1、第十章 第八节一、选择题1某机械零件加工由 2 道工序组成，第 1 道工序的废品率为 a，第 2 道工序的废品率为b，假定这 2 道工序出废品的概率彼此无关，那么产品的合格率是()Aabab1 B1abC1ab D12ab答案 A解析 由于第一道工序与第二道工序出废品的概率彼此无关，故产品的合格率为 p(1a)(1b)abab1.2(2013山西模拟)某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是12，构造数列an，使得an1 第n次抛掷时出现正面1 第n次抛掷时出现反面，记 Sna1a2an(nN*)，则 S42 的概率为()A 116 B18 C14 D12答案 C解析“S42”的含义是 a1，a
2、2，a3，a4 中有 3 个等于 1，一个等于1，即 4 次抛掷硬币中有 3 次出现正面，所求概率 PC34(12)31214.3(2014新课标全国理)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A0.8 B0.75 C0.6 D0.45答案 A解析 本题考查条件概率的求法设 A“某一天的空气质量为优良”，B“随后一天的空气质量为优良”，则P(B|A)PABPA 0.60.750.8，故选 A4(2014河南豫北六校联考)设 是服从二项分布 B(n，p)的随机变量，又 E(
3、)15，D()454，则 n 与 p 的值分别为()A60，34 B60，14C50，34 D50，14答案 B解析 由 B(n，p)，得 E()np15，D()np(1p)454，p14，n60.5设口袋中有黑球、白球共 7 个，从中任取 2 个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为()A3 B4 C5 D2答案 A解析 设白球 x 个，则黑球 7x 个，取出的 2 个球中所含白球个数为，则 取值 0,1,2，P(0)C27xC27 7x6x42，P(1)C1xC17xC27x7x21，P(2)C2xC27xx142，07x6x421x7x212xx14267，x3.6
4、设两个相互独立事件 A、B 都不发生的概率为19，则 A 与 B 都发生的概率的取值范围是()A0，89 B19，59C23，89 D0，49答案 D解析 设事件 A、B 发生的概率分别为 P(A)x，P(B)y，则 P(A B)P(A)P(B)(1x)(1y)191xy19xy192 xy.当且仅当 xy 时取“”，xy23或 xy43(舍)，0 xy49.P(AB)P(A)P(B)xy0，49二、填空题7同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数是 3 的倍数”为事件 A，“两颗骰子的点数和大于 8”为事件 B，则 P(B|A)_.答案 512解析 因为“红骰子向
5、上的点数是 3 的倍数”的事件为 A，“两颗骰子的点数和大于 8”的事件为 B，用枚举法可知 A 包含的基本事件为 12 个，A、B 同时发生的基本事件为 5 个，即(3,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)所以 P(B|A)512.8已知随机变量 只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差 d 的取值范围是_答案 13，13解析 由条件知，Px3Px12Px2，Px1Px2Px31.P(x2)13，P(xi)0，公差 d 取值满足13d13.9(2014浙江嘉兴测试)某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设 3 道题，每道题答对给 10 分，答错倒扣 5 分
6、(每道题都必须回答，但相互不影响)设某学生对每道题答对的概率为34，则该学生在面试时得分的期望为_答案 754解析 由题得，该学生有可能答对 0,1,2,3 道，所以得分可能为15,0,15,30.根据独立试验同时发生的概率计算公式可得，得分 的可能值为15,0,15,30 对应的概率分别为 P(15)C33(134)3(34)0 164，P(0)C23(134)2(34)1 964，P(15)C13(134)1(34)22764，P(30)C03(134)0(34)32764.所以期望为 E()(15)1640 964152764302764754.三、解答题10(2014江苏)盒中共有 9
7、 个球，其中有 4 个红球，3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完全相同(1)从盒中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率 P；(2)从盒中一次随机取出 4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为 x1，x2，x3，随机变量 X 表示 x1，x2，x3 的最大数，求 X 的概率分布和数学期望 E(X)分析(1)考虑到“2 个球颜色相同”可分为 3 种情况：“同为红球”“同为黄球”“同为绿球”，故可用互斥事件的概率公式，结合排列组合及古典概型求得结果；(2)先分析 4 个球中各类球的个数情况，确定 X 的所有可能的取值，然后利用超几何分布求出各个概率值，列出表格即得 X 的
