1、2020-2021学年天津一中九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（共12小题，每题3分）1二次函数y（x2）2+3的图象的顶点坐标是（）A（2，3）B（2，3）C（2，3）D（2，3）2与y2x2+3x+1形状相同的抛物线解析式为（）Ay1+x2By（2x+1）2Cy（x1）2Dy2x23用配方法解方程x2+8x+70，则配方正确的是（）A（x+4）29B（x4）29C（x8）216D（x+8）2574若x2是关于x的一元二次方程x2ax+a20的一个根，则a的值为（）A1或4B1或4C1或4D1或45已知关于x的一元二次方程x2+ax+b0有一个非零根b，则a+b的值为（）A1B1C0
2、D一26把抛物线有y2（x1）2+3的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（）Ay2（x1）2+6By2（x1）26Cy2（x+1）2+6Dy2（x+1）267某种细胞分裂，一个细胞经过两轮分裂后，共有a个细胞，设每轮分裂中平均一个细胞分裂成n个细胞，那么可列方程为（）An2aB（1+n）2aC1+n+n2aDn+n2a8若实数ab，且a，b满足a28a+50，b28b+50，则代数式的值为（）A20B2C2或20D2或209当2x1时，二次函数y（xm）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）AB或C2或D2或或10已知抛物线yax2+bx+c（a0）的对称
3、轴为x1，与x轴的一个交点为（2，0）若关于x的一元二次方程ax2+bx+cp（p0）有整数根，则p的值有（）A2个B3个C4个D5个11二次函数y1ax2+bx+c（a，b，c为常数）的图象如图所示，若y1+y22，则下列关于函数y2的图象与性质描述正确的是（）A函数y2的图象开口向上B函数y2的图象与x轴没有公共点C当x2时，y2随x的增大而减小D当x1时，函数y2的值小于012如图，抛物线yax2+bx+c（a0）过点（1，0）和点（0，3），且顶点在第四象限，设Pa+b+c，则P的取值范围是（）A3P1B6P0C3P0D6P3二填空题（共6小题，每题3分）13将抛物线yx2+2x1绕其
4、顶点旋转180后，所得到的新的抛物线的解析式为 14已知抛物线yax22ax+c与x轴一个交点的坐标为（1，0），则一元二次方程ax22ax+c0的根为 15在平面直角坐标系xOy中，函数yx2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若4x12，0x22，则y1，y2的大小关系是：y1 y216已知二次函数y2x2+bx+4顶点在x轴上，则b 17如图，抛物线yax2+c与直线ymx+n交于A（1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+cn的解集是 18对于实数p，q，且（pq），我们用符号minp，q表示p，q两数中较小的数，如min1，21，若min（x1）2，x23，
5、则x 三解答题（共7小题）19（8分）已知抛物线的顶点坐标为（2，4），它与x轴的一个交点的横坐标为1（1）求抛物线的解析式；（2）当x为何值时，y随x的增大而增大20（8分）今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前新进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10个，问应将每个口罩涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元？21（8分）抛物线y1x2+bx+c与直线y22x+m相交于A（2，n）、B（2，3）两点（1）求这条抛物线的解析式；（2）若4x1，求y22y1的取值范围22（8分）已知抛
6、物线yx2mx+2m1过定点H（1）求出H的坐标（2）若抛物线经过点A（0，1），求证：该抛物线恒在直线y2x1上方23（10分）如图，在梯形ABCD中，ADBC（BCAD），D90，BCCD12，ABE45，若AE10求CE的长度24（12分）已知抛物线经过A（4，0），B（0，4），C（2，0）三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线yx上的动点，使得点P、Q、B、O的四边形为平行四边形，求Q的坐标25（12分）已知抛物线yx2+bx3（b是常数）
