1、学业分层测评(二十)几何概型(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1下列关于几何概型的说法中，错误的是()A几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性B几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关C几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D几何概型中每个结果的发生都具有等可能性【解析】几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，故选A.【答案】A2在圆心角为90的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得AOC和BOC都不小于30的概率为()A.BC.D【解析】记M“射线OC使得AOC和BOC都不小于30”如图所示，作射线OD，OE使AOD30，AOE60.当OC在DOE内时，使得AOC
2、和BOC都不小于30，此时的测度为度数30，所有基本事件的测度为直角的度数90.所以P(M).【答案】A3在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为()A0.008B0.004C0.002D0.005【解析】设问题转化为与体积有关的几何概型求解，概率为0.005.【答案】D4在面积为S的ABC的边AB上任取一点P，则PBC的面积大于的概率是()A.B C.D【解析】如右图所示，在边AB上任取一点P，因为ABC与PBC是等高的，所以事件“PBC的面积大于”等价于事件“”即P.【答案】C5已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使A
3、PB的最大边是AB”发生的概率为，则()A.BC.D【解析】由于满足条件的点P发生的概率为，且点P在边CD上运动，根据图形的对称性当点P在靠近点D的CD边的分点时，EBAB(当点P超过点E向点D运动时，PBAB)设ABx，过点E作EFAB交AB于点F，则BFx.在RtFBE中，EF2BE2FB2AB2FB2x2，即EFx，.【答案】D二、填空题6如图332，在平面直角坐标系内，射线OT落在60角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在xOT内的概率为_. 【导学号：28750064】图332【解析】记“射线OA落在xOT内”为事件A.构成事件A的区域最大角度是60，所有基本事件对应的区域最大
4、角度是360，所以由几何概型的概率公式得P(A).【答案】7如图333，长方体ABCDA1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥AA1BD内的概率为_图333【解析】设长、宽、高分别为a、b、c，则此点在三棱锥AA1BD内运动的概率P.【答案】8小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书则小波周末不在家看书的概率为_【解析】记事件A“打篮球”，则P(A).记事件B“在家看书”，则P(B)P(A).故P(B)1P(B)1.【答案】三、解答题9(1)在直角三角形A
5、BC中，A90，ABAC，过点A作一射线交线段BC于点M，求BMAB的概率；(2)在直角三角形ABC中，A90，ABAC，在线段BC上取一点M，求BMAB的概率【解】(1)记“过点A作一射线交线段BC于点M，使BMAB”为事件，由于是过点A作一射线交线段BC于点M，所以射线在BAC内是等可能出现的，又当ABBM时，BAM67.5，所以P().(2)设ABAC1，则BC，设“过点A作一射线交线段BC于点M，使BMAB”为事件，则P().10一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率【解】如图，四边形ABCD是长30 m、宽20 m的长方形
6、图中的阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”问题可化为求海豚嘴尖出现在阴影部分的概率S长方形ABCD3020600(m2)，S长方形ABCD(304)(204)416(m2)，S阴影部分S长方形ABCDS长方形ABCD600416184(m2)，根据几何概型的概率公式，得P(A)0.31.能力提升1(2016南昌高一检测)面积为S的ABC，D是BC的中点，向ABC内部投一点，那么点落在ABD内的概率为()A.BC.D【解析】向ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型设点落在ABD内为事件M，则P(M).【答案】B2已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，则此蚂蚁到三角形三个顶点
7、的距离均超过1的概率为()A1B1C.D【解析】设正三角形ABC的边长为4，其面积为4.分别以A，B，C为圆心，1为半径在ABC中作扇形，除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的区域，其面积为4314，故所求概率P1.【答案】B3假设你在如图334所示的图形上随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分(等腰三角形)的概率是_图334【解析】设A黄豆落在阴影内，因为黄豆落在图中每一个位置是等可能的，因此P(A)，又ABC为等腰直角三角形，设O的半径为r，则ACBCr，所以SABCACBCr2，SOr2，所以P(A).【答案】4甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾
8、客两家商场的奖励方案如下：图335甲商场：顾客转动如图335所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15，边界忽略不计)即为中奖乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？【解】如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积R2(R为圆盘的半径)，阴影区域的面积为.在甲商场中奖的概率为P1.如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a1，a2，a3，3个红球为b1，b2，b3，记(x，y)为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共15种摸到的2球都是红球的情况有(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共3种在乙商场中奖的概率为P2.P1P2，顾客在乙商场中奖的可能性大
