已知实数x，y满足x2+y21，0x1，0y1，当取最小值时，的值为（）ABCD1二、多项选择题（每小题5分，共20分下列每小题所给选项至少有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）9下列命题中为真命题的
4、是（）A若ab，则B若ac2bc2，则abC若cab0，则D若ab，则10据了解，到本世纪中叶中国人口老龄化问题将日趋严重，如图是专家预测中国2050年人口比例图，若从2050年开始退休年龄将延迟到65岁，则下列叙述正确的是（）A到2050已经退休的人数将超过30%B2050年中国4655岁的人数比1625岁的人数多30%C2050年中国25岁以上未退休的人口数大约是已退休人口数的1.5倍D若从中抽取10人，则抽到5人的年龄在3645岁之间的概率为（）5（）511如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF，则下列结论中正确的是（）AACBEBEF平
5、面ABCDCAEF的面积与BEF的面积相等D三棱锥EABF的体积为定值12已知数列an满足，其前n项和为Sn，且m+S20191009，则下列说法正确的是（）Am为定值Bm+a1为定值CS2019a1为定值Dma1有最大值三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分；第16题第一个空2分，第二个空3分）13已知，均为锐角，且，若，则 14描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺，起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹现甲，乙两位工匠要完成A，B，C三件原料的描金工作，每件原料先由甲上
6、漆，再由乙描绘花纹每道工序所需的时间（单位：h）如下：原料时间工序原料A原料B原料C上漆91610描绘花纹15814则完成这三件原料的描金工作最少需要 h15对任意两实数a，b，定义运算“*”：则函数f（x）sinx*cosx的值域为 16已知点M为双曲线C：1（a0，b0）在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，4|MO|4|MF|7|OF|，则双曲线C的离心率为 ；若MF，MO分别交双曲线C于P，Q两点，记直线PM与PQ的斜率分别为k1，k2，则k1k2 四、解答题：（本大题共6小题，共70分；第17题10分，第18-22题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）1
7、7已知数列an是等差数列，设Sn（nN*）为数列an的前n项和，数列bn是等比数列，bn0，若a13，b11，b3+S212，a52b2a3（1）求数列an和bn的通项公式；（2）若cn，求数列cn的前2n项和18如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30，俯角为30的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60，俯角为60的C处（1）求船的航行速度是每小时多少千米？（2）又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？19如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，ABC90，AB2DC2BC，E为AB的中点，沿DE将ADE
8、折起，使得点A到点P位置，且PEEB，M为PB的中点，N是BC上的动点（与点B，C不重合）（）求证：平面EMN平面PBC；（）是否存在点N，使得二面角BENM的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由20甲、乙、丙三人组建团队参加学校元旦游园活动中的投篮比赛，比赛规则：按照甲、乙、丙的顺序进行投篮，每人至多投篮两次；选手投篮时，如果第一次投中，记1分，并再投篮一次，若第二次命中，则再记2分，第二次没有命中，则记0分；如果第一次没有投中，记0分，换下一个选手进行投篮甲、乙、丙投篮的命中率分别为0.6，0.5，0.7（1）求甲、乙、丙三人一共投篮5次的概率；（2）设甲、乙、丙三人得分总和X
9、，若X1，则该团队无奖品；若2X3，则该团队获得20元的奖品；若4X7，则该团队获得50元的奖品；若X8，则该团队获得200元的奖品求该团队获得奖品价值Y的期望21已知A1，A2分别为椭圆的左、右顶点，B为椭圆C的上顶点，点A2到直线A1B的距离为，椭圆C过点（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l过点A1，且与x轴垂直，P，Q为直线l上关于x轴对称的两点，直线A2P与椭圆C相交于异于A2的点D，直线DQ与x轴的交点为E，当PA2Q与PEQ的面积之差取得最大值时，求直线A2P的方程22已知函数f（x）3x（a+1）lnx，g（x）x2ax+4（1）若函数yf（x）+g（x）在其定义域内单调递增
10、，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得函数yf（x）g（x）的图象与x轴相切？若存在，求满足条件的a的个数，请说明理由参考答案一、单项选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）.1已知全集U，M，N是U的非空子集，且UMN，则必有（）AMUNBMUNCUMUNDMN解：全集U，M，N是U的非空子集，且UMN，所以MN，所以MUN故选：A2哥隆尺是一种特殊的尺子，图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为（）A11B13C15D17解：根据题意，如图：假设在图2的哥隆尺中，从左到右，依次有点A、B、C、D、E、F，BE之间的距离为11，可