8、概率分布，最后根据数学期望的定义计算求得结果解析(1)取到 2 个颜色相同的球可能是 2 个红球、2 个黄球或 2 个绿球，所以 PC24C23C22C2963136 518.(2)随机变量 X 所有可能的取值为 2,3,4.X4表示的随机变量是“取到的 4 个球是 4 个红球”，故 P(X4)C44C49 1126；X3表示的随机变量是“取到的 4 个球是 3 个红球和 1 个其他颜色的球，或 3 个黄球和 1 个其他颜色的球”，故 P(X3)C34C15C33C16C49206126 1363；于是 P(X2)1P(X3)P(X4)11363 11261114.所以随机变量 X 的概率分布
9、如下表：X234P111413631126因此随机变量 X 的数学期望 E(X)21114313634 1126209.一、解答题11(2013江西理，18)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队游戏规则为：以 O 为起点，再从 A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这 8 个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为 X.若 X0 就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求 X 的分布列和数学期望解析(1)从 8 个点中任取两点为向量终点的不同取法共有 C2828 种X0 时，两向量夹角为直角，共有 8 种情
10、形，所以小波参加学校合唱团的概率为 P(X0)82827.(2)两向量数量积 X 的所有可能取值为2，1,0,1，X2 时，有 2 种情形；X1 时，有 8 种情形；X1 时，有 10 种情形所以 X 的分布列为：X2101P1145142727E(X)(2)114(1)514027127 314.12(2014湖北理)计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水库年入流量 X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和单位：亿立方米)都在 40 以上其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120的年份有
11、 5 年将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立(1)求未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制，并有如下关系：年入流量 X40X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为 5000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损 800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？分析(1)根据题中所给数据分别求出不同年入流量对应的不同概率用样本估计总体的方法估计未来的年入流量因各年的年入流量相互独立，可利用二项分布求出至多有
12、 1 年的年入流量超过 120 的概率(2)分别求出安装 1 台，2 台，3 台发电机时，水电站年总利润的数学期望，比较它们的期望值，选择最佳方案解析(1)依题意，p1P(40X120)5500.1.由二项分布，在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为pC04(1p3)4C34(1p3)3p3(910)44(910)3(110)0.9477.(2)记水电站年总利润为 Y(单位：万元)安装 1 台发电机的情形，由于水库年入流量总大于 40，故一台发电机运行的概率为 1，对应的年利润 Y5000，E(Y)500015000安装 2 台发电机的情形，依题意，当 40X80 时，
13、一台发电机运行，此时 Y50008004200，因此 P(Y4200)P(40X80)p10.2；当 X80 时，两台发电机运行，此时 Y5000210000，因此 P(Y10000)P(Y80)p2p30.8，因此得 Y 的分布列如下Y420010000P0.20.8所以，E(Y)42000.2100000.88840.安装 3 台发电机的情形，依题意，当 40X80 时，一台发电机运行，此时 Y500016003400，因此 P(Y3400)P(40X120 时，三台发电机运行，此时 Y5000315000，因此 P(Y15000)P(X120)P10.1，由此得 Y 的分布列如下Y340
