1、专题20 电磁学计算题【真题汇编】1、（2022湖南卷T13）如图，两个定值电阻的阻值分别为和，直流电源的内阻不计，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为，板长为，极板间存在方向水平向里的匀强磁场。质量为、带电量为的小球以初速度沿水平方向从电容器下板左侧边缘点进入电容器，做匀速圆周运动，恰从电容器上板右侧边缘离开电容器。此过程中，小球未与极板发生碰撞，重力加速度大小为，忽略空气阻力。（1）求直流电源的电动势；（2）求两极板间磁场的磁感应强度；（3）在图中虚线的右侧设计一匀强电场，使小球离开电容器后沿直线运动，求电场强度的最小值。【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）小球在电磁场中作匀速圆
2、周运动，则电场力与重力平衡，可得两端的电压根据欧姆定律得联立解得（2）如图所示设粒子在电磁场中做圆周运动的半径为，根据几何关系解得根据解得（3）由几何关系可知，射出磁场时，小球速度方向与水平方向夹角为，要使小球做直线运动，当小球所受电场力与小球重力在垂直小球速度方向的分力相等时，电场力最小，电场强度最小，可得解得2、（2022广东卷T14）密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性，因此获得了1923年的诺贝尔奖。图是密立根油滴实验的原理示意图，两个水平放置、相距为d的足够大金属极板，上极板中央有一小孔。通过小孔喷入一些小油滴，由于碰撞或摩擦，部分油滴带上了电荷。有两个质量均为、位于同一竖
3、直线上的球形小油滴A和B，在时间t内都匀速下落了距离。此时给两极板加上电压U（上极板接正极），A继续以原速度下落，B经过一段时间后向上匀速运动。B在匀速运动时间t内上升了距离，随后与A合并，形成一个球形新油滴，继续在两极板间运动直至匀速。已知球形油滴受到的空气阻力大小为，其中k为比例系数，m为油滴质量，v为油滴运动速率，不计空气浮力，重力加速度为g。求：（1）比例系数k；（2）油滴A、B的带电量和电性；B上升距离电势能的变化量；（3）新油滴匀速运动速度的大小和方向。【答案】（1）；（2）油滴A不带电，油滴B带负电，电荷量为，；（3）见解析【解析】（1）未加电压时，油滴匀速时的速度大小匀速时又联
4、立可得（2）加电压后，油滴A的速度不变，可知油滴A不带电，油滴B最后速度方向向上，可知油滴B所受电场力向上，极板间电场强度向下，可知油滴B带负电，油滴B向上匀速运动时，速度大小为根据平衡条件可得解得根据又联立解得（3）油滴B与油滴A合并后，新油滴的质量为，新油滴所受电场力若，即可知新油滴速度方向向上，设向上为正方向，根据动量守恒定律可得新油滴向上加速，达到平衡时解得速度大小为速度方向向上；若，即可知设向下为正方向，根据动量守恒定律可知新油滴向下加速，达到平衡时解得速度大小为速度方向向下。3、（2022山东卷T17）中国“人造太阳”在核聚变实验方而取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，
5、其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系中，空间内充满匀强磁场I，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；，的空间内充满匀强磁场II，磁感应强度大小为，方向平行于平面，与x轴正方向夹角为；，的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场。质量为m、带电量为的离子甲，从平面第三象限内距轴为的点以一定速度出射，速度方向与轴正方向夹角为，在在平面内运动一段时间后，经坐标原点沿轴正方向进入磁场I。不计离子重力。（1）当离子甲从点出射速度为时，求电场强度的大小；（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度；（3）离子甲以的速度从点沿轴正方向第一次穿过面进入磁场I，求第四次穿过平面的位置坐标（用