11、以一次性度量11，CF之间的距离为13，可以一次性度量13，AF之间的距离为17，可以一次性度量17，任意两点间的距离不会等于15，不能一次性度量15，故选：C3今天是星期日，经过7天后还是星期日，那么经过82021天后是（）A星期六B星期日C星期一D星期二解：因为82021（7+1）2021,故它除以7的余数为1，所以经过7天后还是星期日，那么经过82021天后是星期一故选：C4复数zC，在复平面内z对应的点Z，满足1|z|2，则点Z所在区域的面积（）AB2C3D4解：i，|z|1，2分别表示以（，）为圆心，1，2为半径的圆，因此有1|z|2，点Z所在区域的面积22123，故选：C5窗花是贴
12、在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（）A6，12B6，16C8，12D8，16解：由正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，故正六边形ABCDEF的内切圆半径为r，外接圆半径R4而易知，即|所以的取值范围是8，12故选：C6已知函数f（x）x2，
13、设alog54，blog，c2，则f（a），f（b），f（c）的大小关系为（）Af（a）f（b）f（c）Bf（b）f（c）f（a）Cf（c）f（b）f（a）Df（c）f（a）f（b）解：函数f（x）x2在0，+）上是增函数，bloglog53alog541，c2201，cab，f（c）f（a）f（b）故选：D7密位制是度量角的一种方法把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“007”，478密位写成“47
14、8.1周角等于6000密位，记作1周角6000，1直角1500如果一个半径为2的扇形，它的面积为，则其圆心角用密位制表示为（）A1250B1750C2100D3500解：面积为，半径为2的扇形所对的圆心角弧度数大小为，由题意可知，其密位大小为，所以用密位制表示为1750故选：B8已知实数x，y满足x2+y21，0x1，0y1，当取最小值时，的值为（）ABCD1解：令z，由x2+y21，所以，令，则，所以，通过题中选项给出的数据，可得当t时，f(t)0，故当t时，f(t)取得最小值，即当的值为时，取最小值故选：A二、多项选择题（每小题5分，共20分下列每小题所给选项至少有一项符合题意，请将正确答
15、案的序号填涂在答题卡上）9下列命题中为真命题的是（）A若ab，则B若ac2bc2，则abC若cab0，则D若ab，则解：若ab，可令a0，b0，此时，故选项A错误；ac2bc2等价于ac2bc2或者ac2bc2，则当c20时，ac2bc2成立，此时aR，bR，不能判断是否ab，故选项B错误；若cab0，则cbca0，又ab，故选项C正确；已知是R上的增函数，又ab，则，故选项D正确故选：CD10据了解，到本世纪中叶中国人口老龄化问题将日趋严重，如图是专家预测中国2050年人口比例图，若从2050年开始退休年龄将延迟到65岁，则下列叙述正确的是（）A到2050已经退休的人数将超过30%B2050
16、年中国4655岁的人数比1625岁的人数多30%C2050年中国25岁以上未退休的人口数大约是已退休人口数的1.5倍D若从中抽取10人，则抽到5人的年龄在3645岁之间的概率为（）5（）5解：由饼状图知2050年中国将有约32%的人已经退休，所以选项A正确；设4655岁的人数为16x人，1625岁的人数为13x人，则4655岁的人数比1625岁的人数多23%，所以选项B错误；25岁以上未退休的人口数占48%，已退休人口数占32%，所以25岁以上未退休的人口数大约是已退休人口数的1.5倍，所以选项C正确；年龄在3645岁之间的概率为1从所有人中抽取10人，则抽到5人的年龄在36一45岁之间的概率
17、为C105（）5（）5，所以选项D错误，故选：AC11如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF，则下列结论中正确的是（）AACBEBEF平面ABCDCAEF的面积与BEF的面积相等D三棱锥EABF的体积为定值解：由正方体的结构特征可知，DD1平面ABCD，而AC平面ABCD，则D1DAC，又ABCD为正方形，ACBD，D1DBDD，且D1D、BD平面DD1B1B，AC平面DD1B1B，BE平面DD1B1B，ACBE，故A正确；B1D1BD，BD平面ABCD，B1D1平面ABCD，BD平面ABCD，而EF在B1D1上，EF平面ABCD，故B正确；点
18、B到EF的距离为正方体的棱长，A到EF的距离大于棱长，则AEF的面积与BEF的面积不相等，故C错误；如图所示，连接BD，交AC于O，则AO为三棱锥ABEF的高，EFBB11，则为定值，故D正确故选：ABD12已知数列an满足，其前n项和为Sn，且m+S20191009，则下列说法正确的是（）Am为定值Bm+a1为定值CS2019a1为定值Dma1有最大值解：因为，当n2k时，则有，所以S2019a1+a2+a2019a1+（a2+a3）+（a4+a5）+（a2018+a2019）a12+46+810+2018a1+10082018a11010，故S2019a11010，所以m+a1101010
19、09，则m+a11，又，故选项BCD正确，m不是定值，选项A错误故选：BCD三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分；第16题第一个空2分，第二个空3分）13已知，均为锐角，且，若，则5解：因为，所以2sin(+)+3sin(+),所以2sin(+)cos+cos(+)sin3sin(+)coscos(+)sin,则sin(+)cos5cos(+)sin，故tan(+)5tan，则5故答案为：514描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺，起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹现
