1、第五章 一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义5.1.1 变化率问题 必备知识自主学习导思1.什么是平均速度?什么是瞬时速度?两者有何联系?2什么是割线的斜率?什么是切线的斜率?两者有何联系?1.变化率对于高台跳水中运动员的重心相对水面的高度 h(单位:m)与起跳后的时间 t(单位:s)的函数 yh(t).(1)平均速度在 t1tt2 这段时间里的平均变化率:时间的改变量:t_高度的改变量:y_平均变化率 yt _t2t1h(t2)h(t1)h(t2)h(t1)t2t1(2)瞬时速度瞬时速度:物体在_的速度称为瞬时速度极限:函数 h(t)在 t2 处的瞬时速度是函数 h(t)从 2
2、到 2t 的平均变化率在t0 时的极限,即limt0yt _某一时刻limt0h(2t)h(2)t(1)t,y 以及平均变化率一定为正值吗?提示:t,y 可正可负,y 也可以为零,但 t 不能为零,平均变化率yt 可正可负可为零(2)函数平均变化率的几何意义提示:如图所示,函数 f(x)在区间x1,x2上的平均变化率,就是直线 AB 的斜率,其中 A(x1,f(x1),B(x2,f(x2),事实上 kABf(x2)f(x1)x2x1yx.(3)物体的平均速度能反映它在某一时刻的瞬时速度吗?提示:不能,物体的瞬时速度是指某一时刻的速度,而平均速度是指某一段时间或一段路程的速度2抛物线的切线的斜率
3、(1)割线的斜率:设 P0(2,f(2),P(2x,f(2x)是抛物线 yf(x)上任意不同两点,则割线 P0P 的斜率为f(2x)f(2)2x2f(2x)f(2)x.(2)过点 P0(2,f(2)切线的斜率:当 P 点逐渐靠近 P0 点,即 x 逐渐变小,当 x0时,瞬时变化率 limx0f(2x)f(2)x就是 yf(x)在 2 处的_的斜率,即k limx0f(2x)f(2)x.切线(1)曲线的割线 P0P 与曲线在 P0 的切线有什么关系?提示:当横坐标间隔|x 无限变小时,点 P 无限趋近于点 P0,割线 P0P 无限趋近于点 P0 处的切线 P0T.割线 P0P 的斜率 k 无限趋
4、近于点 P0 处的切线 P0T 的斜率 k0.(2)曲线的切线与曲线有且只有一个公共点吗?提示:不一定,如图所示,可知切线与函数的图象不一定只有一个交点1辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)在平均变化率的定义中,自变量 x 在 x0 处的变化量 x 可取任意实数()提示:在平均变化率的定义中,自变量 x 在 x0 处的变化量 x 可以是正数,也可以是负数,但不能为 0.(2)函数 yf(x)从 x1 到 x2 的平均变化率yx f(x2)f(x1)x2x1公式中 x 与 y 同号()提示:函数 yf(x)从 x1 到 x2 的平均变化率yx f(x2)f(x1)x2x1公式中 x 与 y
5、可能同号,也可能异号(3)物体在某一时刻 t 的瞬时速度即在t,tt上,当 t 较小时的平均速度()提示:物体在某一时刻 t 的瞬时速度是当 t0 时,平均速度的极限2函数 yf(x),自变量 x 由 x0 改变到 x0 x 时,函数的改变量 y 为()A.f(x0 x)Bf(x0)xC.f(x0)x Df(x0 x)f(x0)【解析】选 D.yf(x0 x)f(x0).3(教材练习改编)曲线 yx22x4 在点(1,3)处的切线的斜率为()A.0 B1 C1 D12【解析】选 A.k limx0f(1x)f(1)x limx012x(x)222x43x limx0 x0.关键能力合作学习类型
6、一 求运动物体的平均速度(数学抽象、数学运算)1已知函数 yf(x)x21,则在 x2,x0.1 时,y 的值为()A.0.40 B0.41 C0.43 D0.44【解析】选 B.yf(2x)f(2)f(2.1)f(2)2.12220.41.2已知一物体的运动方程为 yf(t)2t21,其中 t 的单位是 s,路程单位为 m,那么物体在时间1,1t内的平均速度为()A.4 B4tC.42t D2t【解析】选 C.由题意,yf(1t)f(1)2(1t)2134t2(t)2,所以yt 4t2(t)2t42t.3一个物体做直线运动,位移 s(单位:m)与时间 t(单位:s)之间的函数关系为 s(t)
