1、第二章 圆锥曲线与方程2.3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程第二章 圆锥曲线与方程考点学习目标核心素养双曲线的定义理解并掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决相关问题数学抽象、逻辑推理双曲线的标准方程掌握双曲线的标准方程，了解其推导过程，掌握求双曲线标准方程的基本方法直观想象、数学运算问题导学预习教材 P52P55，并思考下列问题：1平面内满足什么条件的点的轨迹是双曲线？2双曲线的焦点、焦距分别是什么？3双曲线的标准方程是什么？1双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的_等于非零常数(_|F1F2|)的点的轨迹(2)符号表示：|MF1|MF2|2a(常数)(02
2、a0，b0 且 ab.()已知两定点 F1(3，0)，F2(3，0)，在平面内满足下列条件的动点 P 的轨迹中，是双曲线的是()A|PF1|PF2|5 B|PF1|PF2|6C|PF1|PF2|7 D|PF1|PF2|0解析：选 A对于选项 A，因为|F1F2|6，所以|PF1|PF2|5|F1F2|，所以动点 P 的轨迹不存在；对于选项 D，因为|PF1|PF2|0，所以|PF1|PF2|，根据线段垂直平分线的性质可知，动点 P 的轨迹是线段 F1F2 的垂直平分线在双曲线的标准方程中，若 a6，b8，则其标准方程是()Ay236x2641Bx264y2361Cx236y2641Dx236y
3、2641 或y236x2641解析：选 D因为没有说明双曲线的焦点所在的坐标轴，故应分焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上两种情况进行讨论，显然 D 选项符合要求双曲线x23 y21 的焦点坐标是()A(2，0)，(2，0)B(2，0)，(2，0)C(0，2)，(0，2)D(0，2)，(0，2)解析：选 B由双曲线的标准方程可知，a23，b21，则 c2a2b2314，故 c2.又焦点在 x 轴上，所以焦点坐标为(2，0)，(2，0)已知方程 x2k5y2|k|21 对应的图形是双曲线，那么 k的取值范围是()Ak5 Bk5 或2k2 或 k2 D2k0.即k50，|k|20 或k50，|k|2
4、5 或2k2.【答案】B双曲线方程的辨识方法将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为x2my2n1，则当 mn0，n0，则方程表示焦点在 x 轴上的双曲线；若m0，则方程表示焦点在 y 轴上的双曲线 1已知双曲线 x2a3 y22a1，焦点在 y 轴上，若焦距为 4，则a 等于()A32B5C7 D12解析：选 D根据题意可知，双曲线的标准方程为 y22a x23a1.由其焦距为 4，得 c2，则有 c22a3a4，解得 a12.2在方程 mx2my2n 中，若 mn0，则方程所表示的曲线是()A焦点在 x 轴上的椭圆B焦点在 x 轴上的双曲线C焦点在 y 轴上的双曲线D焦点在 y
5、 轴上的椭圆解析：选 C方程 mx2my2n 可化为x2nmy2nm1.由 mn0 知nm0，b0)，则有 a2b2c28，9a210b21，解得 a23，b25.故所求双曲线的标准方程为x23 y251.(1)求双曲线标准方程的步骤定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式定量：是指确定 a2，b2 的数值，常由条件列方程组求解(2)双曲线标准方程的两种求法定义法：根据双曲线的定义得到相应的 a，b，c，再写出双曲线的标准方程待定系数法：先设出双曲线的标准方程x2a2y2b21 或y2a2x2b21(a，b 均为正数)，然后根据条件求出待
6、定的系数代入方程即可注意 若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为 mx2ny21 的形式，注意标明条件 mn0.根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)与双曲线x216y241 有公共焦点，且过点(3 2，2)；(2)双曲线过两点 P3，154，Q163，5.解：(1)设双曲线的标准方程为x216k y24k1(4k16)将点(3 2，2)代入，解得 k4 或 k14(舍去)，所以双曲线的标准方程为x212y281.(2)设所求双曲线方程为 Ax2By21(AB1)1动点 P 到点 M(1，0)及点 N(5，0)的距离之差为 2a，则当 a1 和 a2 时，点 P 的轨迹分别是
7、()A双曲线和一条直线B双曲线和一条射线C双曲线的一支和一条射线D双曲线的一支和一条直线解析：选 C由题意，知|MN|4，当 a1 时，|PM|PN|2a20，b0)由题意知，a2 5，且点 A(2，5)在双曲线上，所以a2 5，25a2 4b21，解得 a220，b216，故所求双曲线的标准方程为y220 x2161.(2)椭圆x227y2361 的两个焦点为 F1(0，3)，F2(0，3)，双曲线与椭圆的一个交点为(15，4)或(15，4)设双曲线的标准方程为y2a2x2b21(a0，b0)，则42a2(15)2b21，a2b232，解得a24，b25，故所求双曲线的标准方程为y24x25 1.按ESC键退出全屏播放本部分内容讲解结束