14、0920015000P0.20.70.1所以，E(Y)34000.292000.7150000.18620.综上，欲使水电年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台13(2014唐山二模)甲向靶子 A 射击两次，乙向靶子 B 射击一次甲每次射击命中靶子的概率为 0.8，命中得 5 分；乙命中靶子的概率为 0.5，命中得 10 分(1)求甲、乙二人共命中一次目标的概率；(2)设 X 为二人得分之和，求 X 的分布列和期望解析(1)记事件“甲、乙二人共命中一次”为 A，则P(A)C120.80.20.50.220.50.18.(2)X 的可能取值为 0,5,10,15,20.P(X0)0.220
15、.50.02，P(X5)C120.80.20.50.16，P(X10)0.820.50.220.50.34，P(X15)C120.80.20.50.16，P(X20)0.820.50.32.X 的分布列为X05101520P0.020.160.340.160.32X 的期望为E(X)00.0250.16100.34150.16200.3213.14(2013山东烟台一模)从参加某次高三数学摸底考试的同学中，选取 60 名同学将其成绩(百分制，均为整数)分成 6 组后，得到部分频率分布直方图(如图)，观察图形中的信息，回答下列问题(1)补全这个频率分布直方图，并估计本次考试的平均分；(2)若从
16、60 名学生中随机抽取 2 人，抽到的学生成绩在40,70)记 0 分，在70,100记 1 分，用 X 表示抽取结束后的总得分，求 X 的分布列和数学期望解析(1)设分数在70,80)内的频率为 x，根据频率分布直方图，则有(0.010.01520.0250.005)10 x1，可得 x0.3，所以频率分布直方图如图所示平均分为：x450.1550.15650.15750.3850.25950.0571.(2)学生成绩在40,70)的有(0.010.0152)106024 人，在70,100的有(0.030.0250.005)106036 人，并且 X 的所有可能取值是 0,1,2.则 P(
17、X0)C224C260 46295；P(X1)C124C136C260 144295；P(X2)C236C260105295.所以 X 的分布列为X012P46295144295105295E(X)0 4629511442952105295354295.15(2014陕西理)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1000 元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求 X 的分布列；(2)若在这块地上连续 3 季
18、种植此作物，求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于2000 元的概率分析(1)先设出基本事件，可知有四种可能，利用所给数据，结合独立事件的概率计算公式，可分别计算出结果，进而列出分布列(2)利用(1)问的结果，可求得每季利润不少于 2000 元的概率，则 3 季利润至少有 2 季不少于 2000 元可分为两类，一是 3 季利润均不少于 2000 元，二是 3 季中有 2 季利润不少于 2000元，分别利用独立重复试验的概率计算公式计算出概率，可得出结论解析(1)设 A 表示事件“作物产量为 300kg”，B 表示事件“作物市场价格为 6 元/kg”，由题设知 P(A)0.5，P(B)0.4，
19、利润产量市场价格成本，X 所有可能的取值为5001010004000,500610002000，3001010002000,30061000800，P(X4000)P(A)P(B)(10.5)(10.4)0.3，P(X2000)P(A)P(B)P(A)P(B)(10.5)0.40.5(10.4)0.5，P(X800)P(A)P(B)0.50.40.2，所以 X 的分布列为X40002000800P0.30.50.2(2)设 Ci 表示事件“第 i 季利润不少于 2000 元”(i1,2,3)，由题意知 C1，C2，C3 相互独立，由(1)知，P(Ci)P(X4000)P(X2000)0.30.
20、50.8(i1,2,3)，3 季的利润均不少于 2000 元的概率为P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)0.830.512；3 季中有 2 季利润不少于 2000 元的概率为P(C1C2C3)P(C1 C2C3)P(C1C2 C3)30.820.20.384，所以，这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率为05120.3840.896.点评 解决概率问题的步骤第一步，确定事件的性质：古典概型、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验，把所给问题归结为某一种第二步，判断事件的运算(和事件、积事件)，确定事件至少有一个发生还是同时发生等等第三步，运用公式求概率古典概型 P(A)mn；互斥事件 P(AB)P(A)P(B)；条件概率 P(B|A)PABPA；独立事件 P(AB)P(A)P(B)；n 次独立重复试验：P(Xk)Cknpk(1p)nk.