6、表示）；（4）当离子甲以的速度从点进入磁场I时，质量为、带电量为的离子乙，也从点沿轴正方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差（忽略离子间相互作用）。【答案】（1）；（2）；（3）（，）；（4）【解析】（1）如图所示将离子甲从点出射速度为分解到沿轴方向和轴方向，离子受到的电场力沿轴负方向，可知离子沿轴方向做匀速直线运动，沿轴方向做匀减速直线运动，从到的过程，有联立解得（2）如图所示离子从坐标原点沿轴正方向进入磁场I中，由洛伦兹力提供向心力可得离子经过磁场I偏转后从轴进入磁场II中，由洛伦兹力提供向心力可得可得为了使离子在磁场中运动，需满足，联立可得
7、要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为；（3）离子甲以的速度从点沿z轴正方向第一次穿过面进入磁场I，离子在磁场I中的轨迹半径为离子在磁场II中的轨迹半径为离子从点第一次穿过到第四次穿过平面的运动情景，如图所示离子第四次穿过平面的坐标为离子第四次穿过平面的坐标为故离子第四次穿过平面的位置坐标为（，）（4）设离子乙的速度为，根据离子甲、乙动能相同，可得可得离子甲在磁场I中的轨迹半径为离子甲在磁场II中的轨迹半径为离子乙在磁场I中的轨迹半径为离子乙在磁场II中的轨迹半径为根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点如图所示从点进入磁场到第一个交点过程，有可得离子甲、乙到达它们运
8、动轨迹第一个交点时间差为4、（2022全国甲卷T25）光点式检流计是一种可以测量微小电流的仪器，其简化的工作原理示意图如图所示。图中A为轻质绝缘弹簧，C为位于纸面上的线圈，虚线框内有与纸面垂直的匀强磁场；随为置于平台上的轻质小平面反射镜，轻质刚性细杆D的一端与M固连且与镜面垂直，另一端与弹簧下端相连，PQ为圆弧形的、带有均匀刻度的透明读数条，PQ的圆心位于M的中心使用前需调零，使线圈内没有电流通过时，M竖直且与纸面垂直；入射细光束沿水平方向经PQ上的O点射到M上后沿原路反射。线圈通入电流后弹簧长度改变，使M发生倾斜，入射光束在M上的入射点仍近似处于PQ的圆心，通过读取反射光射到PQ上的位置，可
9、以测得电流的大小。已知弹簧的劲度系数为k，磁场磁感应强度大小为B，线圈C的匝数为N。沿水平方向的长度为l，细杆D的长度为d，圆弧PQ的半径为rrd，d远大于弹簧长度改变量的绝对值。（1）若在线圈中通入的微小电流为I，求平衡后弹簧长度改变量的绝对值Dx及PQ上反射光点与O点间的弧长s；（2）某同学用此装置测一微小电流，测量前未调零，将电流通入线圈后，PQ上反射光点出现在O点上方，与O点间的弧长为s1保持其它条件不变，只将该电流反向接入，则反射光点出现在点下方，与O点间的弧长为s2。求待测电流的大小。【答案】（1），；（2）【解析】（1）由题意当线圈中通入微小电流I时，线圈中的安培力为F=NBIl
10、根据胡克定律有F=NBIl=kDx设此时细杆转过的弧度为，则可知反射光线转过的弧度为2，又因为dDx，rd则sin ，sin2 2所以有Dx=ds=r2联立可得（2）因为测量前未调零，设没有通电流时偏移的弧长为s，当初始时反射光点在O点上方，通电流I后根据前面的结论可知有当电流反向后有联立可得同理可得初始时反射光点在O点下方结果也相同，故待测电流的大小为5、（2022全国乙卷T24）如图，一不可伸长的细绳的上端固定，下端系在边长为的正方形金属框的一个顶点上。金属框的一条对角线水平，其下方有方向垂直于金属框所在平面的匀强磁场。已知构成金属框的导线单位长度的阻值为；在到时间内，磁感应强度大小随时间