7、经过点A（1，0）（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P当点P落在该抛物线上时，求m的值；当点P落在第二象限内，PA2取得最小值时，求m的值2020-2021学年天津一中九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每题3分）1二次函数y（x2）2+3的图象的顶点坐标是（）A（2，3）B（2，3）C（2，3）D（2，3）【分析】根据顶点式可直接写出顶点坐标【解答】解：抛物线解析式为y（x2）2+3，二次函数图象的顶点坐标是（2，3）故选：A2与y2x2+3x+1形状相同的抛物线解析式为（）Ay1+x2By（2
8、x+1）2Cy（x1）2Dy2x2【分析】抛物线的形状只是与a有关，|a|2，形状就相同【解答】解：根据题意a2故选：D3用配方法解方程x2+8x+70，则配方正确的是（）A（x+4）29B（x4）29C（x8）216D（x+8）257【分析】本题可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式【解答】解：x2+8x+70，x2+8x7，x2+8x+167+16，（x+4）29故选：A4若x2是关于x的一元二次方程x2ax+a20的一个根，则a的值为（）A1或4B1或4C1或4D1或4【分析】将x2代入关
9、于x的一元二次方程x2ax+a20，再解关于a的一元二次方程即可【解答】解：x2是关于x的一元二次方程x2ax+a20的一个根，4+5a+a20，（a+1）（a+4）0，解得a11，a24，故选：B5已知关于x的一元二次方程x2+ax+b0有一个非零根b，则a+b的值为（）A1B1C0D一2【分析】根据一元二次方程的解的定义，把xb代入x2+ax+b0得b2+ab+b0，然后把等式两边除以b即可【解答】解：把xb代入x2+ax+b0得b2+ab+b0，而b0，所以b+a+10，所以a+b1故选：B6把抛物线有y2（x1）2+3的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式
10、是（）Ay2（x1）2+6By2（x1）26Cy2（x+1）2+6Dy2（x+1）26【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标间，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可【解答】解：抛物线y2（x1）2+3的顶点坐标为（1，3），向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的顶点坐标是（1，6）所得抛物线解析式是y2（x+1）2+6故选：C7某种细胞分裂，一个细胞经过两轮分裂后，共有a个细胞，设每轮分裂中平均一个细胞分裂成n个细胞，那么可列方程为（）An2aB（1+n）2aC1+n+n2aDn+n2a【分析】第一轮分裂成n个细胞，第二轮分裂成nnn2个细
11、胞，结合题意可得答案【解答】解：设每轮分裂中平均一个细胞分裂成n个细胞，那么可列方程为n2a，故选：A8若实数ab，且a，b满足a28a+50，b28b+50，则代数式的值为（）A20B2C2或20D2或20【分析】由于实数ab，且a，b满足a28a+50，b28b+50，则a，b可看着方程x28x+50的两根，根据根与系数的关系得a+b8，ab5，然后把通分后变形得到，再利用整体代入的方法计算【解答】解：a，b满足a28a+50，b28b+50，a，b可看着方程x28x+50的两根，a+b8，ab5，20故选：A9当2x1时，二次函数y（xm）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）AB或
12、C2或D2或或【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可【解答】解：二次函数的对称轴为直线xm，m2时，x2时二次函数有最大值，此时（2m）2+m2+14，解得m，与m2矛盾，故m值不存在；当2m1时，xm时，二次函数有最大值，此时，m2+14，解得m，m（舍去）；当m1时，x1时二次函数有最大值，此时，（1m）2+m2+14，解得m2，综上所述，m的值为2或故选：C10已知抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴为x1，与x轴的一个交点为（2，0）若关于x的一元二次方程ax2+bx+cp（p0）有整数根，则p的值有（）A2个B3个C4个D5个【分析】根据题意可知一元二次方程的根应为整数
