1、 1.1 变化率与导数11.1&1.1.2 变化率问题 导数的概念一、预习教材问题导入根据以下提纲，预习教材 P2P6 的内容，回答下列问题(1)气球膨胀率气球的体积 V(单位：L)与半径 r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)43r3，如果将半径 r 表示为体积 V 的函数，那么 r(V)3 3V4.当空气容量V从0增加到1 L时，气球的平均膨胀率是多少？提示：r1r0100.62(dm/L)当空气容量 V 从 1 L 增加到 2 L 时，气球的平均膨胀率是多少？提示：r2r1210.16(dm/L)当空气容量从 V1 增加到 V2 时，气球的平均膨胀率又是多少？提示：rV2rV1V2V1
2、.(2)高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后时间 t(单位：s)存在函数关系 h(t)4.9t26.5t10.在 0t0.5 这段时间里，运动员的平均速度 v 是多少？提示：v h0.5h00.504.05(m/s)在 1t2 这段时间里，运动员的平均速度 v 是多少？提示：v h2h1218.2(m/s)在 t1tt2 这段时间里，运动员的平均速度 v 又是多少？其中t1t20，6549提示：v ht2ht1t2t1.二、归纳总结核心必记1函数yf(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：yx.(2)实质：的改变量与的改变量之比(3)意义：刻画函数值在区
3、间x1，x2上变化的(4)平均变化率的几何意义：设A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)是曲线yf(x)上任意不同的两点，函数yf(x)的平均变化率yxfx2fx1x2x1fx1xfx1x为割线AB的斜率，如图所示fx2fx1x2x1函数值自变量快慢2函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率定义式 limx0yx实质瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，趋近的值作用刻画函数在处变化的快慢limx0fx0 xfx0 x平均变化率某一点点睛“x无限趋近于0”的含义 x趋于0的距离要多近有多近，即|x0|可以小于给定的任意小的正数，且始终x0.3导数的概念定义式 limx0yx记法或y|xx0实质
4、函数yf(x)在xx0处的导数就是yf(x)在xx0处的limx0fx0 xfx0 xf(x0)瞬时变化率三、综合迁移深化思维(1)设A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)是曲线yf(x)上任意不同的两点，则函数yf(x)的平均变化率yxfx2fx1x2x1fx1xfx1x表示什么？提示：表示割线AB的斜率(2)x，y的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？提示：x，y可正可负，y也可以为零，但x不能为0，平均变化率yx可正、可负、可为零(3)在高台跳水中，如何求在1,1t这段时间内的平均速度v？当t趋近于0时，平均速度 v 有什么样的变化趋势？提示：v v1tv11t1.当t趋近于0
5、时，平均速度 v 即为t1时的瞬时速度(4)平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系？提示：区别：平均变化率刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；联系：当x趋于0时，平均变化率 yx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值.探究点一 函数的平均变化率思考探究(1)平均变化率可用式子yx表示，其中y、x的意义是什么？提示：y、x分别表示函数值和自变量的变化量(2)如何求函数yf(x)在区间x1，x2上的平均变化率？提示：平均变化率为fx2fx1x2x1.典例精析已知函数f(x)3x25，求f(x)：(1)从0.1到0.2的平均
6、变化率；(2)在区间x0，x0 x上的平均变化率解(1)因为f(x)3x25，所以从0.1到0.2的平均变化率为30.22530.1250.20.10.9.(2)f(x0 x)f(x0)3(x0 x)25(3x205)3x206x0 x3(x)253x2056x0 x3(x)2.函数f(x)在区间x0，x0 x上的平均变化率为6x0 x3x2x6x03x.类题通法(1)求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量xx2x1.第二步，求函数值的增量yf(x2)f(x1)第三步，求平均变化率yxfx2fx1x2x1.(2)求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用fx0 xfx0
7、x的形式针对训练1已知函数f(x)x1x，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为f2f12121211112；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为f5f35351531321415.因为121415，所以函数f(x)x1x在自变量x从3变到5时函数值变化得较快探究点二 瞬时速度思考探究某物体按sf(t)的规律运动(1)该物体在t0，t0 t内的平均速度是什么？在t0的瞬时速度是多少？提示：v ft0tft0tst.v0limt0st.(2)如何求yx(当x无限趋近于0时)
8、的极限？名师指津：在极限表达式中，可把x作为一个数来参与运算求出yx的表达式后，x无限趋近于0就是令x0，求出结果即可 典例精析若一物体的运动方程为s293t32，0t0，1，x0，所以当x0时，yx的极限不存在，从而在x0处的导数不存在 典例精析利用导数的定义求函数f(x)3x22x在x1处的导数解 y3(1x)22(1x)(31221)3(x)24x，yx3x24xx3x4，y|x1limx0yxlimx0(3x4)4.类题通法1用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤简称：一差、二比、三极限2瞬时变化率的变形形式limx0fx0 xfx0 xlimx0fx0 xfx0 xlimx0fx0n
9、xfx0nxlimx0fx0 xfx0 x2xf(x0)针对训练3利用导数的定义求函数f(x)x23x在x2处的导数解：由导数的定义知，函数在x2处的导数f(2)limx0f2xf2x，而f(2x)f(2)(2x)23(2x)(2232)(x)2x，于是f(2)limx0 x2xxlimx0(x1)1.课堂归纳领悟1本节课的重点是函数yf(x)在xx0处的导数的定义，也是本节课的难点2本节课要重点掌握的规律方法(1)平均变化率的求法，见探究点一；(2)瞬时速度的求法，见探究点二；(3)利用定义求函数在某一点处的导数的方法，见探究点三3本节课的易错点是对导数的概念理解不清而导致出错，见探究点三注意：在导数的定义中，增量x的形式是多样的，但不论x是哪种形式，y必须选择相对应的形式 “课下梯度提能”见“课时跟踪检测(一)”(单击进入电子文档)