11、t的变化关系为。求:（1）时金属框所受安培力的大小；（2）在到时间内金属框产生的焦耳热。【答案】（1）；（2）0.016J【解析】（1）金属框的总电阻为金属框中产生的感应电动势为金属框中的电流为t=2.0s时磁感应强度金属框处于磁场中的有效长度为此时金属框所受安培力大小为（2）内金属框产生的焦耳热为6、（2022浙江1月卷T21）如图所示，水平固定一半径r=0.2m的金属圆环，长均为r，电阻均为R0的两金属棒沿直径放置，其中一端与圆环接触良好，另一端固定在过圆心的导电竖直转轴OO上，并随轴以角速度=600rad/s匀速转动，圆环内左半圆均存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场。圆环边缘、与转轴良好
12、接触的电刷分别与间距l1的水平放置的平行金属轨道相连，轨道间接有电容C=0.09F的电容器，通过单刀双掷开关S可分别与接线柱1、2相连。电容器左侧宽度也为l1、长度为l2、磁感应强度大小为B2的匀强磁场区域。在磁场区域内靠近左侧边缘处垂直轨道放置金属棒ab，磁场区域外有间距也为l1的绝缘轨道与金属轨道平滑连接，在绝缘轨道的水平段上放置“”形金属框fcde。棒ab长度和“”形框的宽度也均为l1、质量均为m=0.01kg，de与cf长度均为l3=0.08m，已知l1=0.25m，l2=0.068m，B1=B2=1T、方向均为竖直向上；棒ab和“”形框的cd边的电阻均为R=0.1，除已给电阻外其他电
13、阻不计，轨道均光滑，棒ab与轨道接触良好且运动过程中始终与轨道垂直。开始时开关S和接线柱1接通，待电容器充电完毕后，将S从1拨到2，电容器放电，棒ab被弹出磁场后与“”形框粘在一起形成闭合框abcd，此时将S与2断开，已知框abcd在倾斜轨道上重心上升0.2m后返回进入磁场。（1）求电容器充电完毕后所带的电荷量Q，哪个极板（M或N；）带正电？（2）求电容器释放的电荷量；（3）求框abcd进入磁场后，ab边与磁场区域左边界的最大距离x。v【答案】（1）0.54C；M板；（2）0.16C；（3）0.14m【解析】（1）开关S和接线柱1接通，电容器充电充电过程，对绕转轴OO转动的棒由右手定则可知其动
14、生电源的电流沿径向向外，即边缘为电源正极，圆心为负极，则M板充正电；根据法拉第电磁感应定律可知则电容器的电量为（2）电容器放电过程有棒ab被弹出磁场后与“”形框粘在一起的过程有棒上滑过程有联立解得（3）设导体框在磁场中减速滑行的总路程为，由动量定理可得匀速运动距离为则7、（2022浙江1月卷T22）如图为研究光电效应的装置示意图，该装置可用于分析光子的信息。在xOy平面（纸面）内，垂直纸面的金属薄板M、N与y轴平行放置，板N中间有一小孔O。有一由x轴、y轴和以O为圆心、圆心角为90的半径不同的两条圆弧所围的区域，整个区域内存在大小可调、方向垂直纸面向里的匀强电场和磁感应强度大小恒为B1、磁感线
15、与圆弧平行且逆时针方向的磁场。区域右侧还有一左边界与y轴平行且相距为l、下边界与x轴重合的匀强磁场区域，其宽度为a，长度足够长，其中的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小可调。光电子从板M逸出后经极板间电压U加速（板间电场视为匀强电场），调节区域的电场强度和区域的磁感应强度，使电子恰好打在坐标为（a+2l，0）的点上，被置于该处的探测器接收。已知电子质量为m、电荷量为e，板M的逸出功为W0，普朗克常量为h。忽略电子的重力及电子间的作用力。当频率为的光照射板M时有光电子逸出，（1）求逸出光电子的最大初动能Ekm，并求光电子从O点射入区域时的速度v0的大小范围；（2）若区域的电场强度大小，区域的磁
16、感应强度大小，求被探测到的电子刚从板M逸出时速度vM的大小及与x轴的夹角；（3）为了使从O点以各种大小和方向的速度射向区域的电子都能被探测到，需要调节区域的电场强度E和区域的磁感应强度B2，求E的最大值和B2的最大值。【答案】（1）；（2）；（3）；【解析】（1）光电效应方程，逸出光电子的最大初动能；（2）速度选择器如图所示，几何关系（3）由上述表达式可得由可得8、（2022浙江6月卷T21）舰载机电磁弹射是现在航母最先进的弹射技术，我国在这一领域已达到世界先进水平。某兴趣小组开展电磁弹射系统的设计研究，如图1所示，用于推动模型飞机的动子（图中未画出）与线圈绝缘并固定，线圈带动动子，可在水平导
