1、第二节 函数的单调性与最值 学习要求:1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.1.函数的单调性(1)单调函数的定义:增函数 减函数 定义 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2 当 x1x2时,都有 f(x1)f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是单调增函数 当 x1f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是单调减函数 图象 描述 自左向右看图象是 上升的 自左向右看图象是 下降的 (2)单调区间的定义:若函数 f(x)在区间 D 上是 单调增函数或
2、单调减函数,则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间.提醒(1)求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域.(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“”连接.(3)“函数的单调区间 M”与“函数在区间 N 上单调”是两个不同的概念,显然 NM.2.函数的最值 前提 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 条件(1)对于任意的 xI,都有 f(x)M;(2)存在 x0I,使得 f(x0)=M (1)对于任意的 xI,都有 f(x)M;(2)存在 x0I,使得 f(x0)=M 结论 M 为函数 y=
3、f(x)的最大值 M 为函数 y=f(x)的最小值 知识拓展 1.单调性定义的等价形式 设任意 x1,x2a,b,x1x2.(1)若有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0 或 -0,则 f(x)在闭区间a,b上是增函数.(2)若有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0 或 -0,则 kf(x)与 f(x)的单调性相同;若 k0)与 y=-f(x),y=在公共定义域内的单调性相反.(4)函数 y=f(x)(f(x)0)与 y=在公共定义域内的单调性相同.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)函数 y=的单调递减区间是(-,0)(0,+).()(2)函数 f(x)在区间a,b上单调递
4、增,则函数 f(x)的单调递增区间为a,b.()(3)若 f(x)是增函数,g(x)是增函数,则 f(x)g(x)也是增函数.()(4)所有的单调函数都有最值.()(5)已知函数 y=f(x)在 R 上是增函数,则函数 y=f(-x)在 R 上是减函数.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(新教材人教 A 版必修第一册 P79 例 3 改编)下列函数中,在区间(0,+)内单调递减的是()A.y=-x B.y=x2-x C.y=ln x-x D.y=ex-x 答案 A 3.(新教材人教 A 版必修第一册 P86T7 改编)函数 f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-,
5、-2)B.(-,1)C.(1,+)D.(4,+)答案 D 4.函数 f(x)=-的值域为 .答案-5.设函数 f(x)=-g(x)=x2f(x-1),则函数 g(x)的单调递减区间是 .答案 0,1)确定函数的单调性(区间)典例 1(1)(2020 课标文,10,5 分)设函数 f(x)=x3-,则 f(x)()A.是奇函数,且在(0,+)单调递增 B.是奇函数,且在(0,+)单调递减 C.是偶函数,且在(0,+)单调递增 D.是偶函数,且在(0,+)单调递减(2)判断函数 f(x)=x+(a0)在(0,+)上的单调性.答案(1)D 解析(2)设 x1,x2是任意两个正数,且 x1x2,则 f
6、(x1)-f(x2)=()()-(x1x2-a).当 0 x1x2 时 所以 即 所以函数 在 上是减函数;当 x1a,x1-x20,所以 f(x1)-f(x2)0,即 f(x1)x11 时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)ab B.cba C.acb D.bac 答案 D 角度二 解不等式 典例 3 已知函数 f(x)为 R 上的增函数,若 f(a2-a)f(a+3),则实数 a 的取值范围是 .答案(-,-1)(3,+)角度三 求参数的值或取值范围 典例 4(1)已知函数 f(x)=-满足对任意的实数 x1x2都有 -0,即 a1 时,由题意知 1a3;当 a-10,即 a0,即 a0
7、)在区间2,4上单调递减,则实数 a 的值是 .答案 8 解析 f(x)=x|2x-a|=|2x2-ax|(a0),由 f(x)的图象(图略)得该函数的单调减区间是(-,0),所以 解得 a=8.4.若定义在-2,2上的函数 f(x)满足(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,x1x2,且 f(a2-a)f(2a-2),则实数 a 的取值范围为 .答案 0,1)解析 因为函数 f(x)满足(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,x1x2,所以函数 f(x)在-2,2上单调递增,所以-解得-或 所以 0a1.求函数的最值(值域)典例 5(1)函数 f(x)=-的最大值为 .(2)函数 y=2x-
