数学辅导：利用旋转的基本性质进行几何证明.doc

1、数学辅导：利用旋转的基本性质进行几何证明正方形滚动一周，就是滚动四个90角。如滚动第一个90时，A点所经过的路线长是以点C为圆心、AC长为半径的-圆周长，此时A点滚动到了A1点(D点滚动到了D1点)；滚动第二个90时，其路线长是以点D1为圆心、A1D1长为半径的-圆周长，此时A1点滚动到了A2点的位置；滚动第三个90时，由于以点A2为圆心，此时A2点的位置未变(B2点滚动到了B3点)；滚动第四个90时其长是以点B3为圆心、B3C3长为半径的-圆周长，此时A3点滚动到了A4点的位置。A点滚动一周经过的路线长为：-28-+-28+0+-28=(4-+8)，当正方形滚动两周时，正方形顶点A所经过的路

2、线的长等于(8-+16)。思维延伸2：如图2，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2019次，点P依次落在P1、P2、P3、P4P2019的位置，则P2019的横坐标为_。解析正方形沿x轴正方向连续翻转4次正好翻转了一周 翻转2019次就是翻转了502周。从P点经过的路线可以看出，在每个周期内，P点相应的沿着x轴的正方向移动了4个单位长度 正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2019次后P点向前移动了4502=2019个单位长度 P点的横坐标为-1+2019=2019。例6.如图6所示，已知在ABC中，ACB=90，AC=BC，P是ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求BPC

3、的度数。解析可先将APC绕点C按逆时针方向旋转90到BEC的位置，由旋转的性质知，此时CPE是等腰直角三角形，CPE=45，在BPE中，由勾股定理逆定理可证出BPE=90，由此可求出BPC的度数。全解将APC绕点C按逆时针方向旋转90到CBE的位置，连结PE APCBEC EC=PC=2，EB=PA=3，CPE是等腰直角三角形 PC=2，CPE=45PE=2-，在BPE中 (2-)2+12=32，即PE2+PB2=BE2 BPE为Rt，BPE=90BPC=CPE+BPE=45+90=135思维延伸1如图已知，在等边三角形ABC内有一点M，且MA=3，MB=4，MC=5，求等边三角形ABC的面积

4、。解析求等边三角形的面积，关键是求出等边三角形的边长。将AMB绕点B按逆时针方向旋转60到CM1B的位置，连结MM1，过B点做BDCM1交CM1的延长线于点D,可得BMM1是等边三角形 MM1=BM1=BM=4，CM1=AM=3，BM1M=60，在MM1C中，可证M1M2+M1C2=MC2MM1C=90，故BM1C=150BM1D=30。在RtBM1D中，可求出BD=2，M1D=2-。在RtBDC中，BC2=22+(2-+3)2=25+12- SABC=-BC2=-(25+12-)=9+-(单位面积)小结：通过以上例题可以看出：1.利用旋转的基本性质进行几何证明的关键在于如何正确的使用其基本性

5、质。单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。如：例1、例2、例3、例6都运用了“旋转前、后的图形全等”的性质；例4运用了“对应点到旋转中心的距离相等”以及“对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角”的性质；例5则是把翻转看成了局部的旋转。我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年

6、内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:提出问题分析问题解决问题,但真正动起

7、笔来就犯难了。知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。根本原因还是无“米”下“锅”。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。2.利用旋转的基本性质进行几何证明时，一定要找准旋转中心、旋转角和旋转方向。宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。