1、6.2柱、锥、台的体积 (15分钟30分) 1.长方体同一顶点上的三条棱长分别为2,2,3,则长方体的体积与表面积分别为()A.12,32B.12,24C.22,12D.12,11【解析】选A.V=223=12,S=2(22)+2(23)+2(23)=32.【补偿训练】若圆锥的底面半径为3,母线长为5,则圆锥的体积是()A.12B.6C.4D.3【解析】选A.由已知圆锥的高h=4,所以V圆锥=324=12.2.棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则棱台的体积等于()A.6+B.3+2C.6+2D.6【解析】选C.V棱台=(2+4+)3=3(6+2)=6+2.3.已知一个圆柱的侧面积等于其
2、表面积的,且其轴截面的周长为24,则该圆柱的体积为()A.16B.27C.36D.54【解析】选D.设圆柱的高为h,底面圆半径为r,因为圆柱的侧面积等于其表面积的,且其轴截面的周长为24,所以解得r=3,h=6,所以该圆柱的体积为V=r2h=326=54.4.已知圆柱的底面周长为c,侧面展开图矩形的面积为S,则它的体积为_.【解析】设圆柱底面半径为r,高为h,则所以r=,h=,所以V=r2h=2=.答案:5.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V2,则V1V2=_.【解析】=.答案:1
3、246.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的高为6 cm,底面三角形的边长分别为3 cm,4 cm,5 cm.以上、下底的内切圆为底面,挖去一个圆柱,求剩余部分形成的几何体的表面积和体积.【解析】因为32+42=52,所以底面是直角三角形.所以上、下底面内切圆半径r=1(cm).所以S表=(3+4+5)6+234-212+216=72+12-2+12=(84+10)(cm2),V=346-126=(36-6)(cm3).故剩余部分形成几何体的表面积是(84+10)(cm2),体积是(36-6)(cm3).(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.设四棱锥的底面是对角线长分别为2和
4、4的菱形,四棱锥的高为3,则该四棱锥的体积为()A.12B.24C.4D.30【解析】选C.由题意得四棱锥的底面积为S=24=4.故四棱锥的体积V=Sh=43=4.2.九章算术卷五商功记载一个问题:“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一.”就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积为V=(底面圆的周长的平方高)则由此可推得圆周率的取值为()A.3B.3.1C.3.14D.3.2【解析】选A.因为圆堡瑽(圆柱体)的体积为V=(底面圆的周长的平方高),所以(2r)2h=r
5、2h,解得=3.3.九章算术是我国古代数学著作,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问:积及米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积及堆放的米各为多少?”已知一斛米的体积约为1.62立方尺,由此估算出堆放的米约有()A.21斛B.34斛C.55斛D.63斛【解析】选A.设米堆所在圆锥的底面半径为r尺,则2r=8,解得r=,所以米堆的体积为V=r25=33.95,所以米堆的斛数是21.【补偿训练】我国数学史上有一部堪与欧几里得几何原本媲美的书,这就是历来被尊为算经之首的九章算术,其中卷五商功有
6、一道关于圆柱体的体积试题:“今有圆堡,周四丈八尺,高一丈一尺,问积几何?”其意思是:“今有圆柱形的土筑小城堡,底面周长是4丈8尺,高1丈1尺,问它的体积是多少?”若取3,估算小城堡的体积为()A.1 998立方尺B.2 012立方尺C.2 112立方尺D.2 324立方尺【解析】选C.设圆柱形城堡的底面半径为r,则由题意得2r=48,所以r=8尺.又城堡的高h=11尺,所以城堡的体积V=r2h=64112 112立方尺. 4.沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图,某沙漏由上、
7、下两个圆锥组成.这两个圆锥的底面直径和高分别相等,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度(h)的(细管长度忽略不计).假设细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为()A.B.C.D.【解析】选A.细沙全部在上部时,沙漏上部分圆锥中的细沙的高为h,设圆锥的底面半径为r,则细沙形成的圆锥的底面半径为r,所以细沙的体积为V=r2h=r2h.细沙漏入下部后,圆锥形沙堆的底面半径r,设高为h,则V=r2h=r2h,得h=h.所以=.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.正三棱锥底面边长为3,侧棱长为2,则下
