1、2017年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（每小题5分）1已知集合A=1，2，3，B=xZ|（x+2）（x3）0，则AB（）A1B1，0，1，2，3C1，2D0，1，2，32已知z是复数，且=1+i，则z在复平面内对应的点的坐标为（）A（3，1）B（3，1）C（1，3）D（1，3）3我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得224粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A169石B192石C1367石D1164石4已知直线l与平面相交但不垂直，m为空间内一条直线，则下列结论一定不成立的是（）Aml，mBml，mCml，m
2、Dml，m5在等差数列an中，a1+a2=1，a2016+a2017=3，Sn是数列an的前n项和，则S2017=（）A6051B4034C2017D10096某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A4+2B8+2C4+D8+7若圆x2+y2+4x2ya2=0截直线x+y+5=0所得弦的长度为2，则实数a=（）A2B2C4D48如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A0.7B0.75C0.8D0.99已知实数x，y满足且axy+1a=0，则实数a的取值范围是（）A，1）B1，C（1，D，10已知函数f（x）=cos（2x）+2cos2x，将函数y=f（x）的图象向右平移
3、个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）图象的一个对称中心是（）A（，1）B（，1）C（，1）D（，0）11设抛物线K：x2=2py（p0），焦点为F，P是K上一点，K在点P处的切线为l，d为F到l的距离，则（）A =pB =pC =2pD =12已知定义在（0，+）上的函数f（x）满足f（xy）+f（x）f（y）=0，若一族平行线x=xi（i=1，2，n）分别与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），且xi，2f（1），xni+1成等比数列，其中i=1，2，n，则=（）A2nB1CD二、填空题（每小题5分）13已知向量=（1，1），=0，|=2，
4、则|=14已知（a+）6（a0）展开式中的常数项是5，则a=15已知函数f（x）=若方程f（x）a=0有唯一解，则实数a的取值范围是16设数列an满足：a1=1，an=e2an+1（nN*），=n，其中符号表示连乘，如i=12345，则f（n）的最小值为三、解答题17在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且b，c是关于x的一元二次方程x2+mxa2+b2+c2=0的两根（1）求角A的大小；（2）已知a=，设B=，ABC的面积为y，求y=f（）的最大值18持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康，汽车排放的尾气是造成雾霾天气的重要因素之一为了贯彻落实国务院关于培育战略性新兴产业和加强节
5、能减排工作的部署和要求，中央财政安排专项资金支持开展私人购买新能源汽车补贴试点2017年国家又出台了调整新能源汽车推广应用财政补贴的新政策，其中新能源乘用车推广应用补贴标准如表：某课题组从汽车市场上随机选取了20辆纯电动乘用车，根据其续驶里程R（单词充电后能行驶的最大里程，R100，300）进行如下分组：第1组100，150），第2组150，200），第3组200，250），第4组250，300，制成如图所示的频率分布直方图已知第1组与第3组的频率之比为1：4，第2组的频数为7 纯电动续驶里程R（公里）100R150 150R250R250 补贴标准（万元/辆） 23.6 44 （1）请根据频
6、率分布直方图统计这20辆纯电动乘用车的平均续驶里程；（2）若以频率作为概率，设为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求的分布列和数学期望E（）19如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE平面ABCD，BAD=ADC=90，AB=AD=CD=1（1）若M为PA中点，求证：AC平面MDE；（2）若平面PAD与PBC所成的锐二面角的大小为，求线段PD的长度20已知椭圆E：x2+3y2=m2（m0）的左顶点是A，左焦点为F，上顶点为B（1）当AFB的面积为时，求m的值；（2）若直线l交椭圆E于M，N两点（不同于A），以线段MN为直径的圆过A点，试探究直线l是否过定点，若存在定点，求出