20、甲，乙两位工匠要完成A，B，C三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹每道工序所需的时间（单位：h）如下：原料时间工序原料A原料B原料C上漆91610描绘花纹15814则完成这三件原料的描金工作最少需要 46h解：经分析，甲按A，C，B的顺序工作，所需时间最短，最短时间为：9+15+8+1446小时故答案为：4615对任意两实数a，b，定义运算“*”：则函数f（x）sinx*cosx的值域为0，2解：由题意可得，f（x）sinx*cosx|2sinx2cosx|2|sin（x）|，因为|sin（x）|0，1，所以2|sin（x）|0，2，故f（x）的值域0，216已知点M为双曲线
21、C：1（a0，b0）在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，4|MO|4|MF|7|OF|，则双曲线C的离心率为 4；若MF，MO分别交双曲线C于P，Q两点，记直线PM与PQ的斜率分别为k1，k2，则k1k215解：设M（x0，y0），由已知可得，4|MO|4|MF|7|OF|7c，则，即M（），把M代入双曲线方程，可得，即4b2c245a2c216a2b2，又b2c2a2，代入上式可得4c465a2c2+16a40，即4e465e2+160，解得e216或（舍），所以双曲线C的离心率e4；设P（x1，y1），则Q（x0，y0），所以，把P、M的坐标分别代入双曲线方程，得，两式
22、作差,可得，由e4，得，即c2a2+b216a2，所以k1k215故答案为：4；15四、解答题：（本大题共6小题，共70分；第17题10分，第18-22题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知数列an是等差数列，设Sn（nN*）为数列an的前n项和，数列bn是等比数列，bn0，若a13，b11，b3+S212，a52b2a3（1）求数列an和bn的通项公式；（2）若cn，求数列cn的前2n项和解：（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q由题意得，解得d2，q2，或d3，q3（舍）an3+2(n1)2n+1，bn2n1（2）由（1）可得设数列cn的前n项和为Pn，
23、则P2n（c1+c3+c2n1）+（c2+c4+c2n）18如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30，俯角为30的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60，俯角为60的C处（1）求船的航行速度是每小时多少千米？（2）又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？解：（1）在RtPAB中，APB60，PA1，AB在RtPAC中，APC30，AC在ACB中，CAB30+6090，BC则船的航行速度为2（千米/时）（2）在ACD、中，DAC906030，sinDCAsin（180ACB）sinACB，sinCDAsin
24、（ACB30）sinACBcos30cosACBsin30由正弦定理得AD故此时船距岛A有千米19如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，ABC90，AB2DC2BC，E为AB的中点，沿DE将ADE折起，使得点A到点P位置，且PEEB，M为PB的中点，N是BC上的动点（与点B，C不重合）（）求证：平面EMN平面PBC；（）是否存在点N，使得二面角BENM的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由解：（I）证明：由PEEB，PEED，EBEDE，所以PE平面EBCD，又BC平面EBCD，故PEBC，又BCBE，故BC平面PEB，EM平面PEB，故EMBC，又等腰三角形PEB，EMPB，BC
25、PBB，故EM平面PBC，EM平面EMN，故平面EMN平面PBC；（II）以E为原点，EB，ED，EP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PEEB2，设N（2，m，0），B（2，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），C（2，2，0），M（1，0，1），设平面EMN的法向量为，由，得，平面BEN的法向量为，故|cos|，得m1，故存在N为BC的中点20甲、乙、丙三人组建团队参加学校元旦游园活动中的投篮比赛，比赛规则：按照甲、乙、丙的顺序进行投篮，每人至多投篮两次；选手投篮时，如果第一次投中，记1分，并再投篮一次，若第二次命中，则再记2分，第二次没有命中，则记0分；如果第一次没有投中，
26、记0分，换下一个选手进行投篮甲、乙、丙投篮的命中率分别为0.6，0.5，0.7（1）求甲、乙、丙三人一共投篮5次的概率；（2）设甲、乙、丙三人得分总和X，若X1，则该团队无奖品；若2X3，则该团队获得20元的奖品；若4X7，则该团队获得50元的奖品；若X8，则该团队获得200元的奖品求该团队获得奖品价值Y的期望解：（1）甲、乙、丙三人一共投篮5次的情况是三个人中有且只有一人第一次没有投中，另外两人第一次投中，甲、乙、丙三人一共投篮5次的概率为：P0.40.50.7+0.60.50.7+0.60.50.30.44（2）由题意得奖品价值Y的可能取值为0，20，50，200，P（Y0）P（X1）0.
