1、同步测控我夯基 我达标1.已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球的半径是( )A. B. C.1 D.2解析:过A、B、C三点的截面中心O，球心为O，则OO平面ABC，设球的半径为R，则OO=d,OA=r,由R2=d2+r2得R2=（）2+（）2,解得R=.答案：B2.正方体的全面积是6a2，它的顶点都在球面上，这个球的半径是（ ）A. B.a C.a D.a解析:正方体的体对角线恰好是球的直径，故3a=2R.R=a.答案：C3.已知球的两个平行截面的面积分别为5和8，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是（ ）A.4 B.3
2、C.2 D.5解析:根据球的截面的性质及已知条件，如图.设OO2=d,则R2=r12+(1+d)2,R2=r22+d2;又r12=5,r22=8,r12=5,r22=8代入，解得d=1,R=3.答案：B4.已知ABC为正三角形，边长为2，PA平面ABC，且PA=2，则三棱锥PABC（如图1.3-9）的外接球半径为（ ）图1.3-9A. B. C. D.解析:ABC为正三角形，故其中心O为A、B、C三点确定的截面截球所得圆面的圆心，如图OA=r=截面圆的直径AQ=2r=.又PA=2,则PQ恰好为球的直径2R，有PQ2=PA2+AQ2，即（2R）2=22+（）2，解得R=.答案：D5.一个与球心距
3、离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的半径为_.解析:如图所示,h=1,r2=r=1,R2=h2+r2=2R=.答案：6.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的半径为_.解析:球心到各点距离相等，球心为AC中点.设球半径为r，AC=5,r=.答案:我综合 我发展7.已知球的表面积为20，球面上有A、B、C三点，如果AB=AC=BC=2，则球心到平面ABC的距离为_.解析:如图所示，设该球的半径为R，则S表=4R2=20，R=.在ABC中，AB=BC=AC=2，得ABC外接圆半径r=2.所求距离为=1.答案：18.设A、B、
4、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是_.解析:由于A、B、C、D在同一平面上且AB=BC=CD=DA=3可推出四边形ABCD为正方形，R2-（）2=（）2R2=6，R=,V=()3=8.答案:89.一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm，则该球的体积是_.解析:R2=32+42，R=5（cm）,V=R3=（cm3）.答案:cm3我创新 我超越10.如图1.3-10，A、B、C是表面积为48的球面上的三点，AB=2，BC=4，ABC=60，O为球心，则直线OA与截面ABC所成角的余弦值为多少？图1.3-10解析:由图可知，BC为A、B、C所在小圆的直径，取BC中点E，连结AE、OE，则OE平面ABC，故OAE为OA与截面ABC所成的角，设为，故cos=，其中OA可由4R2=48得OA=2，AE=2，cos=.11.已知圆O1是半径为R的球O的一个小圆，且圆O1的面积与球O的表面积之比为，则线段OO1与R的比值为多少？解:设SO1=r2,S球表=4R2，如图所示,r=R.OO12=R2-r2,OO12=R2-R2.