7、这个定点的坐标，若不存在定点，请说明理由21已知函数f（x）=（x2x1）ex（1）求函数f（x）的单调区间（2）若方程a（+1）+ex=ex在（0，1）内有解，求实数a的取值范围选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数，0），曲线C2的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）射线=与曲线C1的交点为P，与曲线C2的交点为Q，求线段PQ的长选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）=|x+2|+|x1|（1）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值范围；（2）若集合x|f（
8、x）+ax10=R，求实数a的取值范围2017年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分）1已知集合A=1，2，3，B=xZ|（x+2）（x3）0，则AB（）A1B1，0，1，2，3C1，2D0，1，2，3【考点】并集及其运算【分析】先分别求出集合A，B，由此利用并集定义能求出AB【解答】解：集合A=1，2，3，B=xZ|（x+2）（x3）0=1，0，1，2，AB=1，01，1，2，3故选：B2已知z是复数，且=1+i，则z在复平面内对应的点的坐标为（）A（3，1）B（3，1）C（1，3）D（1，3）【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、几何意
9、义即可得出【解答】解： =1+i，z+2=i1，化为：z=3+i，则z在复平面内对应的点的坐标为（3，1）故选：A3我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得224粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A169石B192石C1367石D1164石【考点】简单随机抽样【分析】根据224粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1536=192石，故选：B4已知直线l与平面相交但不垂直，m为空间内一条直线，则下列结论一定不成立的是（）Aml，mBml，mCml，mDml，m【考点】空间中直线与平面之
10、间的位置关系【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：设过l和l在平面内的射影的平面为，则当m时，有ml，m或m，故A，B正确若ml，则m与平面所成的夹角与l与平面所成的夹角相等，即m与平面斜交，故C正确若m，设l与m所成的角为，则0即m与l不可能垂直，故D错误故选：D5在等差数列an中，a1+a2=1，a2016+a2017=3，Sn是数列an的前n项和，则S2017=（）A6051B4034C2017D1009【考点】等差数列的前n项和【分析】根据题意和等差数列的性质求出a1+a2017的值，由等差数列的前n项和公式求出S2017的值【解答】解：在等差数列an中，因为a1+a
11、2=1，a2016+a2017=3，所以a1+a2017=a2+a2016=2，所以S2017=2017，故选C6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A4+2B8+2C4+D8+【考点】由三视图求面积、体积【分析】该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体【解答】解：该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体该几何体的体积V=8+故选：D7若圆x2+y2+4x2ya2=0截直线x+y+5=0所得弦的长度为2，则实数a=（）A2B2C4D4【考点】直线与圆的位置关系【分析】求出圆心和半径，根据弦长公式进行求解即可【解答】解：圆的标准方程为（x+2）
12、2+（y1）2=5+a2，r2=5+a2，则圆心（2，1）到直线x+y+5=0的距离为=2，由12+（2）2=5+a2，得a=2，故选：A8如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A0.7B0.75C0.8D0.9【考点】程序框图【分析】模拟执行程序，可得此程序框图的功能是计算并输出S=+的值，结合选项，只有当S的值为0.7时，n不是正整数，由此得解【解答】解：模拟执行程序，可得此程序框图执行的是输入一个正整数n，求+的值S，并输出S，由于S=+=1+=1=，令S=0.7，解得n=，不是正整数，而n分别输入2，3，8时，可分别输出0.75，0.8，0.9故选：A9已知实数x，y满足
13、且axy+1a=0，则实数a的取值范围是（）A，1）B1，C（1，D，【考点】简单线性规划【分析】画出约束条件的可行域，化简目标函数，推出a的表达式，利用不等式的几何意义，求解范围即可【解答】解：实数x，y满足的可行域如图：可知x1，由axy+1a=0，可得：a=，它的几何意义是可行域内的点与D（1，1）连线的斜率，由图形可知连线的斜率的最大值为KBD=最小值大于与直线x+y=0平行时的斜率可得a（1，故选：C10已知函数f（x）=cos（2x）+2cos2x，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）图象的一个对称中心是（）A（，1）B（，1）C（
