1、第二章 圆锥曲线与方程2.4 抛物线2.4.1 抛物线及其标准方程第二章 圆锥曲线与方程考点学习目标核心素养抛物线的定义理解并掌握抛物线的定义，并会应用其解决相关问题数学抽象、直观想象抛物线的标准方程理解并掌握抛物线的标准方程，掌握求抛物线标准方程的方法直观想象、数学运算抛物线的实际应用会利用抛物线方程解决相应的实际问题数学建模、数学运算问题导学预习教材 P64P67，并思考下列问题：1平面内满足什么条件的点的轨迹叫做抛物线？2抛物线 y22px(p0)的焦点、准线分别是什么？3抛物线的标准方程有几种形式？分别是什么？1抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过
2、点 F)的距离_的点的轨迹(2)焦点：_叫做抛物线的焦点(3)准线：_叫做抛物线的准线相等点F直线l名师点拨(1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为 M；一个定点 F 叫做抛物线的焦点；一条定直线 l 叫做抛物线的准线；一个定值，即点 M 到点 F 的距离和它到直线 l 的距离之比等于1.(2)注意定点 F 不在定直线 l 上，否则动点 M 的轨迹不是抛物线，而是过点 F 垂直于直线 l 的一条直线例如，到点 F(0，1)与到直线 l：xy10 的距离相等的点的轨迹方程为 xy10，轨迹是一条直线2抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程_y22px(p0)p2，0 xp
3、2y22px(p0)p2，0 xp2图形标准方程焦点坐标准线方程_x22py(p0)0，p2yp2x22py(p0)0，p2yp2名师点拨将四种不同位置的抛物线的标准方程进行对比，分析可得它们的异同点：(1)共同点：原点都在抛物线上；焦点都在坐标轴上；准线与焦点所在的坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，且到原点的距离都等于一次项系数的绝对值的14，即|2p4|p2.(2)不同点：当焦点在 x 轴上时，方程的右端为2px，左端为 y2；当焦点在y 轴上时，方程的右端为2py，左端为 x2；开口方向与 x 轴(或 y 轴)的正半轴相同，焦点在 x 轴(或 y 轴)的正半轴上，方程的右端取正号；开口
4、方向与 x 轴(或 y 轴)的负半轴相同，焦点在 x 轴(或 y 轴)的负半轴上，方程的右端取负号判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线()(2)抛物线的方程都是 y 关于 x 的二次函数()(3)方程 x22ay(a0)是表示开口向上的抛物线()抛物线 x24y 的准线方程是()Ax1 Bx1Cy1 Dy1答案：D设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x2，则抛物线的方程是()Ay28xBy28xCy24xDy24x答案：B以 F0，34 为焦点的抛物线的标准方程是_答案：x23y已知动点 P 到定点(2，0)的距离和它到直线 l：x2 的距离
5、相等，则点 P 的轨迹方程为_答案：y28x 试求满足下列条件的抛物线的标准方程(1)过点(3，2)；(2)焦点在直线 x2y40 上.求抛物线的标准方程【解】(1)因为点(3，2)在第二象限，所以抛物线的标准方程可设为y22px(p0)或 x22py(p0)，把点(3，2)的坐标分别代入 y22px(p0)和 x22py(p0)，得42p(3)或 92p2，即 2p43或 2p92.所以所求抛物线的标准方程为 y243x 或 x292y.(2)令 x0，得 y2；令 y0，得 x4.故抛物线的焦点为(4，0)或(0，2)当焦点为(4，0)时，p24，即 2p16，此时抛物线方程为 y216x
6、.当焦点为(0，2)时，p22，即 2p8，此时抛物线方程为 x28y.故所求抛物线的标准方程为 y216x 或 x28y.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤注意 当抛物线的类型没有确定时，可设方程为 y2mx(m0)或 x2ny(n0)，这样可以减少讨论情况的个数 若抛物线 y22px 的焦点坐标为(1，0)，则 p_，准线方程为_解析：因为抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以p21，p2，准线方程为 xp21.答案：2 x1(1)若动圆 M 与圆 C：(x2)2y21 外切，又与直线 x10 相切，求动圆圆心的轨迹方程(2)已知点 P 是抛物线 y22x 上的一个动点，求点 P 到点(0，2
7、)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值抛物线定义的应用【解】(1)设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 R，由已知可得定圆圆心为 C(2，0)，半径 r1.因为两圆外切，所以|MC|R1.又动圆 M 与已知直线 x10 相切，所以圆心 M 到直线 x10 的距离 dR.所以|MC|d1.即动点M到定点C(2，0)的距离等于它到定直线x20的距离由抛物线的定义可知，点 M 的轨迹是以 C 为焦点，x20 为准线的抛物线，且p22，p4，故其方程为 y28x.(2)由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离由图可知，点 P、点(0，2)和抛物线的焦点 F12，0 三点共线