8、列叙述正确的是()A.正三棱锥高为3B.正三棱锥的斜高为C.正三棱锥的体积为D.正三棱锥的侧面积为【解析】选ABD.在正三棱锥S-ABC中,底面ABC是边长为3的等边三角形,侧棱长为SA=SB=SC=2,取BC中点D,连接SD,AD,过S作SO平面ABC,交AD于O,AD=,AO=AD=,所以正三棱锥的高为SO=3,故A正确;正三棱锥的斜高为SD=,故B正确;正三棱锥的体积为V=SABCSO=33=,故C错误;正三棱锥的侧面积为S=33=,故D正确. 6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=a,以下结论正确的有()A.ACBEB.点A到BE
9、F所在平面的距离为定值C.三棱锥A-BEF的体积是正方体ABCD-A1B1C1D1体积的D.异面直线AE,BF所成的角为定值【解析】选AB.对于A,根据题意,ACBD,ACDD1,又因为BDDD1=D,所以AC平面BDD1B1,所以ACBE,故A正确;对于B,A到平面DD1B1B的距离是定值,所以点A到BEF所在平面的距离为定值,故B正确;对于C,三棱锥A-BEF的体积为V三棱锥A-BEF=EFBB1ABsin 45=aaa=a3,所以三棱锥A-BEF的体积是正方体ABCD-A1B1C1D1体积的,故C错误;对于D,取特例:由图可知,当F与B1重合时,令上底面中心为O,则此时两异面直线所成的角
10、为A1AO,当E与D1重合时,此时点F与O重合,则两异面直线所成的角是OBC1,此时二角不相等,故异面直线AE,BF所成角不是定值,故错误.【光速解题】选项逐一验证,对图形进行充分把握.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知某圆柱的侧面展开图是边长为6的正方形,则该圆柱的体积为_.【解析】设圆柱的底面半径为r,高为h,则母线长为h,由题意,2r=h=6,则r=.所以该圆柱的体积为V=26=.答案:【补偿训练】长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V,P是DD1的中点,Q是AB上的动点,则四面体P-CDQ的体积为_.【解析】设长方体的长、宽、高分别为AB=a,BC=b,AA1=c,则有V=
11、abc.由题意知PD=c,SCDQ=CDAD=ab,所以VP-CDQ=SCDQPD=abc=abc=V.答案:V8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2,E,F分别为C1D1,BB1的中点,则AEF在底面ABCD上投影的面积是_;四棱锥F-ABC1E的体积是_.【解析】如图,设E在底面上的射影为G,则G为DC的中点,连接AG,BG,可得AEF在底面ABCD上投影的面积是22=2;由AB平面BCC1B1,可得平面ABC1E平面BCC1B1,且平面ABC1E平面BCC1B1=BC1,过F作FHBC1,则FH平面ABC1E,所以=(1+2)2=1.答案:21四、解答题(每小题10分,共20
12、分)9.如图,一个漏斗的上面部分是一个长方体,下面部分是一个四棱锥,两部分的高都是0.5 m,公共面ABCD是边长为1 m的正方形,那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到0.01 m3)?【解析】由题意知V长方体ABCD-ABCD=110.5=0.5(m3),VP-ABCD=110.5=(m3),所以这个漏斗的容积V=+=0.67(m3).10.一块边长为12 cm的正三角形薄铁片,按如图所示设计方案,裁剪下三个全等的四边形(每个四边形中有且只有一组对角为直角),然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)形容器.(1)请将加工制作出来的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积V表示为关于x的函数,并标明其定义域;(2)若加工人员为了充分利用边角料,考虑在加工过程中,使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”.请指出此时x的值(不用说明理由),并求出这个封闭的正三棱柱形容器的侧面积S.【解析】(1)结合平面图形数据及三棱柱直观图,求得三棱柱的高h=6-cm,其底面积S=x2cm2,则三棱柱容器的容积V=Sh=x26-=6-=-+x2,即所求函数关系式为V=-+x2(0x12);(2)此时x=6 cm,而相应棱柱的高h= cm,故S侧=36=18 cm2.
