数学苏教版选修4-4学案：知识导航 4-1-1直角坐标系 WORD版含解析.doc

1、4.1 坐标系4.1.1 直角坐标系自主整理1.坐标系是一个_，它是实现_与_互相转化的基础.答案:1.参照系 几何图形 代数形式2.建立坐标系是为了_，在所创建的坐标系中，应满足：任意一点都有_与它对应；反之，依据一个点的坐标就能_.答案:2.确定点的位置 确定的坐标 确定这个点的位置3.在数轴上，直线上所有点的集合与全体实数的集合建立_；在平面直角坐标系中，平面上所有点的集合与_的集合建立一一对应；在空间直角坐标系中，空间所有点的集合与_的集合建立一一对应.确定点的位置就是_.答案:3.一一对应 全体有序实数对（x,y） 全体由三个实数组成的有序实数组（x,y,z） 求出这个点在设定的坐标

2、系中的坐标高手笔记1.坐标系是解析几何的基础.在坐标系中，可以用有序实数对（组）确定点的位置，进而用方程刻画几何图形.为便于用代数的方法刻画几何图形或描述自然现象，需要建立不同的坐标系.2.平面和空间中点的位置都可以用有序数对（组），也就是坐标来刻画，在不同坐标系中，这些数所体现的几何含义不同.同一几何图形在不同坐标系中具有不同的形式.3.坐标系包括直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系等.对于不同类型的几何图形，选用相应的坐标系可以使建立的方程更加简单.如要确定体育馆内一个位置，建立柱坐标系就比较适合，通过柱坐标我们可以比较精确地找到这个位置的所在地.4.坐标法是在坐标系的基础上，把几何问

3、题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法.它是解析几何中最基本的研究方法.例如在平面直角坐标系中，根据确定直线位置的几何要素，我们可以探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系.在空间坐标系中，通过高次方程的计算，使人们对一些星体的轨迹运动和变化规律有所了解和掌握.5.坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.6.坐标法在生活中的应用很广泛，如研究台风、寒流、沙暴中心的运动规律，可以帮助

4、人们预防自然灾害的发生等等.名师解惑1.建立坐标系可以解决哪些问题，它是如何体现数学思想的？剖析：坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上，起过划时代的作用.坐标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁.利用坐标系，我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一个点的位置.它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法应用于几何学的研究. 建立直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问题，如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决.而在其他领域，坐标系与物理、化学等

5、相关学科交织在一起，在日常生活中有着广泛的应用.如飞机航行、炮弹发射问题等等.我们生活中有这样一个例子：教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，那么学生距墙壁多远时看黑板最清楚（即所张的视角最大）？ 我们就可以建立一个平面直角坐标系,运用三角的知识加以解决. 平面直角坐标系是进一步学习函数、三角及其他坐标系的必备基础知识. 我们画函数的图象、定义任意角的三角函数等许多知识都是与坐标系的建立紧密联系的，这就需要我们对各方面的知识扎实掌握，从而能得心应手地解决问题.2.建立直角坐标系的一般规律有哪些？剖析：一般情况下我们有这样一个建立直角坐标系的规律：（1）当题

6、目中有两条互相垂直的直线时,以这两条直线为坐标轴;（2）当题目中有对称图形时，以对称图形的对称轴为坐标轴;（3）当题目中有已知长度的线段时,以线段所在直线为坐标轴，以线段端点或中点为原点.3.利用坐标法解决问题应注意什么？剖析：坐标系建立完后，需仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住曲线上任意点有关的等量关系、所满足的几何条件，列出方程.在将几何条件转化为代数方程的过程中，要注意圆锥曲线定义和初中平面几何知识的应用，还会用到一些基本公式，如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等.另外，在化简过程中，我们要注意运算和变形的合理性与准确性，避免“失解”和“增解”.讲练互动【例题1

7、】如图，在长方体OABCD1A1B1C1中，OA=4，OC=3，OD1=2，AC与OB相交于P点，OB1与BD1相交于点M，建立适当的坐标系，分别写出点P、M的坐标.思路分析：以长方体的一个顶点为坐标原点，过此点的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，进而写出点的坐标.解：如右图，以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OD1为z轴建立空间直角坐标系.O（0，0，0），B（4，3，0）.P为OB中点,P为（,），即P（2，0）.又D1（0，0，2），M为BD1中点，M为（，），即M（2，1）.绿色通道建立坐标系应注意图形的特点，恰当建立往往给解决问题带来很大方便.变式训练1.如图，在棱长为1

8、的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BB1、D1B1的中点，建立适当的坐标系，并求点E、F的坐标.思路分析：建立空间直角坐标系，先作出E、F分别在xOy平面内的射影，由射影确定E、F的横、纵坐标，由垂线段的长确定竖坐标.解：建立如下图所示的空间直角坐标系，则E点在xOy面上的射影为B（1，1，0），且E点的竖坐标为，所以E（1，1，）.F点在xOy面上的射影为BD的中点G，F点的竖坐标为1，所以F（，1）.【例题2】如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得PM=PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方

9、程.思路分析：本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：PM=PN，即PN2=2PN2，结合图形由勾股定理转化为P-1=2(P-1），设P（x,y），由距离公式写出代数关系式，化简整理可得.解：如图，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O1（-2，0），O2（2，0）.设P（x,y），则PM2=PO-MO=（x+2）2+y2-1.同理，PN2=（x-2）2+y2-1.PM=PN，即PM2=2PN2，（x+2）2+y2-1=2（x-2）2+y2-1，即x2-12x+y2+3=0，即（x-6）2+y2

10、=33.这就是动点P的轨迹方程.绿色通道本题考查解析几何中求点的轨迹方程的方法应用，考查建立坐标系、数形结合思想、勾股定理、两点间距离公式等相关知识点及分析推理、计算化简技能、技巧等，是一道很综合的题目.变式训练2.如图，某城市中的高空观览车的高度是100m,在离观览车约150m处有一建筑物，某人在离建筑物100m的地方刚好可以看到观览车，你能根据上述数据求出该建筑物的高度吗？（人的高度不计，眼睛和高空观览车的最低点在同一水平线上，精确到0.01m）思路分析：由已知条件可知，视线与观览车所在圆是相切关系，可以求得视线所在的直线方程，进而求得建筑物的高度.解：首先，以高空观览车的最低点为坐标原点，原点与高空观览车的中心的连线所在直线为y轴，建立直角坐标系（如图）.由此可得圆C的方程为x2+（y-50）2=502.设看到观览车的视线方程为y=k（x-250）.因为直线BT与圆C相切，所以.解得k=0（舍去）或k=.所以直线BT的方程是y=（x-250）.当x=150时，y41.67 m.即建筑物的高度约为41.67 m.