1、第四节不等关系与不等式学习要求:1.了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2.会比较两个式子的大小.1.两个实数比较大小的方法(1)作差法(a,b是实数):a-b0ab,a-b=0a=b,a-b0a1ab,ab=1a=b,ab1abbb,bcac可加性aba+cb+c可乘性abc0acbcc的符号abc0acbcda+cb+d同向同正可乘性ab0cd0acbd可乘方性ab0anbn(nN,n1)同正可开方性ab0nanb(nN,n2)1.倒数的性质(1)ab,ab01a1b.(2)a0b1ab0,0cbd.(4)0axb或axb01b1xb0,m0,则:(1)bab-
2、ma-m(b-m0).(2)aba+mb+m;ab0).1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”). (1)两个实数a,b之间,有且只有ab,a=b,a1,则ab.()(3)一个不等式的两边同时加上或同时乘同一个数,不等号方向不变.()(4)同向不等式具有可加性和可乘性.()(5)两个数的比值大于1,则分子不一定大于分母.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(人教A版选修5 P80 习题33 A9改编)设A=(x-3)2,B=(x-2)(x-4),则A与B的大小关系为()A.ABB.ABC.ABD.A0,所以AB.故选B.3.设ab,a,b,cR,则下列结论正确的是()A.ac2bc2B
3、.ab1C.a-cb-cD.a2b2答案C当c=0时,ac2=bc2,所以选项A错误;当b=0时,ab无意义,所以选项B错误;因为ab,所以a-cb-c恒成立,所以选项C正确;当a0时,a2b,1a0B.ab0D.a+b0答案A因为1a1b,所以1a-1b=b-aabb,所以b-a0.5.下列不等式中恒成立的是.m-3m-5;5-m3-m;5m3m;5+m5-m.答案解析m-3-m+5=20,故中不等式恒成立;5-m-3+m=20,故中不等式恒成立;5m-3m=2m,无法判断其符号,故中不等式不恒成立;5+m-5+m=2m,无法判断其符号,故中不等式不恒成立.比较两个数(式)的大小典例1 (1
4、)已知ab0,m0,则()A.ba=b+ma+mB.bab+ma+mC.bab0,m0,所以b-a0,所以m(b-a)a(a+m)0,即ba-b+ma+m0,所以ba0,b=ln220,所以ab=ln332ln2=2ln33ln2=ln9ln8=log891,所以ab.名师点评比较大小常用的方法提醒用作差法比较大小的关键是对差式进行变形,常用的变形有通分、因式分解、配方等.1.设a,b0,+),A=a+b,B=a+b,则A,B的大小关系是()A.ABB.ABC.AB答案B由题意得,B2-A2=-2ab0,又A0,B0,所以AB.2.比较a2b+b2a与a+b(a0,b0)两个代数式的大小.解析
5、因为a2b+b2a-(a+b)=a3+b3-a2b-ab2ab=a2(a-b)+b2(b-a)ab=(a-b)(a2-b2)ab=(a-b)2(a+b)ab,a0,b0,所以(a-b)2(a+b)ab0,故a2b+b2aa+b.不等式的性质1.设a,bR,则“ab”是“a|a|b|b|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C当bba|a|b|b|;当b=0时,显然有aba|a|b|b|;当b0时,由ab得|a|b|,所以aba|a|b|b|.综上可知,aba|a|b|b|,故选C.2.若a0b-a,cdbc;ad+bcb-d;a(d-c)b(d-c
6、).其中成立的个数是()A.1B.2C.3D.4答案C因为a0b,cd0,所以ad0,所以adb-a,所以a-b0,因为cd-d0,所以a(-c)(-b)(-d),所以ac+bd0,所以ad+bc=ac+bdcd0,故中结论正确.因为c-d,因为ab,所以a+(-c)b+(-d),即a-cb-d,故中结论正确.因为ab,d-c0,所以a(d-c)b(d-c),故中结论正确.故选C.3.若ab0,cdbcB.adbdD.acbd答案B因为cd0,所以1d1c-1c0.又ab0,所以-ad-bc0,所以adbc.故选B.4.已知abc且a+b+c=0,则下列不等式恒成立的是()A.a2b2c2B.