14、，1）D（，0）【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】由条件利用三角函数恒等变换的应用，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一个对称中心【解答】解：f（x）=cos（2x）+2cos2x=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，可得：g（x）=sin2（x）+1=sin2x+1，令2x=k，kz，可得x=，kz，当k=1时，可得函数的图象的对称中心为（，1），故选：A11设抛物线K：x2=2py（p0），焦点为F，P是K上一点，K在点P处的切线为l，d为F到l
15、的距离，则（）A =pB =pC =2pD =【考点】抛物线的简单性质【分析】设P（x0，y0），则K在点P处的切线方程为l：yy0=（xx0），再根据点到直线的距离公式，化简计算即可得到【解答】解：设P（x0，y0），则K在点P处的切线方程为l：yy0=（xx0），则x02=2py0，得l：x0xpypy0=0，又F（0，），所以d=，故选：D12已知定义在（0，+）上的函数f（x）满足f（xy）+f（x）f（y）=0，若一族平行线x=xi（i=1，2，n）分别与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），且xi，2f（1），xni+1成等比数列，其中i=1，2，
16、n，则=（）A2nB1CD【考点】抽象函数及其应用【分析】利用xi，2f（1），xni+1成等比数列，得xixni+1=1，f（xi）+f（xni+1）=f（xixni+1）+=1，求出2=1+1+1=n，即可得出结论【解答】解：由题意，f（1）=，xi，2f（1），xni+1成等比数列，xixni+1=1，f（xi）+f（xni+1）=f（xixni+1）+=1，2=1+1+1=n，=故选：C二、填空题（每小题5分）13已知向量=（1，1），=0，|=2，则|=【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量的数量积公式计算即可【解答】解：向量=（1，1）=， =0，|2=|22+|2=4，|2
17、=2，|=，故答案为：14已知（a+）6（a0）展开式中的常数项是5，则a=【考点】二项式系数的性质【分析】利用二项式展开式的通项公式求出展开式的常数项的表达式，列方程求出a的值【解答】解：（a+）6（a0）展开式中，通项公式为：Tr+1=a6r，令3=0，解得r=2；展开式的常数项是a4=5，解得a=；又a0，a=故答案为：15已知函数f（x）=若方程f（x）a=0有唯一解，则实数a的取值范围是（1，+）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】由题知f（x）为分段函数，当x大于0时，由f（x）=f（x1）可知当x大于1时，f（x）=0，小于1大于0时函数为减函数；当x小于等于0时函数为减函数
18、，在同一坐标系中画出函数f（x）的图象与函数y=a的图象，利用数形结合，易求出满足条件实数a的取值范围【解答】解：函数f（x）=的图象如图所示，当a1时，函数y=f（x）的图象与函数y=a的图象有唯一个交点，即方程f（x）a=0有唯一解，故答案为（1，+）16设数列an满足：a1=1，an=e2an+1（nN*），=n，其中符号表示连乘，如i=12345，则f（n）的最小值为【考点】数列递推式【分析】a1=1，an=e2an+1（nN*），可得an=e2（n1）.=n，化为：f（n）=考查函数f（x）=的单调性，利用导数研究其单调性即可得出【解答】解：a1=1，an=e2an+1（nN*），a
19、n=e2（n1）=n，化为：f（n）=考查函数f（x）=，f（x）=（4x212x+3），令f（x）=0，解得x1=，x2=，0x11，2x13当xx1时，f（x）0；当x1xx2时，f（x）0；当xx2时，f（x）0即f（x）在（，x1），（x2，+）单调递增，在（x1，x2）上单调递减，h（x）min=h（x2），即f（n）min=minf（2），f（3），f（2）=f（3）=f（n）min=f（3）=故答案为：三、解答题17在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且b，c是关于x的一元二次方程x2+mxa2+b2+c2=0的两根（1）求角A的大小；（2）已知a=，设B=，ABC的
20、面积为y，求y=f（）的最大值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由已知化简可得：b2+c2=a2+bc，利用余弦定理可求cosA=，结合范围A（0，），可求A的值（2）由已知及正弦定理可得b=2sin，c=2sin（），利用，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用化简可求y=sin（2）+，由0，可得范围2，利用正弦函数的图象可求最大值【解答】（本题满分为12分）解：（1）在ABC中，由题意可得：bc=a2+b2+c2，可得：b2+c2=a2+bc，cosA=，又A（0，），A=6分（2）由a=，A=及正弦定理可得：，b=2sinB=2sin，c=2sinC=2sin（B）=2sin（）
