1、【推荐】江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编3：函数的应用一、解答题 （南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板,其周长为4米,这种薄板须沿其对角线折叠后使用.如图所示,为长方形薄板,沿AC折叠后,交DC于点P.当ADP的面积最大时最节能,凹多边形的面积最大时制冷效果最好.(1)设AB=x米,用x表示图中DP的长度,并写出x的取值范围;(2)若要求最节能,应怎样设计薄板的长和宽?(3)若要求制冷效果最好,应怎样设计薄板的长和宽?ABCD（第17题）P【答案】解:(1)由题意,.因,故 设,则. 因,故. 由 ,得 , (2)记的面
2、积为,则 , 当且仅当(1,2)时,S1取得最大值 故当薄板长为米,宽为米时,节能效果最好 (3)记的面积为,则 , 于是, 关于的函数在上递增,在上递减. 所以当时,取得最大值 故当薄板长为米,宽为米时,制冷效果最好 本题主要考查应用所学数学知识分析问题与解决问题的能力.试题以常见的图形为载体,再现对基本不等式、导数等的考查.讲评时,应注意强调解决应用问题的一般步骤与思维规律,教学中应帮助学生克服解决应用题时的畏惧心理,在学生独立解决应用问题的过程中不断增强他们的自信心. 在使用基本不等式应注意验证取等号的条件,使用导数时应谨慎决断最值的取值情况. （南京市、盐城市2013届高三年级第一次模
3、拟考试数学试题）近年来,某企业每年消耗电费约24万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积(单位:平方米)之间的函数关系是为常数). 记为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和. (1)试解释的实际意义, 并建立关于的函数关系式;(2)当为多少平方米时, 取得最小值?最小值是多
4、少万元?【答案】解: (1) 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用, 即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费 由,得 所以 (2)因为 当且仅当,即时取等号 所以当为55平方米时, 取得最小值为59.75万元 (说明:第(2)题用导数可最值的,类似给分) （苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）在路边安装路灯,灯柱与地面垂直,灯杆与灯柱所在平面与道路垂直,且,路灯采用锥形灯罩,射出的光线如图中阴影部分所示,已知,路宽米,设灯柱高(米),()(1)求灯柱的高(用表示);(2)若灯杆与灯柱所用材料相同,记此用料长度和为,求关于的函数表达式,并求出的最小值
5、. 【答案】 （江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）如图,一个半圆和长方形组成的铁皮,长方形的边AD为半圆的直径,O为半圆的圆心,现要将此铁皮剪出一个等腰三角形,其底边.(1)设备,求三角形铁皮的面积;(2)求剪下的铁皮三角形面积的最大值.【答案】(1)设MN交AD交于Q点 MQD=30,MQ=,OQ=(算出一个得2分) SPMN=MNAQ=(1+)= (2)设MOQ=,0,MQ=sin,OQ=cos SPMN=MNAQ=(1+sin)(1+cos) =(1+sincos+sin+cos) 令sin+cos=t1,SPMN=(t+1+) =,当t=,SPMN的最大
6、值为 （苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）如图,两座建筑物的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是9和15,从建筑物的顶部看建筑物的视角.(1)求的长度;(2)在线段上取一点点与点不重合),从点看这两座建筑物的视角分别为问点在何处时,最小?第17题图【答案】作,垂足为,则,设, 则 ,化简得,解之得,或(舍) 答:的长度为 设,则, 设,令,因为,得,当时,是减函数;当 时,是增函数, 所以,当时,取得最小值,即取得最小值, 因为恒成立,所以,所以, 因为在上是增函数,所以当时,取得最小值. 答:当为时,取得最小值 （江苏省无锡市2013届高
7、三上学期期末考试数学试卷）要制作一个如图的框架(单位:米),要求所围成的总面积为19.5(米2),其中ABCD是一个矩形,EFCD是一个等腰梯形,梯形高h=AB, tan FED=,设AB=x米,BC=y米.()求y关于x的表达式;()如何设计x,y的长度,才能使所用材料最少?【答案】 （南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）如图,某广场中间有一块扇形绿地OAB,其中O为扇形所在圆的圆心,广场管理部门欲在绿地上修建观光小路:在上选一点C,过C修建与OB平行的小路CD,与OA平行的小路CE,问C应选在何处,才能使得修建的道路CD与CE的总长最大,并说明理由.【答案】 （江苏省苏锡常
8、镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）某部门要设计一种如图所示的灯架,用来安装球心为,半径为(米)的球形灯泡.该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成,其中圆弧形灯托,所在圆的圆心都是、半径都是(米)、圆弧的圆心角都是(弧度);灯杆垂直于地面,杆顶到地面的距离为(米),且;灯脚,是正四棱锥的四条侧棱,正方形的外接圆半径为(米),四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为(弧度).已知灯杆、灯脚的造价都是每米(元),灯托造价是每米(元),其中,都为常数.设该灯架的总造价为(元) .(1)求关于的函数关系式;(2)当取何值时,取得最小值?【答案】 （江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三