7、5t2mt,且这一物体在 2t3 这段时间内的平均速度为 26 m/s,则实数 m 的值为()A.2 B1 C1 D6【解析】选 B.由已知,得s(3)s(2)3226,所以(5323m)(5222m)26,解得 m1.求平均变化率的步骤物体的运动方程为 yf()x,求在区间x0,x的平均变化率的步骤:(1)求时间的改变量 xxx0;(2)求函数值的变化量 yf()xf()x0;(3)求平均变化率 yx.提醒:x,y的值可正、可负,但x0,当fc为常数时,y0.【补偿训练】1.物体甲、乙在时间 0 到 t1 范围内路程的变化情况如图所示,下列说法正确的是()A.在 0 到 t0 范围内甲的平均
8、速度大于乙的平均速度B.在 0 到 t0 范围内甲的平均速度小于乙的平均速度C.在 t0 到 t1 范围内甲的平均速度大于乙的平均速度D.在 t0 到 t1 范围内甲的平均速度小于乙的平均速度【解析】选 C.在 0 到 t0 范围内,甲、乙所走的路程相同,时间一样,所以平均速度相同;在 t0 到 t1 范围内,甲、乙所用的时间相同,而甲走的路程较多,所以甲的平均速度较大2若一质点按规律 s8t2 运动,则在一小段时间2,2.1内的平均速度是()A4 B4.1 C0.41 D1.1【解析】选 B.v st s(2.1)s(2)2.122.12220.14.1.3一质点的运动方程是 s42t2,则
9、在时间段1,1t内相应的平均速度为()A.2t4 B2t4C.2t4 D2t4【解析】选 D.v st 42(1t)24212t4t2(t)2t2t4.类型二 求瞬时速度(数学抽象、数学运算)【典例】枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动,如果它的加速度是 5.0105 m/s2,枪弹从枪口射出时所用时间为 1.6103s,求枪弹射出枪口时的瞬时速度四步内容理解题意条件:加速度是5.0105 m/s2枪弹从枪口射出时所用时间为1.6103s结论:枪弹射出枪口时的瞬时速度思路探求利用位移公式,求出位移的变化量s,时间的变化量t,最后求出即为所求limt0st1求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间
10、改变量 t 和位移改变量 ss(t0t)s(t0).(2)求平均速度 v st.(3)求瞬时速度,当 t 无限趋近于 0 时,st 无限趋近于常数 v,即为瞬时速度2求yx(当 x 无限趋近于 0 时)的极限的方法(1)在极限表达式中,可把 x 作为一个数来参与运算(2)求出yx 的表达式后,x 无限趋近于 0,可令 x0,求出结果即可1一质点运动的方程为 s53t2,若该质点在 t1 到 t1t 这段时间内的平均速度为3t6,则该质点在 t1 时的瞬时速度是()A.3 B3 C6 D6【解析】选 D.vlimt0 (3t6)6.2质点 M 按规律 s2t23 做直线运动(位移单位:m,时间单
11、位:s),则质点 M 在t2 s 时的瞬时速度是()A.2 m/s B6 m/s C4 m/s D8 m/s【解析】选 D.vlimt02(2t)23(2223)tlimt08t2(t)2tlimt0 (82t)8(m/s).类型三 求曲线的切线方程(数学抽象、数学运算)角度 1 求切线方程【典例】求函数 y 4x2 在 x2 处的切线方程【思路导引】先求出变化量,再求平均变化率,再求切线的斜率,进而求切线方程【解析】因为 y4(x2)2 422 4(x2)2 1(x)24x(x2)2,所以yx x4(x2)2,所以 k limx0yx limx0 x4(x2)2 441.又 x2 时 y 4
12、22 1.所以切线方程为 y11(x2),即 xy30.在本例中“x2”改为“x2”结果如何?【解析】因为 y4(x2)2 4(2)2 4(x2)2 1(x)24x(x2)2,所以yx x4(x2)2,所以 k limx0yx limx0 x4(x2)2 44 1.又 x2 时 y4(2)2 1.所以切线方程为 y11(x2),即 xy30.角度 2 求切点坐标【典例】已知曲线 y2x27 在点 P 处的切线方程为 8xy150,则切点 P 的坐标为()A(2,1)B(0,7)C(2,1)D(3,11)【思路导引】求出切点的横坐标,进而求出切点坐标【解析】选 C.设 P 点坐标为(x0,2x2