21、，y=bcsinA=sinsin（）=sin（cos+sin）=sin2cos2+=sin（2）+，由于0，可得：2，当2=，即=时，ymax=12分18持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康，汽车排放的尾气是造成雾霾天气的重要因素之一为了贯彻落实国务院关于培育战略性新兴产业和加强节能减排工作的部署和要求，中央财政安排专项资金支持开展私人购买新能源汽车补贴试点2017年国家又出台了调整新能源汽车推广应用财政补贴的新政策，其中新能源乘用车推广应用补贴标准如表：某课题组从汽车市场上随机选取了20辆纯电动乘用车，根据其续驶里程R（单词充电后能行驶的最大里程，R100，300）进行如下分组：第1组1
22、00，150），第2组150，200），第3组200，250），第4组250，300，制成如图所示的频率分布直方图已知第1组与第3组的频率之比为1：4，第2组的频数为7 纯电动续驶里程R（公里）100R150 150R250R250 补贴标准（万元/辆） 23.6 44 （1）请根据频率分布直方图统计这20辆纯电动乘用车的平均续驶里程；（2）若以频率作为概率，设为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求的分布列和数学期望E（）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）由表格分别求出第一组、第二组、第三组、第四组的频率，由此利用频率分布直方图能估计这20辆纯电动乘用车的
23、平均续驶里程（2）由题意知的可能取值为2，3.6，4.4，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望【解答】解：（1）由表格知第一组的频率为0.1，第二组的频率为，第三组的频率为0.4，第四组的频率为0.15，频率分布直方图估计这20辆纯电动乘用车的平均续驶里程为：1250.1+1750.35+2250.4+2750.15=205（公里）（2）由题意知的可能取值为2，3.6，4.4，P（=2）=0.1，P（=3.6）=0.75，P（=4.4）=0.15，的分布列为： 2 3.6 4.4 P 0.1 0.75 0.15E=20.1+3.60.75+4.40.15=3.5619如图，四边形P
24、DCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE平面ABCD，BAD=ADC=90，AB=AD=CD=1（1）若M为PA中点，求证：AC平面MDE；（2）若平面PAD与PBC所成的锐二面角的大小为，求线段PD的长度【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（1）设PC交DE于点N，连结MN，MNAC，由此能证明AC平面MDE（2）设PD=a，（a0），推导出PD平面ABCD，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段PD的长度【解答】证明：（1）设PC交DE于点N，连结MN，在PAC中，M，N分别是PA，PC的中点，MNAC，
25、又AC平面MDE，MN平面MDE，AC平面MDE解：（2）设PD=a，（a0），四边形PDCE是矩形，四边形ABCD是梯形，平面PDCE平面ABCD，PD平面ABCD，又BAD=ADC=90，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，a），B（1，1，0），C（0，2，0），平面PAD的法向量=（0，1，0），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取x=a，得=（a，a，2），平面PAD与PBC所成的锐二面角的大小为，cos=，解得a=线段PD的长度为20已知椭圆E：x2+3y2=m2（m0）的左顶点是A，左焦点为F，上顶点为B（1）当AFB的
26、面积为时，求m的值；（2）若直线l交椭圆E于M，N两点（不同于A），以线段MN为直径的圆过A点，试探究直线l是否过定点，若存在定点，求出这个定点的坐标，若不存在定点，请说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）将椭圆方程转化成标准方程，则三角形AFB的面积S=b（bc），代入即可求得m的值；（2）设直线AM的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理求得M和N的方程，当l的斜率不存在时，显然可得k=1，求得圆心为P（，0），当l的斜率存在时，由利用两点的斜率公式求得kPM=kPN，直线l是否过定点【解答】解：（1）由椭圆方程：，则a=m，b=，c=，由三角形AFB的面积S，S=b（bc）=，则（m），