27、60.40.50.3+0.40.50.50.3+0.40.50.70.3+0.40.50.30.168，P（Y20）P（2X3）P（X2）+P（X3）0.60.40.50.50.3+0.60.40.50.70.3+0.40.50.50.70.3+0.60.40.50.50.70.3+0.60.60.50.3+0.40.50.50.3+0.40.50.70.70.2588，P（Y200）P（X8）P（X9）0.60.60.50.50.70.70.0441，P（Y50）1P（Y0）P（Y20）P（Y200）10.1680.25880.04410.5291，该团队获得奖品价值Y的期望为：E（Y）00
28、.168+200.2588+500.5291+2000.044140.45（元）21已知A1，A2分别为椭圆的左、右顶点，B为椭圆C的上顶点，点A2到直线A1B的距离为，椭圆C过点（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l过点A1，且与x轴垂直，P，Q为直线l上关于x轴对称的两点，直线A2P与椭圆C相交于异于A2的点D，直线DQ与x轴的交点为E，当PA2Q与PEQ的面积之差取得最大值时，求直线A2P的方程解：（1）由题意知A1（a，0），A2（a，0），B（0，b），则直线A1B的方程为，即bxay+ab0，所以点A2到直线A1B的距离，即，又椭圆C过点，所以，联立，解得a24，b23，故椭圆C
29、的标准方程为；（2）由（1）得A2（2，0），直线l的方程为x2，由题意知直线A2P的斜率存在且不为0，设直线A2P的方程为xmy+2（m0），联立，解得，即，联立，消x得（3m2+4）y2+12my0，解得y0或，所以，所以直线DQ的方程为，令y0，得，|A2E|，所以，当且仅当m时取等号，故当PA2Q与PEQ的面积之差取得最大值时，直线A2P的方程为或22已知函数f（x）3x（a+1）lnx，g（x）x2ax+4（1）若函数yf（x）+g（x）在其定义域内单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得函数yf（x）g（x）的图象与x轴相切？若存在，求满足条件的a的个数，请说明理由
30、解：（1）yf（x）+g（x）3x（a+1）lnx+x2ax+4在（0，+）上单调递增，y3+2xa0，在（0，+）上恒成立，即a2（x+1）1，易知y2（x+1）1在（0，+）上为增函数，y2（x+1）12411，a1；（2）函数yf（x）g（x）3x（a+1）lnxx2+ax4，设h（x）3x（a+1）lnxx2+ax4，x0，h（x）32x+a，令h（x）0，解得x或x1，当a+10时，即a1时，当x（0，1）时，h（x）0，当x（1，+）时，h（x）0，h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，h（x）maxh（1）a20，解得a2（舍去），当a1时，h（x）0，即极值点
31、为x或x1，函数yf（x）g（x）的图象与x轴相切，h（）0或h（1）0，当h（1）0时，h（1）a20，解得a2，当h（）0时，可得（a+1）ln（）（）2+a40，设t，则t0，则3t2tlntt2+（2t1）t40，即t2+2t2tlnt40，设（t）t2+2t2tlnt4，t0，（t）2t+22（1+lnt）2（tlnt），再令m（t）tlnt，t0，m（t）1，当0t1时，m（t）0，函数m（t）单调递减，当t1时，m（t）0，函数m（t）单调递增，m（t）m（1）0，（t）0，（t）在（0，+）上单调递增，（1）10，（2）44ln20，存在t0（1，2），使得（t0）0，即（1，2），即a（1，3），综上所述存在实数一个实数a（1，3），得使得函数yf（x）g（x）的图象与x轴相切
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