9、第三次调研测试数学试卷）某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示:图1是单层玻璃,厚度为8 mm;图2是双层中空玻璃,厚度均为4 mm,中间留有厚度为的空气隔层.根据热传导知识,对于厚度为的均匀介质,两侧的温度差为,单位时间内,在单位面积上通过的热量,其中为热传导系数.假定单位时间内,在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等.(注:玻璃的热传导系数为,空气的热传导系数为.)(1)设室内,室外温度均分别为,内层玻璃外侧温度为,外层玻璃内侧温度为,且.试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量(结果用,及表示);(2)为使双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量只有单
10、层玻璃的4%,应如何设计的大小?图1图2墙墙8T1T2室内室外墙墙x4T1T2室内室外4（第17题） 【答案】解:(1)设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量分别为, 则, (2)由(1)知, 当4%时,解得(mm). 答:当mm时,双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4% （江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）如图,在海岸线一侧C处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在上设立了A、B两个报名点,满足A、B、C中任意两点间的距离为10千米.公司拟按以下思路运作:先将A、B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A、B两点),然后乘同一艘游轮
11、前往C岛.据统计,每批游客A处需发车2辆,B处需发车4辆,每辆汽车每千米耗费2元,游轮每千米耗费12元.设,每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本S元.写出S关于的函数表达式,并指出的取值范围;问中转点D距离A处多远时,S最小?【答案】解: (1)由题在中,. 由正弦定理知,得 (2),令,得 当时,;当时,当时取得最小值 此时, 中转站距处千米时,运输成本最小 （2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）如图所示,有两条道路与,现要铺设三条下水管道,(其中,分别在,上),若下水管道的总长度为,设,.(1)求关于的函数表达式,并指出的取值范围;(2)已知点处有一个污水
12、总管的接口,点到的距离为,到点的距离为,问下水管道能否经过污水总管的接口点?若能,求出的值,若不能,请说明理由.【答案】 （扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）为稳定房价,某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1600万元购得一块土地,在该土地上建造10幢楼房的住宅小区,每幢楼的楼层数相同,且每层建筑面积均为1000平方米,每平方米的建筑费用与楼层有关,第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中k为常数) .经测算,若每幢楼为5层,则该小区每平方米的平均综合费用为1270元. (每平方米平均综合费用=).(1)求k的值;(2)问要使该小区楼房每平方米
13、的平均综合费用最低,应将这10幢楼房建成多少层?此时每平方米的平均综合费用为多少元?【答案】【解】(1)如果每幢楼为5层,那么所有建筑面积为1010005平方米,所有建筑费用为 (k +800)+(2k +800)+(3 k +800)+(4k+800)+(5k +800)100010,所以, 1270=,解之得:k=50 (2)设小区每幢为n(nN*)层时,每平方米平均综合费用为f (n),由题设可知 f (n) = =+25n+8252+825=1225(元) 当且仅当=25n,即n=8时等号成立 答:该小区每幢建8层时,每平方米平均综合费用最低,此时每平方米平均综合费用为1 225元 （
14、连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件:报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加;报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%;报销的医疗费用不得超过8万元.(1)请你分析该单位能否采用函数模型y=0.05(x2+4x+8)作为报销方案;(2)若该单位决定采用函数模型y=x-2lnx+a(a为常数)作为报销方案,请你确定整数的值.(参考数据:ln20.69,ln102.3)【答案】【解】(1)函数y=0.05(x2+4x+8)在2,10上是增函数,满足条件, 当x=10时,y有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件 但当x=3时,y=0得x0,则f (x)=2x-=,x0.故x(,4)4(4,8)8f (x)-0+f(x)646480所以f(x)的取值范围为64,80,从而l的范围是8,4; 当折痕是情形时,设AM=xcm,DN=ycm,则(x+y)6=16,即y=-x.由得0x.所以l=,0x.所以l的范围为6,; 当折痕是情形时,设BN=xcm,AM=ycm,则(x+y)8=16,即y=4-x.由得0x4.所以l=,0x4.所以l的取值范围为8,4.综上,l的取值范围为6,4