1、第六章6.36.3.1A组素养自测一、选择题1e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，下列四组向量中，不能作为一组基底的是(B)Ae1e2和e1e2B3e12e2和4e26e1Ce12e2和e22e1De2和e1e2解析3e12e2与4e26e1是共线向量，不能作为一组基底.2如图所示，矩形ABCD中，5e1，3e2，则等于(A)A(5e13e2)B(5e13e2)C(3e25e1)D(5e23e1)解析()()(5e13e2).3在ABC中，已知D是AB边上一点，若2，则等于(A)ABCD解析方法一由平面向量的三角形法则可知()，所以.方法二因为A，B，D三点共线，所以1，所以.4如图所示
2、，|1，|OC|，AOB60，OBOC，设xy，则(B)Ax2，y1Bx2，y1Cx2，y1Dx2，y1解析解法1：过点C作CDOB交AO的延长线于点D，连接BC(图略).由|1，|，AOB60，OBOC，知COD30.在RtOCD中，可得OD2CD2，则2.x2，y1解法2：画图知x0，所以选B5在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则(A)ABCD解析().二、填空题6如图，平行四边形ABCD中，a，b，M是DC的中点，以a、b为基底表示向量_ba_.解析ba.7设向量a，b不平行，向量ab与a3b平行，则实数_.解析依据平行向量基本定理列方程组求解.ab与a3b平行，可设ab
3、t(a3b)，即abta3tb，解得8设e1，e2是平面内一组基向量，且ae12e2，be1e2，则向量e1e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1e2_ab_.解析设e1e2manb(m，nR)，ae12e2，be1e2，e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2e1与e2不共线，e1e2ab.三、解答题9如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点.若a，b，试以a、b为基底表示、.解析四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、DC边上的中点，2，2，b，a.babab，ba.10已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a3e12
4、e2，b2e1e2，c2e13e2，试用a，b表示c.解析设cxayb，则2e13e2x(3e12e2)y(2e1e2)，即(3x2y)e1(y2x)e22e13e2又e1，e2是平面内两个不共线的向量，所以解得所以c4a5b.B组素养提升一、选择题1向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则(B)A2B4C5D7解析以如图所示的两互相垂直的单位向量e1，e2为基底，则ae1e2，b6e12e2，ce13e2，因为cab(，R)，所以e13e2(e1e2)(6e12e2)(6)e1(2)e2，所以解得所以4故选B2(多选)如果e1、e2是平面内所有向量的一组基底，那么下列
5、命题中错误的是(ABD)A已知实数1、2，则向量1e12e2不一定在平面内B对平面内任一向量a，使a1e12e2的实数1，2可以不唯一C若有实数1、2使1e12e2，则120D对平面内任一向量a，使a1e12e2的实数1、2不一定存在解析选项A中，由平面向量基本定理知1e12e2与e1、e2共面，所以A项不正确；选项B中，实数1、2有且仅有一对，所以B项不正确；选项D中，实数1、2一定存在，所以D项不正确；很明显C项正确.3若a，b，则(D)AabBabCa(1)bD解析，()，(1)，.4已知在ABC中，P是BN上的一点.若m，则实数m的值为(C)ABCD解析设，则()()(1)m，解得二、
6、填空题5已知O为ABC内一点，且2，且，若B，O，D三点共线，则实数的值为_3_.解析设点E为边BC的中点，则()，由题意，得，所以()，因此若B，O，D三点共线，则1，即36如图，经过OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设m，n，m，nR，则的值为_3_.解析方法一：设a，b，由题意知()(ab)，nbma，(m)ab，由P，G，Q三点共线得，存在实数，使得，即nbma(m)ab，从而消去，得3方法二：由题意知()()，又P，G，Q三点共线，由三点共线性质定理可知1，即3方法三：(特例)当PQAB时，mn，3三、解答题7设e1，e2是不共线的非零向量，且ae12e2，be13e
7、2(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c3e1e2的分解式；(3)若4e13e2ab，求，的值.解析(1)证明：若a，b共线，则存在R，使ab，则e12e2(e13e2).由e1，e2不共线，得不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底.(2)设cmanb(m，nR)，则3e1e2m(e12e2)n(e13e2)(mn)e1(2m3n)e2c2ab.(3)由4e13e2ab，得4e13e2(e12e2)(e13e2)()e1(23)e2故所求，的值分别为3和18如图所示，在ABC中，M是AB的中点，且，BN与CM相交于点E，设a，b，试用基底a，b表示向量.解析易得b，a，由N，E，B三点共线可知，存在实数m使m(1m)mb(1m)a.由C，E，M三点共线可知，存在实数n使n(1n)na(1n)b.所以mb(1m)ana(1n)b，由于a，b为基底，所以解得所以ab.