8、1-的值域为 .(3)当-3x-1 时,函数 y=-的最小值为 .(4)函数 y=2x+-的值域为 .答案(1)2(2)(-(-方法技巧 求函数最值的五种常用方法(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点求最值.(3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求最值.(4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值求最值.(5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.1.函数 y=-的值域为 .答案 y|yR 且 y3 解析 y=-,因为 -0,
9、所以 3+-3,所以函数 y=-的值域为y|yR 且 y3.2.已知函数 f(x)的值域为 则函数 -的值域为 .答案 解析 f(x),-.令 t=-t ,则 f(x)=(),令 y=g(x),则 y=(1-t2)+t,即 y=-().当 t=时 有最小值 ;当 t=时 有最大值 .g(x)的值域为 .3.函数 y=|x+1|+|x-2|的值域为 .答案 3,+)解析 易知函数 y=-作出函数的图象如图所示.根据图象可知,函数 y=|x+1|+|x-2|的值域为3,+).A 组 基础达标 1.(2020 河北廊坊期中)若函数 f(x)=x2+a|x|+2,xR 在区间3,+)和-2,-1上均为
10、增函数,则实数a 的取值范围是()A.-B.-6,-4 C.-3,-2 D.-4,-3 答案 B 2.(2020 山西晋城期末)已知函数 f(x)是定义在区间0,+)上的增函数,则满足 f(2x-1)f()的 x的取值范围是()A.()C.()答案 D 3.(2020 河南开封期中)已知函数 f(x)=x2-2ax+a 在区间(-,1)上有最小值,则函数 g(x)=在区间(1,+)上一定()A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数 答案 D 4.(2020 山西晋中模拟)函数 f(x)满足 f(x+2)=3f(x),xR,若当 x0,2时,f(x)=x2-2x+2,则当 x-4,
11、-2时,f(x)的最小值为()A.答案 A 5.(2020 江苏淮安期中)已知定义在 R 上的函数 f(x)是增函数,则满足 f(x)f(2x-3)的 x 的取值范围是 .答案(3,+)6.(2020 浙江慈溪联考)设x表示不超过 x 的最大整数,已知函数 f(x)=x-x,则 f(-0.5)=;其值域为 .答案 0.5;0,1)B 组 能力拔高 7.(2020 河南鹤壁期末)若 f(x)=-是定义在 R 上的减函数,则 a 的取值范围是 .答案 )解析 由题意知,-解得 所以 a0),且 f(x)在0,1上的最小值为 g(a),求 g(a)的最大值.解析 f(x)=(-)当 时 此时 在 上
12、为增函数 所以 当 时 此时 在 上为减函数 所以 当 时 此时 所以 所以 在 上为增函数 在 上为减函数 又 时 =1,所以当a=1 时,g(a)取得最大值 1.9.(2020 浙江金华模拟)已知定义在区间(0,+)上的函数 f(x)满足 f()=f(x1)-f(x2),当 x1 时,f(x)0,将其代入 f()=f(x1)-f(x2)得 f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故 f(1)=0.(2)证明:任取 x1,x2(0,+),且 x1x2,则 1,当 x1 时,f(x)0,f()0,即 f(x1)-f(x2)0,因此 f(x1)f(x2),函数 f(x)在区间(0,+)上是单调递减
13、函数.(3)f(x)在(0,+)上是单调递减函数,f(x)在2,9上的最小值为 f(9).由 f()得()=f(9)-f(3),且 f(3)=-1,f(9)=-2.f(x)在2,9上的最小值为-2.10.(2020 湖北宜昌模拟)设函数 f(x)=ax2+bx+1(a,bR),F(x)=-(1)若 f(-1)=0,且对任意的实数 x 均有 f(x)0 成立,求 F(x)的解析式;(2)在(1)的条件下,当 x-2,2时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围.解析(1)f(-1)=0,b=a+1.对任意的实数 x,f(x)0 恒成立,-从而 f(x)=x2+2x+1.F(
14、x)=-(2)由(1)可知 f(x)=x2+2x+1,g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1,g(x)在-2,2上是单调函数,-2 或-2,得 k-2 或 k6.即实数 k 的取值范围为(-,-26,+).C 组 思维拓展 11.(2020 黑龙江绥化模拟)已知函数 f(x)=x2+a|x-2|-4.(1)当 a=2 时,求 f(x)在0,3上的最大值和最小值;(2)若 f(x)在区间-1,+)上单调递增,求实数 a 的取值范围.解析(1)当 a=2 时,f(x)=x2+2|x-2|-4=-当 x0,2)时,-1f(x)2 时,由 f(x)单调递增,得-2,即 a-4;当-10 时,
15、f(x)-1.(1)求 f(0)的值,并证明 f(x)在 R 上是单调递增函数;(2)若 f(1)=1,解关于 x 的不等式 f(x2+2x)+f(1-x)4.解析(1)令 x=y=0,得 f(0)=-1.在 R 上任取 x1,x2,且 x1x2,则 x1-x20,f(x1-x2)-1.又 f(x1)=f(x1-x2)+x2=f(x1-x2)+f(x2)+1f(x2),所以函数 f(x)在 R 上是单调递增函数.(2)由 f(1)=1 得 f(2)=3,f(3)=5.由 f(x2+2x)+f(1-x)4 得 f(x2+x+1)f(3),又函数 f(x)在 R 上是增函数,所以 x2+x+13,解得 x1,故原不等式的解集为x|x1.
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