8、时距离之和最小，所以最小距离 d0122(20)2172.1(变条件)若将本例(2)中的点(0，2)改为点 A(3，2)，求|PA|PF|的最小值解：将 x3 代入 y22x，得 y 6.所以点 A 在抛物线内部设点 P 为其上一点，点 P 到准线(设为 l)x12的距离为 d，则|PA|PF|PA|d.由图可知，当 PAl 时，|PA|d 最小，最小值是72.即|PA|PF|的最小值是72.2(变条件)若将本例(2)中的点(0，2)换为直线 l1：3x4y720，求点 P 到直线 3x4y720 的距离与 P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值解：如图，作 PQ 垂直于准线 l 于点 Q，|
9、PA1|PQ|PA1|PF|A1F|min.|A1F|的最小值为点 F 到直线 3x4y720 的距离 d3127232(4)21.即所求最小值为 1.抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题(2)解决最值问题在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题 1已知 F 是抛物线 y2x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为()A34 B1C54D74解
10、析：选 C根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段 AB 的中点到 y 轴的距离为12(|AF|BF|)14321454.2已知 P 是抛物线 y24x 上一动点，则点 P 到直线 l：2xy30 和 y 轴的距离之和的最小值是()A 3 B 5C2 D 51解析：选 D由题意知，抛物线的焦点为 F(1，0)设点 P 到直线 l 的距离为 d，由抛物线的定义可知，点 P 到 y 轴的距离为|PF|1，所以点 P 到直线 l 的距离与到 y 轴的距离之和为 d|PF|1.易知 d|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离，故 d|PF|的最小值为|23|22(1)2 5，所以 d|PF|1 的最
11、小值为 51.某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为 20 米，拱顶距水面 6 米，桥墩高出水面 4 米现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过 18 米，目前吃水线上部中央船体高 5 米，宽 16 米，且该货船在现有状况下还可多装 1 000 吨货物，但每多装 150 吨货物，船体吃水线就要上升 0.04米若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直线或设法通过该桥孔？为什么？抛物线的实际应用【解】如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为 x 轴，竖直直线为 y 轴，建立直角坐标系因为拱顶距水面 6 米，桥墩高出水面 4 米，所以 A(10，2)设桥孔上部抛物线方
12、程是 x22py(p0)，则 1022p(2)，所以 p25，所以抛物线方程为 x250 y，即 y 150 x2.若货船沿正中央航行，船宽 16 米，而当 x8 时，y 150821.28，即船体在 x8 之间通过，B(8，1.28)，此时 B 点距水面 6(1.28)4.72(米)，而船体高为 5 米，所以无法通行又因为 54.720.28(米)，0.280.047，15071 050(吨)，所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加 1 050 吨，而船最多还能装 1 000 吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔求解抛物线实际应用题的五个步骤 如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离
13、水面2 米，水面宽 4 米水位下降 1 米后，水面宽_米解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为 x22py，则点(2，2)在抛物线上，代入可得 p1，所以 x22y.当 y3 时，x26，所以水面宽为 2 6米答案：2 61抛物线 y14x2 的准线方程为()Ax 116 Bx1Cy1 Dy2解析：选 C抛物线的标准方程为 x24y，则准线方程为 y1.2设抛物线 y28x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是()A4 B6C8 D12解析：选 B由抛物线的方程得p2422，再根据抛物线的定义，可知所求距离为 426.3抛物线的顶点在原点，焦点在
14、x 轴上，抛物线上的点(5，m)到焦点的距离是 6，则抛物线的方程是()Ay22xBy24xCy22xDy24x 或 y236x解析：选 B由题意可设抛物线方程为 y22px(p0)，则 5p26，得 p2，所以抛物线的方程为 y24x.选 B 4根据下列条件求抛物线的标准方程(1)焦点在 x 轴的负半轴上，焦点到准线的距离是 6；(2)焦点在 y 轴上，且抛物线上一点 P(m，1)到焦点 F 的距离为 6.解：(1)由焦点到准线的距离为 6，知 p6.又焦点在 x 轴的负半轴上，所以抛物线的标准方程为 y212x.(2)点 P 到焦点的距离等于点 P 到准线的距离，故 1p2 6，解得 p10，所以抛物线的标准方程为 x220y.按ESC键退出全屏播放本部分内容讲解结束