数学苏教版选修2-2互动课堂 1.DOC

1、互动课堂疏导引导 本课时的重点是函数的最大(小)值与导数的关系;难点是准确、深刻地理解函数最值的概念,揭示函数最值与极值的区别与联系.1.(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.(2)闭区间上的连续函数一定有最值,开区间内的可导函数不一定有最值.若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值.(4)如果函数在闭区间a,b上可导,则确定函数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不

2、可导的点处的值.(5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较.2.函数f(x)在a,b上连续是使f(x)有最大值与最小值的充分而不必要条件. 对“在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值和最小值”应如下理解:(1)给定函数的区间必须是闭区间，即f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值和最小值.(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点亦不能保证f(x)有最大值和最小值.3.求连续函数f(x)在闭区间a,b上的最大值和最小值的一般步骤是：(1)求函数f(x)在开区间(a,b)内

3、的极值；(2)求函数f(x)在区间端点的值f(a)、f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.4.函数的最值与极值不是同一个概念，若函数在闭区间a,b内有多个极值时，则最值为极值与端点处的函数值相比较得到;若连续函数f(x)在a,b上只有一个导数为零的点且在该点取得极大(小)值,那么这个极大(小)值就是最大(小)值.案例 (2005北京高考)已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的单调减区间；(2)若f(x)在区间-2,2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.【探究】(1)f(x)=-3x2+6x+9.

4、令f(x)0,解得x-1或x3，所以函数f(x)的单调递减区间为(-,-1),(3,+).(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a，f(2)=-8+12+18+a=22+a, 所以f(2)f(-2). 因为在(-1,3)上f(x)0，所以f(x)在-1,2上单调递增，又由于f(x)在-2,-1上单调递减，因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间-2,2上的最大值和最小值. 于是有22+a=20,解得a=-2. 故f(x)=-x3+3x2+9x-2.因此f(-1)=1+3-9-2=-7， 即函数f(x)在区间-2,2上的最小值为-7.【规律总结】函数求导的方法研究函数的单调性及最值问

5、题近几年高考试题中屡屡出现，成为热门题型.要熟练掌握各种常见函数的求导方法及研究单调、最值的基本思路.活学巧用1.给出下面四个命题：(1)函数y=x2-5x+4(-1x1)的最大值为10,最小值为;(2)函数y=2x2-4x+1(-2x4)的最大值为17,最小值为-1；(3)函数y=x3-12x(-3x3)的最大值为16，最小值为-16；(4)函数y=x3-12x(-2x2)既无最大值，也无最小值.其中正确命题的个数有( )A.1 B.2 C.3 D.4解析：(1)y=2x-5，令y=0,得x=，但x-1,1，舍去，又函数f(x)在区间的端点值为f(-1)=10,f(1)=0.f(x)max=

6、10,f(x)min=0，(1)错误.(2)f(x)=4x-4,令f(x)=0,得x=1. 若x(1,4),则f(x)0, 若x(-2,1)，则f(x)0.x=1是函数f(x)的极小值点，也是函数f(x)的最小值.f(x)min=f(1)=-1. 可知f(x)无最大值.(2)错误.(3)f(x)=3x2-12=3(x2-4), 令f(x)=0,得x=-2，或x=2.x=2和x=-2是函数f(x)的极值点，且f(2)=23-24=-16,f(-2)=-23+24=-16. 又f(3)=-9,f(-3)=9，其图象如图所示.f(x)max=f(-2)=16,f(x)min=f(2)=-16.(4)

7、f(x)=3x2-12=3(x2-4).令f(x)=0,得x=2或x=-2，但x(-2,2),上述方程无解.函数f(x)在(-2,2)上既无最大值，也无最小值.答案：B2.已知f(x)=x3+ax2+bx+c，在x=与x=1时,都取得极值.(1)求a、b的值，及单调区间;(2)若对x-1,2,f(x)c2恒成立，求c的取值范围.解析：(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,则f(x)=3x2+2ax+b. 由f()=0,f(1)=3+2a+b=0，得a=,b=-2.f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表：x(-,)(,1)1(1,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值 所以函数f(x)的递增区间为(-,)与(1,+)；递减区间为(,1).(2)f(x)=x3-2x+c,x-1,2， 当x=时，f()=为极大值. 而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值. 要使f(x)c2(x-1,2)恒成立， 只需c2f(2)=2+c,解得c-1或c2. 故c的取值范围是(-,-1)(2,+)