1、小题押题 165基本初等函数、函数与方程卷 别 年 份 考题位置 考查内容 全国卷2017选择题第11题指数式与对数式的互化和对数的运算全国卷2013选择题第8题对数的运算与大小比较全国卷2016选择题第6题指数函数与幂函数的大小比较全国卷2012选择题第12题指数函数、对数函数的应用命题规律分析基本初等函数作为高考的命题热点，多单独或与不等式综合考查常以选择、填空形式出现，有时难度较大函数的应用问题集中体现在函数零点个数的判断，零点所在区间等方面近几年全国卷虽较少考查，为做到有备无患，仍需引起足够重视考查点一 基本初等函数的图象与性质1(2016全国卷)已知 a243，b425，c2513，
2、则()Abac BabcCbcaDcab解析：因为 a243，b425245，由函数 y2x 在 R 上为增函数知，ba；又因为 a243423，c2513523，由函数 yx23在(0，)上为增函数知 ac.综上得 bac.答案：A 2(2013全国卷)设 alog36，blog510，clog714，则()Acba BbcaCacb Dabc解析：alog361log32，blog5101log52，clog7141log72，则只要比较 log32，log52，log72 的大小即可，在同一坐标系中作出函数 ylog3x，ylog5x，ylog7x 的图象，由三个图象的相对位置关系，可知
3、 abc.答案：D3(2017全国卷)设 x，y，z 为正数，且 2x3y5z，则()A2x3y5z B5z2x3yC3y5z2x D3y2x1，xlog2k，ylog3k，zlog5k.2x3y2log2k3log3k2logk23logk32logk33logk2logk2logk3logk32logk23logk2logk3 logk98logk2logk30，2x3y；3y5z3log3k5log5k3logk35logk53logk55logk3logk3logk5logk53logk35logk3logk5 logk125243logk3logk50，3y5z；2x5z2log2k
4、5log5k2logk25logk52logk55logk2logk2logk5logk52logk25logk2logk5 logk2532logk2logk52x.5z2x3y.答案：D考查点二 函数的零点判断及应用4(2017全国卷)已知函数 f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则 a()A12B13 C12 D1解析：法一：f(x)x22xa(ex1ex1)(x1)2aex1e(x1)1，令 tx1，则 g(t)f(t1)t2a(etet)1.g(t)(t)2a(etet)1g(t)，函数 g(t)为偶函数f(x)有唯一零点，g(t)也有唯一零点又 g(t)为偶函数，由偶函数
5、的性质知 g(0)0，2a10，解得 a12.法二：由 f(x)0a(ex1ex1)x22x.ex1ex12 ex1ex12，当且仅当 x1 时取“”x22x(x1)211，当且仅当 x1 时取“”若 a0，则 a(ex1ex1)2a，要使 f(x)有唯一零点，则必有 2a1，即 a12.若 a0，则 f(x)的零点不唯一综上所述，a12.答案：C5(2014全国卷)已知函数 f(x)ax33x21，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且 x00，则 a 的取值范围为()A(2，)B(，2)C(1，)D(，1)解析：当 a0 时，f(x)3x21 有两个零点，不符合题意，故 a0.f(x)3ax
6、26x3x(ax2)，令 f(x)0，得 x0 或 x2a，由题意得 a0，解得 a2.答案：B 6(2011全国卷)在下列区间中，函数 f(x)ex4x3 的零点所在的区间为()A.14，0B.0，14C.14，12D.12，34解析：因为 f14 e14 4143e1420，所以 f(x)ex4x3 的零点所在的区间为14，12.答案：C 函数零点问题是难点精析 2 种考法破解它考法(一)函数零点个数的判断及应用1函数的零点及其与方程根的关系对于函数 f(x)，使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 f(x)的零点函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程 f(x)g(x)的根，即函数 yf
7、(x)的图象与函数 yg(x)的图象交点的横坐标2零点存在性定理如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0，那么函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c(a，b)，使得 f(c)0，这个 c 也就是方程 f(x)0 的根题组突破1(2017南昌模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 x0时，f(x)ln xx1，则函数 g(x)f(x)ex(e 为自然对数的底数)的零点个数是()A0 B1C2 D3解析：当 x0 时，f(x)ln xx1，f(x)1x11xx，所以 x(0,1)时 f(x)0，此时 f(x)单调递增；x(1，
