1、九等比数列的前n项和公式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2020来宾高二检测)已知等比数列an的前n项和为Sn,若a1=a3-8,且S3=13,则a2=()A.-3B.3C.-D.3或-【解析】选D.设公比为q,易知q1.由得,解得或,当时,a2=a1q=3;当时,a2=a1q=-,所以a2=3或a2=-.2.设等比数列an的公比q=2,前n项和为Sn,则等于()A.2B.4C.D.【解析】选C.S4=,a2=a1q,所以=.3.设f(n)=2+24+27+23n+1 (nN+),则f(n)等于()A.(8n-1)B.(8n+1-1)C.(8n+2-1)D.(8n+3
2、-1)【解析】选B.f(n)=2+24+27+23n+1=(8n+1-1).4.(2019全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前4项的和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16B.8C.4D.2【解析】选C.设该等比数列的首项为a1,公比为q,由已知得,a1q4=3a1q2+4a1,因为a10且q0,则可解得q=2,又因为a1(1+q+q2+q3)=15,即可解得a1=1,则a3=a1q2=4.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2020肇庆高二检测)记Sn为等比数列an的前n项和,若a3=-1,S3=-3,则a1=_.【解析】设等比数列an的公比为q.因为a3=-1,S3
3、=-3,当q=1时,显然满足,此时a1=-1,当q1时,整理可得,2q2-q-1=0,解得,q=1(舍)或q=-,a1=-4.综上,a1=-1或-4.答案:-1或-46.已知等比数列an的前n项和为Sn=x3n-1-,则x的值为_.【解析】显然q1,此时应有Sn=A(qn-1),又Sn=(2x3n-1),所以x=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)7.等比数列an中,a1=2,a7=4a5.(1)求an的通项公式;(2)记Sn为an的前n项和.若Sm=126,求m.【解析】(1)设数列an的公比为q,所以q2=4,所以q=2,所以an=2n或an=-(-2)n.(2)由(1)知Sn=2
4、n+1-2或Sn=1-(-2)n,所以2m+1-2=126或1-(-2)m=126(舍去),解得m=6.8.(2020海淀高二检测)在等比数列an中,a2=1,a5=8,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列an的前n项和为Sn,若Sn100,求n的最大值.【解析】(1)设等比数列an的公比为q.因为a2=1,a5=8,所以q3=8,故q=2,所以an=a2qn-2=2n-2.(2)由(1)知,a1=,所以Sn=(2n-1)100,则2n201,由于27=128,28=256.所以n的最大值为7.(15分钟30分)1.(5分)(2020绍兴高二检测)设等比数列an的前n项和为Sn,若
5、S5=2S10,则=()A.B.-C.D.-【解析】选D.由S5=2S10,可知q1,则=2,整理可得,2q10-q5-1=0,解得q5=-或q5=1(舍),则=-.2.(5分)公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论.他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000m处开始,和阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1 000m,此时乌龟便领先他100 m;当阿基里斯跑完下一个100 m时,乌龟仍然领先他10 m;当阿基里斯跑完下一个10 m时,乌龟仍然领先他1 m所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10-2 m时
6、,乌龟爬行的总距离(单位:m)为()A.B.C.D.【解析】选B.由题意知,乌龟每次爬行的距离(单位:m)构成等比数列,且首项a1=100,公比q=,易知a5=10-2,则乌龟爬行的总距离(单位:m)为S5= =.3.(5分)在等比数列an中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项和S15=_.【解析】因为a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,a7+a8+a9,成等比数列,所以S15=11.答案:114.(5分)如图,最大的三角形是边长为2的等边三角形,将这个三角形各边的中点相连得到第二个三角形,依此类推,一共得到10个三角形,则这10个三角形的面积的和为
7、_.【解析】设以2为边长的等边三角形的面积为a1,根据题意,设得到的第n个等边三角形的面积为an,则an是以a1=22=为首项,以q=为公比的等比数列,因为公比q1,故这10个三角形的面积和为S10=.答案:5.(10分)在等比数列an中,a1a2a3=27,a2+a4=30,试求:(1)a1和公比q;(2)前6项的和S6.【解析】(1)根据题意,在等比数列an中,a1a2a3=27,则有a1a2a3=27,即a2=3,a2=3时,a4=30-a2=27,有q2=9,即q=3,若q=3,则a1=1,若q=-3,则a1=-1,综上,a1=1,q=3或a1=-1,q=-3.(2)当q=3,a1=1
8、时,前6项的和S6=364;当q=-3,a1=-1时,前6项的和S6=182.1.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“诸葛亮领八员将,每将又分八个营,每营里面排八阵,每阵先锋有八人,每人旗头俱八个,每个旗头八队长,每队更该八个甲,每个甲头八个兵.”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有()A.(87-8)人B.(89-8)人C.8+(87-8)人D.8+(89-84)人【解析】选A.该问题中有8名将官,82名先锋,83名旗头,84名队长,85名甲头,86名士兵,则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有8+82+83+84+85+86=(87-8)(人).2.一个热气球在第一分钟上升了30 m的高度,在以后的每一分钟内,它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的.这个热气球上升的高度能超过150 m吗?【解析】用an表示热气球在第n分钟内上升的高度,由题意,数列an是首项a1=30,公比q=的等比数列.热气球在前n分钟内上升的总高度Sn=a1+a2+an=150150,即这个热气球上升的高度不可能超过150 m.