13、ax2+bx+cp（p0），通过抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴为x1，与x轴的一个交点为（2，0）可以画出大致图象判断出直线yp（0p9a），观察图象当0y9a时，抛物线始终与x轴相交于（4，0）于（2，0）故自变量x的取值范围为4x2所以x可以取得整数3，2，1，0，1，共5个由于x3与x1，x2与x0关于对称轴直线x1对称，所以于x3与x1对应一条平行于x轴的直线，x2与x1对应一条平行于x轴的直线，x1时对应一条平行于x轴且过抛物线顶点的直线，从而确定yp时，p的值应有3个【解答】解：抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴为x11，解得b2a又抛物线yax2+bx+c（a0）
14、与x轴的一个交点为（2，0）把（2，0）代入yax2+bx+c得，04a+4a+c解得，c8ayax2+2ax8a（a0）对称轴h1，最大值k9a如图所示，顶点坐标为（1，9a）令ax2+2ax8a0即x2+2x80解得x4或x2当a0时，抛物线始终与x轴交于（4，0）与（2，0）ax2+bx+cp即常函数直线yp，由p00y9a由图象得当0y9a时，4x2，其中x为整数时，x3，2，1，0，1一元二次方程ax2+bx+cp（p0）的整数解有5个又x3与x1，x2与x0关于直线x1轴对称当x1时，直线yp恰好过抛物线顶点所以p值可以有3个故选：B11二次函数y1ax2+bx+c（a，b，c为常
15、数）的图象如图所示，若y1+y22，则下列关于函数y2的图象与性质描述正确的是（）A函数y2的图象开口向上B函数y2的图象与x轴没有公共点C当x2时，y2随x的增大而减小D当x1时，函数y2的值小于0【分析】y2是y1关于x轴对称后向上平移两个单位得到的，由可以看出a0，0，利用函数的性质即可求解；【解答】解：y1+y22，y22y12ax2bxcax2bxc+2，由可以看出a0，0，y2开口向下；b24ac0，b24a（c2）b24ac+8a，无法端点的取值情况；y2是y1关于x轴对称后向上平移两个单位得到的，从图象看，当x2时，y1随x的增大而减小，y2随x的增大而减小；当x1时，0y11
16、，当x1时，1y22；故选：C12如图，抛物线yax2+bx+c（a0）过点（1，0）和点（0，3），且顶点在第四象限，设Pa+b+c，则P的取值范围是（）A3P1B6P0C3P0D6P3【分析】利用二次函数图象的开口方向和对称轴求出a0，b0，a+b+c3，把x1代入求出ba3，把x1代入得出Pa+b+c2a6，求出2a6的范围即可【解答】解：抛物线yax2+bx+c（c0）过点（1，0）和点（0，3），0ab+c，3c，ba3，当x1时，yax2+bx+ca+b+c，Pa+b+ca+a332a6，顶点在第四象限，a0，ba30，a3，0a3，62a60，即6P0故选：B二填空题（共6小题，
17、每题3分）13将抛物线yx2+2x1绕其顶点旋转180后，所得到的新的抛物线的解析式为yx22x3【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，将其绕顶点旋转180后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，可据此得出所求的结论【解答】解：yx2+2x1，（x2+2x+1）2，（x+1）22，将原抛物线绕顶点旋转180后，得y（x+1）22，即：yx22x3，故答案为：yx22x314已知抛物线yax22ax+c与x轴一个交点的坐标为（1，0），则一元二次方程ax22ax+c0的根为1，3【分析】将x1，y0代入抛物线的解析式可得到c3a，然后将c3a代入方程，最后利用因式分解法求解即可【解
18、答】解法一：将x1，y0代入yax22ax+c得：a+2a+c0解得：c3a将c3a代入方程得：ax22ax3a0a（x22x3）0a（x+1）（x3）0x11，x23解法二：已知抛物线的对称轴为x1，又抛物线与x轴一个交点的坐标为（1，0），则根据对称性可知另一个交点坐标为（3，0）；故而ax22ax+c0的两个根为1，3故答案为：1，315在平面直角坐标系xOy中，函数yx2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若4x12，0x22，则y1，y2的大小关系是：y1y2【分析】通过比较点M和点N到y轴的距离的远近判断y1与y2的大小【解答】解：抛物线yx2的开口向上，对称轴为y