17、轨上无摩擦滑动。线圈位于导轨间的辐向磁场中，其所在处的磁感应强度大小均为B。开关S与1接通，恒流源与线圈连接，动子从静止开始推动飞机加速，飞机达到起飞速度时与动子脱离；此时S掷向2接通定值电阻R0，同时施加回撤力F，在F和磁场力作用下，动子恰好返回初始位置停下。若动子从静止开始至返回过程的v-t图如图2所示，在t1至t3时间内F=(80010v）N，t3时撤去F。已知起飞速度v1=80m/s，t1=1.5s，线圈匝数n=100匝，每匝周长l=1m，飞机的质量M=10kg，动子和线圈的总质量m=5kg，R0=9.5，B=0.1T，不计空气阻力和飞机起飞对动子运动速度的影响，求（1）恒流源的电流I
18、；（2）线圈电阻R；（3）时刻t3。【答案】（1）80A；（2）；（3）【解析】（1）由题意可知接通恒流源时安培力动子和线圈在0t1时间段内做匀加速直线运动，运动的加速度为根据牛顿第二定律有代入数据联立解得（2）当S掷向2接通定值电阻R0时，感应电流为此时安培力为所以此时根据牛顿第二定律有由图可知在至期间加速度恒定，则有解得，（3）根据图像可知故；在0t2时间段内的位移而根据法拉第电磁感应定律有电荷量的定义式可得从t3时刻到最后返回初始位置停下的时间段内通过回路的电荷量，根据动量定理有联立可得解得9、（2022浙江6月卷T22）离子速度分析器截面图如图所示。半径为R的空心转筒P，可绕过O点、垂
19、直xOy平面（纸面）的中心轴逆时针匀速转动（角速度大小可调），其上有一小孔S。整个转筒内部存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。转筒下方有一与其共轴的半圆柱面探测板Q，板Q与y轴交于A点。离子源M能沿着x轴射出质量为m、电荷量为 q（q 0）、速度大小不同的离子，其中速度大小为v0的离子进入转筒，经磁场偏转后恰好沿y轴负方向离开磁场。落在接地的筒壁或探测板上的离子被吸收且失去所带电荷，不计离子的重力和离子间的相互作用。（1）求磁感应强度B的大小；若速度大小为v0的离子能打在Q板的A处，求转筒P角速度的大小；（2）较长时间后，转筒P每转一周有N个离子打在板Q的C处，OC与x轴负方向的夹角为，求转筒转动
20、一周的时间内，C处受到平均冲力F的大小；（3）若转筒P的角速度小于，且A处探测到离子，求板Q上能探测到离子的其他的值（为探测点位置和O点连线与x轴负方向的夹角）。【答案】（1），k = 0，1，2，3；（2），n = 0，1，2，；（3），【解析】（1）离子在磁场中做圆周运动有则离子在磁场中的运动时间转筒的转动角度，k = 0，1，2，3（2）设速度大小为v的离子在磁场中圆周运动半径为，有离子在磁场中的运动时间转筒的转动角度t = 2n + 转筒的转动角速度，n = 0，1，2，动量定理，n = 0，1，2，（3）转筒的转动角速度其中k = 1，n = 0，2可得，10、（2022河北T14）
21、两块面积和间距均足够大的金属板水平放置，如图1所示，金属板与可调电源相连形成电场，方向沿y轴正方向。在两板之间施加磁场，方向垂直平面向外。电场强度和磁感应强度随时间的变化规律如图2所示。板间O点放置一粒子源，可连续释放质量为m、电荷量为、初速度为零的粒子，不计重力及粒子间的相互作用，图中物理量均为已知量。求：（1）时刻释放的粒子，在时刻的位置坐标；（2）在时间内，静电力对时刻释放的粒子所做的功；（3）在点放置一粒接收器，在时间内什么时刻释放的粒子在电场存在期间被捕获。【答案】（1）；（2）；（3），【解析】（1）在时间内，电场强度为，带电粒子在电场中加速度，根据动量定理可知解得粒子在时刻的速度
