1、高考第 17 题之(二)数 列年 份 卷 别 考题位置 考查内容 命题规律分析 2016全 国卷解答题第17 题等 差 数 列 的基本运算2016全 国卷解答题第17 题等 比 数 列 的通项公式、an与 Sn 的关系2015全 国卷解答题第17 题等 差 数 列 的通项公式、an与 Sn 的关系、裂 项 相 消 法求和数列在解答题中的考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前 n 项和与第 n 项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前 n项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合试题难度中等1(2016全国卷)已知数列an的前 n 项和 S
2、n1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若 S53132，求.解：(1)证明：由题意得 a1S11a1，故 1，a1 11，故 a10.由 Sn1an，Sn11an1 得 an1an1an，即 an1(1)an.由 a10，0 得 an0，所以an1an 1.因此an是首项为 11，公比为 1的等比数列，于是 an 111n1.(2)若 S53132，求.解：由(1)得 Sn11n.由 S53132得 1153132，即15 132.解得 1.2(2015全国卷)Sn 为数列an的前 n 项和已知 an0，a2n2an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设 bn1
3、anan1，求数列bn的前 n 项和解：(1)由 a2n2an4Sn3，可知 a2n12an14Sn13.，得 a2n1a2n2(an1an)4an1，即 2(an1an)a2n1a2n(an1an)(an1an)由 an0，得 an1an2.又 a212a14a13，解得 a11(舍去)或 a13.所以an是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an2n1.(2)设 bn1anan1，求数列bn的前 n 项和解：由 an2n1 可知bn1anan112n12n31212n112n3.设数列bn的前 n 项和为 Tn，则Tnb1b2bn121315 1517 12n112n3n32n
4、3.题型一 等差、等比数列的判定及应用学规范(1)设an的公比为q.由题设可得a11q2，a11qq26.3分解得a12，q2.5分故an的通项公式为an(2)n.6分防失误处注意此类方程组的整体运算方法的运用，可快速求解(2)由(1)可得 Sn212n1223(1)n2n13.8 分由于 Sn2Sn143(1)n2n32n232231n2n132Sn，10 分故 Sn1，Sn，Sn2 成等差数列.12 分防失误处化简 Sn 时易出现计算错误处对于 Sn2Sn1 的运算代入后，要针对目标，即化为 2Sn，观察结构，整体运算变形，可得结论学规范 通技法1等比数列的 4 种判定方法(1)定义法：若
5、an1an q(q 为非零常数)或 anan1q(q 为非零常数且 n2)，则an是等比数列(2)中项公式法：若数列an中，an0 且 a2n1anan2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成 ancqn(c，q 均是不为 0 的常数，nN*)，则an是等比数列(4)前 n 项和公式法：若数列an的前 n 项和 Snkqnk(k为常数且 k0，q0,1)，则an是等比数列2证明一个数列an为等差数列的 2 种基本方法(1)利用等差数列的定义证明，即证明 an1and(nN*)；(2)利用等差中项证明，即证明 an2an2an1(nN*)对点练1(2017成都模拟
6、)已知数列an满足 a12，an12an4.(1)证明：数列an4是等比数列；(2)求数列|an|的前 n 项和 Sn.解：(1)证明：a12，a142.an12an4，an142an82(an4)，an14an4 2，an4是以 2 为首项，2 为公比的等比数列(2)求数列|an|的前 n 项和 Sn.解：由(1)，可知 an42n，an2n4.当 n1 时，a120，S1|a1|2；当 n2 时，an0.Sna1a2an2(224)(2n4)2222n4(n1)212n12 4(n1)2n14n2.又当 n1 时，上式也满足当 nN*时，Sn2n14n2.题型二 等差、等比数列的综合应用学
7、规范(1)设数列an的公差为 d，由已知得 721d28，解得 d1.所以数列an的通项公式为 ann.2 分b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.5 分防失误处易出现不理解x的含义而求错值，注意理解题目中给出的例子学规范(2)因为 bn0，1n10，1，10n100，2，100n1 000，3，n1 000，9 分所以数列bn的前 1 000 项和为 1902900311 893.12 分防失误处不明白 bnlg an的含义而求错 bn，要抓住 lg an 与 an 的关系，分段要明确才能避免失误 通技法等差、等比数列基本量的计算模型(1)分析已知条件和求解目标，确定为
8、最终解决问题需要首先求解的中间问题如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的逻辑次序(2)注意细节在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于 1 的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等2(2017合肥模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足S424，S763.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn2an(1)nan，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)an为等差数列，S44a1432 d24，S77a1762 d63，解得a13，d2，an2n1.(2)若bn2 an(1)nan，求数列bn的前n项和Tn.解：bn2an(1)nan22n1(1)n(2n1)24n(1)n(2n1)，Tn2(41424n)3579(1)n(2n1)84n13Gn.当n2k(kN*)时，Gn2n2n，Tn84n13n；当 n2k1(kN*)时，Gn2n12(2n1)n2，Tn84n13n2，Tn84n13nn2k，kN*，84n13n2n2k1，kN*.“课下练”见“课时跟踪检测（十八）”(单击进入电子文档)