19、轴，而M（x1，y1）到y轴的距离比N（x2，y2）点到y轴的距离要远或者相同，所以y1y2故答案为16已知二次函数y2x2+bx+4顶点在x轴上，则b4【分析】根据二次函数y2x2+bx+4顶点在x轴上，可知顶点的坐标为0，即可得到0，从而可以得到b的值【解答】解：二次函数y2x2+bx+4顶点在x轴上，0，解得b，故答案为：417如图，抛物线yax2+c与直线ymx+n交于A（1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+cn的解集是x3或x1【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论【解答】解：抛物线yax2+c与直线ymx+n交于A（1，p），B（3，q）两点，抛物线yax
20、2+c与直线ymx+n交于（1，p），（3，q）两点，观察函数图象可知：当x3或x1时，直线ymx+n在抛物线yax2+c的下方，不等式ax2+cmx+n的解集为x3或x1，即不等式ax2+mx+cn的解集是x3或x1故答案为：x3或x118对于实数p，q，且（pq），我们用符号minp，q表示p，q两数中较小的数，如min1，21，若min（x1）2，x23，则x或1+【分析】分若x2（x1）2，若（x1）2x2讨论，列出方程，并检验，可得x的值【解答】解：若x2（x1）2，则min（x1）2，x2（x1）23，x1+1，x2（不合题意舍去），若（x1）2x2，则min（x1）2，x2x23
21、，x1（不合题意舍去），x2故答案为：或1+三解答题（共7小题）19（8分）已知抛物线的顶点坐标为（2，4），它与x轴的一个交点的横坐标为1（1）求抛物线的解析式；（2）当x为何值时，y随x的增大而增大【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式ya（x2）24，然后把（1，0）代入求出a即可；（2）利用二次函数的性质求解【解答】解：（1）设抛物线的解析式为ya（x2）24，把（1，0）代入得a（12）240，解得a4，所以抛物线的解析式为y4（x2）24；（2）当x2时，y随x的增大而增大20（8分）今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前新进了一批口罩，若按每
22、个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10个，问应将每个口罩涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元？【分析】设应将每个口罩涨价x元，则每天可售出（20010）件，根据总利润每个的利润销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论【解答】解：设应将每个口罩涨价x元，则每天可售出（20010）件，依题意，得：（1+x）（20010）480，化简，得：x29x+140，解得：x12，x27又要让顾客得到实惠，x2答：应将每个口罩涨价2元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元21（8分）抛物线y1x2+bx+c与
23、直线y22x+m相交于A（2，n）、B（2，3）两点（1）求这条抛物线的解析式；（2）若4x1，求y22y1的取值范围【分析】（1）把B的坐标代入直线y22x+m求得m的值，然后代入A（2，n）求得n的值，最后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）求得y22y12x2+2x+7，即可求得最大值，代入x4的求得所对应的函数值，即可求得结果【解答】解：（1）将B（2，3）代入直线y22x+m得，34+m，解得m1，直线y22x+1，直线y22x+1经过点A（2，n），n4+15；抛物线y1x2+bx+c过点A和点B，解得，y1x22x3（2）y22y12x+12（x22x3）2x2+2x+7
24、，对称轴为直线x，y22y1的最大值是：2+2+7，当x4时，y22y12x2+2x+733，若4x1，y22y1的取值范围是33y22y122（8分）已知抛物线yx2mx+2m1过定点H（1）求出H的坐标（2）若抛物线经过点A（0，1），求证：该抛物线恒在直线y2x1上方【分析】（1）把解析式yx2mx+2m1整理成y（x2）（x+2m）+3，即可求得H的坐标；（2）把（0，1）代入yx2mx+2m1求得m2，设y1x2x+1，y22x+1，计算y1y20即可证明结论成立【解答】解：（1）yx2mx+2m1x24m（x2）+3（x+2）（x2）m（x2）+3（x2）（x+2m）+3，抛物线y