13、0 7),则 limx0f(x0 x)f(x0)x limx02x20 2x0 x(x)272x20 7x limx0 (4x02x)4x0.所以 4x08,解得 x02.所以 P 的坐标为(2,1).求曲线上某点处切线方程的三个步骤1已知点 P(1,1)为曲线上的一点,PQ 为曲线的割线,当 x0 时,若 kPQ 的极限为2,则在点 P 处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2【解析】选 B.由题意可知,曲线在点 P 处的切线方程为 y12(x1),即y2x1.2已知函数 f(x)ax2b 在点(1,3)处的切线斜率为 2,则ba _【解析】因为斜率为 2,又 limx
14、0f(1x)f(1)x limx0a(1x)2ax limx0 (ax2a)2a,所以 2a2,所以 a1.又 f(1)ab3,所以 b2.所以ba2.答案:23下面是一段登山路线图同样是登山,但是从 A 处到 B 处会感觉比较轻松,而从B 处到 C 处会感觉比较吃力想想看,为什么?你能用数学语言来量化 AB 段、BC段曲线的陡峭程度吗?【解析】山路从 A 到 B 高度的平均变化率为 kAByx 100500 15,山路从 B 到 C高度的平均变化率为 kBCyx 20107050 12,所以 kBCkAB,所以山路从 B 到 C 比从 A 到 B 陡峭【补偿训练】1.设函数 f(x)在 x1
15、 处切线斜率为 2,则 limx0f(1x)f(1)3x_【解析】根据条件知 k limx0f(1x)f(1)x2,所以 limx0f(1x)f(1)3x13 limx0f(1x)f(1)x23.答案:232已知函数 yf(x)1x,则此函数在区间1,1x上的平均变化率为_【解析】yx f(1x)f(1)x11x1x11x.答案:11x课堂检测素养达标1已知一直线运动的物体,当时间从 t 变到 tt 时物体的位移为 s,那么limt0st 为()A时间从 t 变到 tt 时物体的速度B在 t 时刻该物体的瞬时速度C当时间为 t 时物体的速度D时间从 t 变到 tt 时物体的平均速度【解析】选
16、B.st 表示从时间 t 到 tt 时物体的平均速度,从而limt0st 表示在 t时刻该物体的瞬时速度2如图,函数 yf(x)在1,3上的平均变化率为()A1 B1 C2 D2【解析】选 B.yx f(3)f(1)311.3(2021汕头高二检测)一个物体的运动方程为 s1tt2.其中 s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在 t3 秒时的瞬时速度是()A7 米/秒 B6 米/秒 C5 米/秒 D8 米/秒【解析】选 C.s1(3t)(3t)2(1332)t25t,st t5,所以瞬时速度limt0st limt0 (t5)5(米/秒).4(教材练习改编)函数 f(x)x2x 在区间2,t
17、上的平均变化率是 2,则 t_【解析】因为函数 f(x)x2x 在区间2,t上的平均变化率是 2,所以f(t)f(2)t(2)t2t(2)2(2)t22,即 t2t62t4,从而 t23t100,解得 t5 或 t2(舍去).答案:55蜥蜴的体温与阳光的照射有关,其关系为 T(t)120t5 15,其中 T(t)为体温(单位:),t 为太阳落山后的时间(单位:min).(1)从 t0 到 t10,蜥蜴的体温下降了多少?(2)从 t0 到 t10,蜥蜴的体温的平均变化率是多少?它代表什么实际意义?【解析】(1)在 t0 和 t10 时,蜥蜴的体温分别为 T(0)12005 1539,T(10)120105 1523,392316(),故从 t0 到 t10,蜥蜴的体温下降了 16.(2)平均变化率为T(10)T(0)101610 1.6.它表示从 t0 到 t10,蜥蜴的体温平均每分钟下降 1.6.