7、a|b|c|b|C.bacaD.cacb答案D因为abc且a+b+c=0,所以a0,b的符号不定,对于ba,两边同时乘正数c,不等号方向不变,故cacb.名师点评判断关于不等式命题真假的方法(1)直接运用不等式的性质:把要判断的命题和不等式的性质联系起来,找到与命题相近的性质,然后进行推理判断.(2)利用函数的单调性:当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.(3)特殊值验证:给要判断的几个式子中的变量取一些特殊值,然后进行比较、判断.不等式性质的应用角度一和差型表达式的取值范围典例2(1)已知-1x4,2y3,则x-y的取值范围是,3x+
8、2y的取值范围是.(2)已知-1x+y4且2x-y3,求3x+2y的取值范围.答案(1)(-4,2);(1,18)解析(1)因为-1x4,2y3,所以-3-y-2,所以-4x-y2.由-1x4,2y3,得-33x12,42y6,所以13x+2y18.(2)设3x+2y=m(x+y)+n(x-y)=(m+n)x+(m-n)y,则m+n=3,m-n=2,所以m=52,n=12,即3x+2y=52(x+y)+12(x-y),因为-1x+y4,2x-y3,所以-5252(x+y)10,112(x-y)32,所以-3252(x+y)+12(x-y)232,即-323x+2y232,故3x+2y的取值范围
9、为-32,232.角度二积商型表达式的取值范围典例3设实数x,y满足3xy28,4x2y9,则x3y4的最大值是.答案27解析设x3y4=(xy2)mx2yn=xm+2ny2m-n,则m+2n=3,2m-n=-4,解得m=-1,n=2,x3y4=1xy2x2y2,3xy28,4x2y9,181xy213,16x2y281,2x3y427,x3y4的最大值是27.名师点评求代数式取值范围的方法利用不等式的性质求某些代数式的取值范围时,多次运用不等式的性质有可能扩大变量的取值范围.解决此类问题,一般是利用整体思想,通过“一次性”不等式关系的运算求得整体范围.已知角,满足-2-2,0+,则3-的取值
10、范围是.答案(-,2)解析设3-=m(-)+n(+)=(m+n)+(n-m),则m+n=3,n-m=-1,解得m=2,n=1.因为-2-2,0+,所以-2(-),故-3-b,则ac2bc2B.若acbc,则abC.若a3b3且ab1bD.若a2b2且ab0,则1ab,则acbc2,则abC.若ababb2D.若a0b,则|a|b,则下列不等式恒成立的是()A.a2b2B.ab1C.2a2bD.lg(a-b)0答案C4.已知x,yR,且xy0,则下列不等式恒成立的是()A.1x-1y0B.sin x-sin y0C.12x-12y0答案C5.(多选题)设ba0,cR,则下列不等式中正确的是()A
11、.a121b-cC.a+2b+2abD.ac2c,bd,则下列结论正确的是()A.(a+b)2(c+d)2B.ab+cd-ad-bc0C.abcdD.a-bc-d答案B根据ac,bd,取a=b=0,c=d=-1,则可排除A,C,D.故选B.7.(2020河南开封期末)若2x+log2x=4y+2log4y,则()A.x2yB.xy2D.xy2答案B根据题意2x+log2x=4y+2log4y变形得2x+log2x=22y+log2y,而22y+log2y22y+log2y+1=22y+log2(2y),则有2x+log2x22y+log2(2y),令f(x)=2x+log2x,由指数函数和对数
12、函数的单调性得f(x)在(0,+)内单调递增,2x+log2x22y+log2(2y),即f(x)f(2y),x2y.故选B.8.(2020广东揭阳期末)下列比较大小正确的是()A.(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2)B.(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2)答案A(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2a2c2+b2d2+2abcd=(ac+bd)2.故选A.9.(2020河南模拟)已知正实数p,q,r满足(1+p)(1+q)=(1+r)2,a=pq,b=p+q2,c=p2+q22,则下列不等式正确的是()A.raB.arbC.brcD.rc答案B(
13、1+r)2=(1+p)(1+q)=1+p+q+pq1+2pq+pq=(1+pq)2,1+r1+pqrpqar,又(1+r)2=(1+p)(1+q)=1+p+q+pq1+(p+q)+p+q22=1+p+q22,1+r1+p+q2rp+q2rb,故选B.B组能力拔高10.已知xyz,x+y+z=0,则下列不等式恒成立的是()A.xyyzB.xzyzC.xyxzD.x|y|z|y|答案C因为xyz,x+y+z=0,所以x0,z0,yz得xyxz.故选C.11.已知ABC的边长分别为a,b,c,且满足b+c3a,则ca的取值范围是()A.(1,+)B.(0,2)C.(1,3)D.(0,3)答案B由已知
14、及三角形的三边关系得ac,a+cb,1ca,1+caba,1ba+ca3,-1ca-ba1,将两式相加得02cab0,cd0,hh(b-d)2.证明cd-d0.又ab0,a-cb-d0.(a-c)2(b-d)20.01(a-c)21(b-d)2.又hh(b-d)2.13.已知0a12,A=1-a2,B=1+a2,C=11-a,D=11+a,试比较A,B,C,D的大小.解析因为0a12,所以0a214,121-a1,11+a32.显然AB,D1,所以AD,同理BC=(1-a)(1+a2)=1-a(1-a+a2)1,所以BC,综上,DABC.C组思维拓展14.若a=1816,b=1618,则a与b
15、的大小关系为.答案a0,b0,ab=18161618=181616 1162=98161216=98216,982(0,1),982161,ab.15.设f(x)=ax2+bx,且1f(-1)2,2f(1)4,则f(-2)的取值范围是.(答案用区间表示)答案5,10解析f(-1)=a-b, f(1)=a+b, f(-2)=4a-2b.设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m、n为待定系数),则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即4a-2b=(m+n)a-(m-n)b,m+n=4,m-n=2,解得m=3,n=1,f(-2)=3f(-1)+f(1).1f(-1)2,2f(1)4,53f(-1)+f(1)10,即5f(-2)10.故f(-2)的取值范围是5,10.
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