27、解得：m=，m的值为；（2）由线段MN过直径的圆过A点，则MANA，设直线AM的斜率为k（k0），则直线AN的斜率为，AM为y=k（x+m），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（3k2+1）x2+6k2mx+（3k21）m2=0，则x1（m）=，则x1=，故y1=k（x1+m）=，则M（，），直线AN的方程为y=（x+m），同理可得：N（，），当l的斜率不存在时，显然可得k=1，此时M（，），N（，），则圆心为P（，0），由直线l总穿过x轴，证明当l的斜率存在时，也过点P（，0），当l的斜率存在时，kPM=kPN（k0，k1），综上可知：l过定点（，0）21已知函数f（x）=（
28、x2x1）ex（1）求函数f（x）的单调区间（2）若方程a（+1）+ex=ex在（0，1）内有解，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题可化为exax2+（ae）x=0，令g（x）=exax2+（ae）x，则g（x）在（0，1）内有零点，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而确定a的范围即可【解答】解：（1）f（x）=（x2+x2）ex=（x1）（x+2）ex，令f（x）0，解得：x1或x2，令f（x）0，解得：2x1，故f（x）在（，2）递增，在（2，1）递减，在（1
29、，+）递增；（2）方程a（+1）+ex=ex可化为exax2+（ae）x=0，令g（x）=exax2+（ae）x，则g（x）在（0，1）内有零点，易知g（0）=1，g（1）=0，g（x）=ex2ax+ae，设g（x）=h（x），则h（x）=ex2a，a0时，h（x）0，即h（x）在区间（0，1）递增，h（0）=1+ae0，h（1）=a0，即h（x）在区间（0，1）只有1个零点x1，故g（x）在（0，x1）递减，在（x1，1）递增，而g（0）=10，g（1）=0，得g（x1）g（1）=0，故g（x）在（0，x1）内存在唯一零点；当0a时，h（x）0，即h（x）在区间（0，1）递增，h（x）h（1
30、）=a0，得g（x）在（0，1）递减，得g（x）在（0，1）无零点；当a时，令h（x）=0，得x=ln（2a）（0，1），h（x）在区间（0，ln（2a）上递减，在（ln（2a），1）递增，h（x）在区间（0，1）上存在最小值h（ln（2a），故h（ln（2a）h（1）=a0，h（0）=1+aea0，故a时，x（0，1），都有g（x）0，g（x）在（0，1）递减，又g（0）=1，g（1）=0，故g（x）在（0，1）内无零点；a时，h（x）0，h（x）在区间（0，1）递减，h（1）=a0，h（0）=1+ae，若h（0）=1+ae0，得ae1，则h（x）在区间（0，1）只有1个零点x2，故g（x）
31、在（0，x2）递增，在（x2，1）递减，而g（0）=1，g（1）=0，得g（x）在（0，1）无零点，若a时，则h（0）=1+ae0，得g（x）在（0，1）递减，得g（x）在（0，1）内无零点，综上，a0时，方程a（+1）+ex=ex在（0，1）内有解选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数，0），曲线C2的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）射线=与曲线C1的交点为P，与曲线C2的交点为Q，求线段PQ的长【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）
32、利用三种方程的转化方法，求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）通过方程组求出P、Q坐标，然后利用两点间距离公式求解即可【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（为参数，0），普通方程为（x1）2+y2=1，（y0），极坐标方程为=2cos，（，0），曲线C2的参数方程为（t为参数），普通方程2x+y6=0；（2）=，即P（，）；=代入曲线C2的极坐标方程，可得=6，即Q（6，），|PQ|=6=5选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）=|x+2|+|x1|（1）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值范围；（2）若集合x|f（x）+ax10=R，求实数a的取值范围【考点】绝对值三角不
33、等式；绝对值不等式的解法【分析】（1）利用绝对值三角不等式，求得f（x）的最小值及取得最小值时x的取值范围（2）当集合x|f（x）+ax10=R，函数f（x）ax+1恒成立，即f（x）的图象恒位于直线y=ax+1的上方，数形结合求得a的范围【解答】解：（1）函数f（x）=|x+2|+|x1|x+2（x1）|=3，故函数f（x）=|x+2|+|x1|的最小值为3，此时，2x1（2）函数f（x）=|x+2|+|x1|=，而函数y=ax+1表示过点（0，1），斜率为a的一条直线，如图所示：当直线y=ax+1过点A（1，3）时，3=a+1，a=2，当直线y=ax+1过点B（2，3）时，3=2a+1，a=1，故当集合x|f（x）+ax10=R，函数f（x）ax+1恒成立，即f（x）的图象恒位于直线y=ax+1的上方，数形结合可得要求的a的范围为（2，1）2017年4月3日