25、x2mx+2m1必过定点（2，3），故H的坐标为（2，3）；（2）证明：抛物线经过点A（0，1），2m11，解得m1，抛物线yx2x+1，设y1x2x+1，y22x1，则y1y2（x2x+1）（2x1）x2+x+2（x+）2+0，y1y2，该抛物线恒在直线y2x1上方23（10分）如图，在梯形ABCD中，ADBC（BCAD），D90，BCCD12，ABE45，若AE10求CE的长度【分析】过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MGCE，连接BG求证BECBMG，ABEABG，设CEx，在直角ADE中，根据AE2AD2+DE2求x的值，可以求CE的长度【解答】解：过B作D
26、A的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MGCE，连接BG，易知四边形BCDM是正方形，则BEC与BGM中，BECBMG（SAS），MBGCBE，BEBG，ABE45，CBE+ABMMBG+ABM45，即ABEABG45，在ABE与ABG中，ABEABG（SAS），AGAE10，设CEx，则AM10x，AD12（10x）2+x，DE12x，在RtADE中，AE2AD2+DE2，100（x+2）2+（12x）2，即x210x+240；解得：x14，x26故CE的长为4或624（12分）已知抛物线经过A（4，0），B（0，4），C（2，0）三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第
27、三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线yx上的动点，使得点P、Q、B、O的四边形为平行四边形，求Q的坐标【分析】（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式（2）设出M点的坐标，利用SSAOM+SOBMSAOB即可进行解答；（3）当OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合【解答】解：（1）设此抛物线的函数解析式为：yax2+bx+c（a0）将A（4，0），B（0，4），C（2，0）三点代入函数解析式得：
28、，解得，所以此函数解析式为：yx2+x4（2）如图所示：M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，M点的坐标为：（m，），SSAOM+SOBMSAOB4（m2m+4）+4（m）44m22m+82m8m24m，（m+2）2+4，4m0，当m2时，S有最大值为：S4+84答：m2时S有最大值S4（3）设P（x，x2+x4）当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQOB，且PQOB，Q的横坐标等于P的横坐标，又直线的解析式为yx，则Q（x，x）由PQOB，得|x（x2+x4）|4，解得x0，4，22x0不合题意，舍去如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP4四边形PBQO为平行四边形则BQOP4，
29、Q横坐标为4，代入yx得出Q为（4，4）由此可得Q（4，4）或（2+2，22）或（22，2+2）或（4，4）25（12分）已知抛物线yx2+bx3（b是常数）经过点A（1，0）（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P当点P落在该抛物线上时，求m的值；当点P落在第二象限内，PA2取得最小值时，求m的值【分析】（1）把A点坐标代入抛物线解析式可求得b的值，则可求得抛物线解析式，进一步可求得其顶点坐标；（2）由对称可表示出P点的坐标，再由P和P都在抛物线上，可得到关于m的方程，可求得m的值；由点P在第二象限，可求得t的取值范围，利用两点间距离
30、公式可用t表示出PA2，再由点P在抛物线上，可以消去m，整理可得到关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其取得最小值时t的值，则可求得m的值【解答】解：（1）抛物线yx2+bx3经过点A（1，0），01b3，解得b2，抛物线解析式为yx22x3，yx22x3（x1）24，抛物线顶点坐标为（1，4）；（2）由P（m，t）在抛物线上可得tm22m3，点P与P关于原点对称，P（m，t），点P落在抛物线上，t（m）22（m）3，即tm22m+3，m22m3m22m+3，解得m或m；由题意可知P（m，t）在第二象限，m0，t0，即m0，t0，抛物线的顶点坐标为（1，4），4t0，P在抛物线上，tm22m3，m22mt+3，A（1，0），P（m，t），PA2（m+1）2+（t）2m22m+1+t2t2+t+4（t+）2+；当t时，PA2有最小值，m22m3，解得m或m，m0，m不合题意，舍去，m的值为
