1、课时作业3正弦定理与余弦定理的应用时间：45分钟1海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B、C间的距离是(D)A10海里B10海里C5海里D5海里解析：如题图，A60，B75，则C45，由正弦定理得：BC5.2如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A、B两点的距离为(A)A50 m B50 mC25 m D. m解析：因为ACB45，CAB105，所以ABC30，根据正弦定理可知，即，解得AB50 m，选A.3如图，测量河对岸的塔的高度
2、AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30 m，并在C测得塔顶A的仰角为60，则塔AB的高度为(D)A15 m B15 mC15(1) m D15 m解析：在BCD中，由正弦定理得BCCD15，在RtABC中，ABBCtan6015.故选D.4在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔顶的仰角为60，塔基的俯角为45(如图所示)，那么这座塔的高是(B)A20 mB20(1) mC10() mD20() m解析：由题意知四边形ABDE为矩形，BAD90DAE45，ABBD20 m，AEBD20 m故在RtAEC中，CEAEtan6020 m.CDDECE
3、202020(1)(m)5如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为(B)Aa km B.a kmC.a km D2a km解析：易知ACB120，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos1202a22a2()3a2，ABa km.6如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得建筑物顶端的仰角分别为30，45，且A，B两点间的距离为60 m，则该建筑物的高度为(A)A(3030) m B(3015) mC(1530) m D(1515) m解析：
4、在PAB中，PAB30，APB15，AB60 m，sin15sin(4530)sin45cos30cos45sin30，由正弦定理，得PB30() m，所以建筑物的高度为PBsin4530()(3030)(m)，故选A.7线段AB外有一点C，ABC60，AB200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始多少小时后，两车的距离最小(C)A. B1C. D2解析：如图所示，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD80t，BE50t.因为AB200，所以BD20080t，问题就是求DE最小时t的值由余弦定理，得DE2BD
5、2BE22BDBEcos60(20080t)22 500t2(20080t)50t12 900t242 000t40 000.当t时，DE最小故选C.8某炮兵阵地位于A点，两个观察所分别位于C，D两点已知ACD为等边三角形，且DC km，当目标出现在B点(A，B两点位于CD两侧)时，测得CDB45，BCD75，则炮兵阵地与目标的距离约为(C)A1.1 km B2.2 kmC2.9 km D3.5 km解析：如图，CBD180CDBBCD180457560.在BCD中，由正弦定理，得，故BD.在ABD中，ADB4560105，由余弦定理，得AB2AD2BD22ADBDcos105，AB2.9(k
6、m)故炮兵阵地与目标的距离约为2.9 km，故选C.9如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B和对岸标记物C，测得CAB30，CBA45，AB120米，则河的宽度为(6060)米解析：由题意可得ACB105，由正弦定理得，BC6060，如图，过C点作CDAB于D，设CDx，则xBCsin4560(1)6060.10一只蚂蚁沿东北方向爬行x cm后，再向右转105爬行20 cm，又向右转135，这样继续爬行可回到出发点处，那么x.解析：假设蚂蚁的爬行路线为ABCA.根据题意，作出图形，如图，在ABC中，ABC75，ACB45，则BAC60，由正弦定理知，x.11如图，嵩山上原有一条笔直的山
7、路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角ABC120；从B处攀登400 m到达D处，回头看索道AC，发现张角ADC150；从D处再攀登800 m到达C处，则索道AC的长为400 m.解析：在ABD中，BD400，ABD120.ADB180ADC30，DAB1801203030，ABBD400，AD400.在ADC中，DC800，ADC150，AC2AD2DC22ADDCcosADC(400)280022400800cos150400213，AC400.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，12、13、15题各12分，14题6分，共42分)12如图所示
8、，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？解：在ABC中，BC30海里，B30，ACB135，BAC15.由正弦定理得，即：，AC60cos1560cos(4530)60(cos45cos30sin45sin30)15()(海里)，A到BC的距离dACsin4515(1)40.98(海里)38海里，所以继续向南航行，没有触礁危险13现有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船位于点A北偏东45且与点A相距40海里的B处，经过40分钟，又测得该船已行
9、驶到点A北偏东(45)(其中sin，090)且与点A相距10海里的C处求该船的行驶速度(单位：海里/时)解：如图所示，AB40海里，AC10海里，BAC，sin.由于090，所以cos.由余弦定理得BC10海里，所以船的行驶速度为15(海里/时)素养提升14在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平平面上为测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了A，B两个观测点，在A处测得该塔底部C在西偏北的方向上，在B处测得该塔底部C在西偏北的方向上，并测得塔顶D的仰角为.已知ABa,0，则此塔的高CD为(B)A.tanB.tanC.tanD.tan解析：依题意，得在ABC中，AB
10、a，CAB，ACB，由正弦定理，得，所以BC.在BCD中，CBD，CDBCtantan，故选B.15某市电力部门在一次救灾过程中，需要在A，B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A，B两地距离现测量人员在相距 km的C，D两地(假设A，B，C，D在同一平面上)，测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(如图)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约是A，B距离的倍，问施工单位至少应准备多长的电线？解：在ACD中，由已知可得，CAD30，所以AC km，在BCD中，由已知可得，CBD60，sin75sin(4530).由正弦定理，得BC(km)cos75cos(4530)，在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosBCA()2()22cos755.所以AB km.施工单位应准备的电线长为 km.答：施工单位至少应准备的电线长为 km.