22、大小为方向竖直向上，粒子竖直向上运动的距离在时间内，根据粒子在磁场运动的周期可知粒子偏转，速度反向，根据可知粒子水平向右运动的距离为粒子运动轨迹如图所以粒子在时刻粒子的位置坐标为，即；（2）在时间内，电场强度为，粒子受到的电场力竖直向上，在竖直方向解得时刻粒子的速度方向竖直向上，粒子在竖直方向上运动的距离为在时间内，粒子在水平方向运动的距离为此时粒子速度方向向下，大小为，在时间内，电场强度为，竖直方向解得粒子在时刻的速度粒子在竖直方向运动的距离粒子运动的轨迹如图在时间内，静电力对粒子的做功大小为电场力做正功；（3）若粒子在磁场中加速两个半圆恰好能够到达点，则释放的位置一定在时间内，粒子加速度时
23、间为，在竖直方向上在时间内粒子在水平方向运动的距离为在时间内，在竖直方向在时间内，粒子在水平方向运动的距离为接收器的位置为，根据距离的关系可知解得此时粒子已经到达点上方，粒子竖直方向减速至用时，则竖直方向需要满足解得在一个电场加速周期之内，所以成立，所以粒子释放的时刻为中间时刻；若粒子经过一个半圆到达点，则粒子在时间内释放不可能，如果在时间内释放，经过磁场偏转一次的最大横向距离，即直径，也无法到达点，所以考虑在时间内释放，假设粒子加速的时间为，在竖直方向上之后粒子在时间内转动半轴，横向移动距离直接到达点的横坐标，即解得接下来在过程中粒子在竖直方向减速为的过程中粒子要在点被吸收，需要满足代入验证
24、可知在一个周期之内，说明情况成立，所以粒子释放时刻为。11、(2022湖北T15)如图所示，高度足够的匀强磁场区域下边界水平、左右边界竖直，磁场方向垂直于纸面向里。正方形单匝线框abcd的边长L= 0.2m、回路电阻R= 1.6 10 - 3、质量m= 0.2kg。线框平面与磁场方向垂直，线框的ad边与磁场左边界平齐，ab边与磁场下边界的距离也为L。现对线框施加与水平向右方向成= 45角、大小为的恒力F，使其在图示竖直平面内由静止开始运动。从ab边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动；dc边进入磁场时，bc边恰好到达磁场右边界。重力加速度大小取g= 10m/s2，求：（1）ab边进入磁场前，
25、线框在水平方向和竖直方向的加速度大小；（2）磁场的磁感应强度大小和线框进入磁场的整个过程中回路产生的焦耳热；（3）磁场区域的水平宽度。【答案】（1）ax= 20m/s2，ay= 10m/s2；（2）B= 0.2T，Q= 0.4J；（3）X= 1.1m【解析】（1）ab边进入磁场前，对线框进行受力分析，在水平方向有max =Fcos代入数据有ax= 20m/s2在竖直方向有may=Fsin - mg代入数据有ay= 10m/s2（2）ab边进入磁场开始，ab边在竖直方向切割磁感线；ad边和bc边的上部分也开始进入磁场，且在水平方向切割磁感线。但ad和bc边的上部分产生的感应电动势相互抵消，则整个
26、回路的电源为ab，根据右手定则可知回路的电流为adcba，则ab边进入磁场开始，ab边受到的安培力竖直向下，ad边的上部分受到的安培力水平向右，bc边的上部分受到的安培力水平向左，则ad边和bc边的上部分受到的安培力相互抵消，故线框abcd受到的安培力的合力为ab边受到的竖直向下的安培力。由题知，线框从ab边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动，有Fsin - mg - BIL= 0E=BLvyvy2= 2ayL联立有B= 0.2T由题知，从ab边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动；dc边进入磁场时，bc边恰好到达磁场右边界。则线框进入磁场的整个过程中，线框受到的安培力为恒力，则有Q=W
27、安=BILyy=LFsin - mg=BIL联立解得Q= 0.4J（3）线框从开始运动到进入磁场的整个过程中所用的时间为vy=ayt1L=vyt2t=t1 + t2联立解得t= 0.3s由（2）分析可知线框在水平方向一直做匀加速直线运动，则在水平方向有则磁场区域的水平宽度X=x + L= 1.1m【突破练习】1.（2022北京市延庆区高三下学期一模）如图所示为回旋加速器原理图，它的主要结构是在磁极间的真空室内有两个半圆形的金属扁盒（D形盒）隔开相对放置，D形盒上加交变电压，其间隙处产生交变电场。在D形盒所在处存在匀强磁场。置于中心附近的粒子源产生的带电粒子，在电场中被加速，带电粒子在D形盒内不