8、)时，f(x)0，此时 f(x)单调递减因此，当 x0 时，f(x)maxf(1)ln 1110.根据函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数作出函数 yf(x)与 yex 的大致图象，如图所示，观察到函数 yf(x)与yex 的图象有两个交点，所以函数 g(x)f(x)ex(e 为自然对数的底数)有 2 个零点答案：C 2(2017福州质检)已知 f(x)2x，x2，x13，x2，若函数 g(x)f(x)k有两个零点，则两零点所在的区间为()A(，0)B(0,1)C(1,2)D(1，)解析：在平面直角坐标系内作出函数f(x)的图象如图所示，由图易得若函数g(x)f(x)k 有两个零点，即函数
9、f(x)的图象与直线 yk 有两个交点，则 k 的取值范围为(0,1)，两个零点分别位于(1,2)和(2，)内，故选 D.答案：D 3(2016山东高考)已知函数 f(x)|x|，xm，x22mx4m，xm，其中 m0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_解析：作出 f(x)的图象如图所示当 xm时，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程 f(x)b 有三个不同的根，则4mm2m，即 m23m0.又 m0，解得 m3.答案：(3，)解题方略1函数零点个数判定的 3 种方法(1)解方程：方程 f(x)0 根的个数即为函数 yf(x)零点的个
10、数；(2)定理法：利用函数零点存在性定理及函数的性质判定；(3)图象法：转化为求两函数图象交点的个数问题进行判断解决函数零点问题要把握零点的实质方程的根、函数图象与 x 轴的交点的横坐标判断函数零点个数问题一般要转化为两个函数图象的交点个数来求解2利用函数零点求参数值(范围)的 3 种方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解 解题方略考法(二)函数零点的综合问题典例(1)(2018届高三湘中名校联考)已知函数f(x)13 x3ax2bxc有两个极值点x1，x2，若x1f(x1
11、)x2，则关于x的方程f(x)22af(x)b0的实数根的个数不可能为()A2 B3C4 D5解析 由题意，得 f(x)x22axb.因为 x1，x2 是函数 f(x)的两个极值点，所以 x1，x2 是方程x22axb0的两个实数根，所以由f(x)22af(x)b0，可得 f(x)x1或 f(x)x2.由题意，知函数 f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增，又 x1f(x1)x2，依题意作出简图，如图所示，结合图形可知，方程f(x)22af(x)b0 的实数根的个数不可能为 5，故选 D.答案 D(2)(2017云南玉溪一中月考)已知函数 f(x)是定义在区间2
12、,2上的偶函数，当 0 x2 时，f(x)x22x1，若在区间2,2内，函数 g(x)f(x)kx2k 有三个零点，则实数 k 的取值范围是()A.0，14B.0，12 C.14，12D.14，解析 因为函数 f(x)是定义在区间2,2上的偶函数，且当2x0 时，0 x2，所以 f(x)f(x)(x)22(x)1x22x1.函数 g(x)f(x)kx2k 在2,2内有三个零点，即函数 yf(x)x22x1，0 x2，x22x1，2x0 的图象和直线 yk(x2)在2，2内有三个不同的交点作出函数 yf(x)和 yk(x2)的图象，如图所示直线 yk(x2)过定点 P(2,0)，由图可知 kPA
13、14，kPB12，要使此直线与函数 yf(x)的图象有三个不同的交点，则需满足14k12.故选 C.答案 C解题方略破解有关函数零点综合问题的策略(1)通过导数研究函数的单调性、最值、变化趋势等判断函数的零点、方程的根及图象交点个数的情况(2)利用函数性质，作出图象，借助函数的图象判断函数的零点、方程的根、图象交点个数的情况及参数范围提醒 注意等价转化思想和数形结合思想的运用针对训练1(2017福州模拟)已知函数 f(x)ex，x0，ax，x0，若方程 f(x)f(x)有五个不同的根，则实数 a 的取值范围为()A(，e)B(，1)C(1，)D(e，)解析：因为f(0)f(0)e01，所以x0
14、是方程f(x)f(x)的一个根又方程f(x)f(x)有五个不同的根，即方程exa(x)(x0)有两个不同的根，设过原点且与函数g(x)ex(x0)的图象相切的直线为OP(其中点P(x0，y0)为切点)，则akOP.由g(x)ex，得kOPe0 x y0 x0e0 xx0，解得x01.所以ae，即ae，所以实数a的取值范围为(，e)答案：A2已知 yf(x)是 R 上的偶函数，对于任意的 xR，均有 f(x)f(2x)，当 x0,1时，f(x)(x1)2，则函数 g(x)f(x)log2 017|x1|的所有零点之和为_解析：因为函数 f(x)是偶函数，所以 f(x)f(2x)f(x2)，所以函
15、数 f(x)的周期为 2，又当 x0,1时，f(x)(x1)2，将偶函数 ylog2 017|x|的图象向右平移一个单位长度得到函数 ylog2 017|x1|的图象，由此可在同一平面直角坐标系下作出函数 yf(x)与 ylog2 017|x1|的图象(图略)，函数 g(x)的零点，即为函数 yf(x)与 ylog2 017|x1|图象的交点的横坐标，当 x2 018 时，两函数图象无交点，又两函数图象在1,2 018上有 2 016 个交点，由对称性知两函数图象在2 016,1上也有 2 016 个交点，且它们关于直线 x1 对称，所以函数 g(x)的所有零点之和为 4 032.答案：4 032 “课下练”见“课时跟踪检测（五）”(单击进入电子文档)