28、受电场力，只在洛伦兹力作用下，在垂直磁场平面内作匀速圆周运动。一质量为m，电荷量为q的带电粒子自半径为R的D形盒的中心附近由静止开始加速，D形盒上所加交变电压大小恒为U，D形盒所在处的磁场的磁感应强度为B，不考虑相对论效应，求：（1）带电粒子从D形盒边缘飞出时的速度大小v；（2）交变电压的周期T；（3）带电粒子从释放到飞出加速器，被加速的次数N。【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）带电粒子从D形盒边缘飞出时，有解得（2）交变电压的周期与带电粒子在磁场中运动的周期相等，为（3）带电粒子从释放到飞出加速器，由动能定理可得解得2.（2022福建省龙岩市高三下学期一模）如图所示，在xOy平面（
29、纸面）内，x0空间存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，第三象限空间存在方向沿x轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），以大小为v、方向与y轴正方向夹角60的速度沿纸面从坐标为（0，L）的P1点进入磁场中，然后从坐标为（0，L）的P2点进入电场区域，最后从x轴上的P3点（图中未画出）垂直于x轴射出电场。求：（1）磁场的磁感应强度大小B；（2）粒子从P1点运动到P2点所用的时间t；（3）电场强度的大小E【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）带电粒子在磁场中运动轨迹如图所示，其圆心为O1，对应轨道半径为R，由几何关系可得由牛顿第二定律和向心力公式有联立可得（2）带电粒子
30、在磁场中运动时间t1联立可得（3）带电粒子在电场中运动时间t2，由运动的合成与分解有由牛顿第二定律有联立可得3.（2022福建厦门市高三下学期二模）实验室有一装置可用于探究原子核性质，该装置的主要原理可简化为：空间中有一直角坐标系Oxyz，在紧贴（-0.2m，0，0）的下侧处有一粒子源P，能沿x轴正方向以v0=1106m/s的速度持续发射比荷为C/kg的某种原子核。在x0，y0的空间有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B1=0.2T。忽略原子核间的相互作用，xOy平面图如图甲所示。（1）求原子核第一次穿过y轴时的速度大小；（2）若原子核进入磁场后，经过瞬间分裂成a、b两个新核。
31、两新核的质量之比为；电荷量之比为；速度大小之比为，方向仍沿原运动方向。求：a粒子第1次经过y轴时的位置（3）若电场E可在1105V/m105V/m之间进行调节（不考虑电场变化而产生的磁场）。在xOz平面内x1）个区域P时的速度大小vn和粒子穿过该区域过程中速度的水平分量的变化量大小vnx；（3）到达第几个区域P时，粒子不能从该区域的下方穿出。【答案】（1）；（2）（2，3，4，5）；（3）【解析】(1)进入第一个区域P前，粒子做自由落体运动，有代入数据解得在区域P中，粒子所受重力、电场力的合力为所以，粒子在区域P中做匀速圆周运动，粒子穿出第一个区城P时，设与x轴正方向的夹角为。其运动轨迹如图所示由题意设粒子在该区域内的轨道半径为，由牛顿第二定律有由几何关系有联立得代入数据解得(2)进入第n（）个区域P前的过程中，由动能定理有解得（2，3，4，5）设粒子进入、穿出第n（）个区域P时，与x轴正方向的夹角分别为、，轨道半径为。其运动轨迹如图所示由題意由牛顿第二定律有由几何关系有联立得代入数据解得(3)设粒子刚好不能从第n个区域P内穿出，其满足的条件是粒子在该区域的轨迹恰好与下边界相切，即在下边界的速度，沿x轴正方向，故从粒子进入第一个区域P到刚好不能从第n个区城P内穿出的整个过程中，粒子在水平方向的速度分量的变化量为因恒定，故即故即带入数据得故粒子不能从第100个区域P的下方穿出。