1、章末复习提升课第一章 统计案例问题展示(教材 P19 复习参考题 A 组 T2)假设美国 10 家最大的工业公司提供了以下数据(单位：百万美元)：公司通用汽车福特 埃克森 IBM通用电气美孚菲利普莫利斯克莱斯勒杜邦德士古销售总额x1126 974 96 933 86 656 63 438 55 264 50 976 39 069 36 156 35 209 32 416 利润x24 2243 8353 5103 7583 9391 8092 9463592 4802 413线性回归分析(1)作销售总额和利润的散点图，根据该图猜想它们之间的关系应是什么形式(2)建立销售总额为解释变量，利润为预报
2、变量的回归模型，并计算残差(3)计算 R2，你认为这个模型能较好地刻画销售总额和利润之间的关系吗？请说明理由【解】(1)将销售总额作为横轴 x，利润作为纵轴 y，根据表中数据绘制散点图如图 由于散点图中的样本点基本上在一个带状区域内分布，猜想销售总额与利润之间呈线性相关关系(2)由最小二乘法的计算公式，得a1 307.3，b0.026，则线性回归方程为y0.026x1 307.3.其残差值计算结果见下表：销售总额126 97496 93386 65663 43855 264利润4 2243 8353 5103 7583 939残差384.6247.44250.356801.3121 194.8
3、36销售总额50 97639 06936 15635 20932 416利润1 8092 9463592 4802 413残差823.676622.9061 888.356257.266262.884(3)对于第二问中所建立的线性回归方程，相关指数 R20.54，说明在线性回归模型中销售总额只能解释利润变化的 54%，所以线性回归模型不能很好地刻画销售总额和利润之间的关系经分析预测，美国通用汽车等 10 家大公司的销售总额 xi(i1，2，10，单位：百万美元)与利润 yi(i1，2，10，单位：百万美元)的近似线性关系为y0.026xa，经统计i110 xi623 090，i110yi29
4、300.（1）求a；（2）若通用汽车公司的销售总额 x1126 974（百万美元），残差e1387，估计通用汽车的利润；（3）福特公司的销售总额为 96 933 百万美元，利润为 3 835 百万美元，比较通用汽车与福特公司利润的解释变量对于预报变量变化的贡献率说明了什么？（以上答案精确到个位）【解】（1）由i110 xi623 090，i110y i29 300，得样本的中心点为(62 309，2 930)，所以a2 9300.02662 3091 310.(2)由第一问知y0.026x1 310，当 x1126 974 时，y10.026126 9741 3104 611，所以 y1y1e
5、14 611(387)4 224，估计通用汽车的利润为 4 224 百万美元(3)由第一问、第二问可得通用汽车利润的解释变量对于预报变量变化的贡献率为 R21，则 R211（y1y1）2（y1 y）21（387）2（1 294）20.91191.1%.设福特公司利润的解释变量对于预报变量变化的贡献率为 R22，由y0.026x1 310 得 y20.02696 9331 3103 830，则 R221（3 8353 830）2（3 8352 930）21 529052 0.999 999.99%.由 R21R22知，用y0.026x1 310 作为解释变量与预报变量的关系，预报通用汽车的效果没
6、有预报福特公司的效果好，或者说预报通用汽车的精确度低于预报福特公司的精确度问题展示(教材 P6 例 2)一只红铃虫的产卵数 y 和温度 x 有关，现收集了 7 组观测数据列于表中，试建立 y 关于 x 的回归方程温度 x/21232527293235 产卵数 y/个711212466115325非线性回归分析【解】根据收集的数据，作散点图：由散点图知，样本点分布在某条指数函数曲线周围，故该回归方程为 yc1ec2x，两边取对数得 ln yc2xln c1，作变换zln yxx(c2b，ln c1a)，得zbxa，且变化后所得样本数据表为 x21232527293235 z1.9462.3983
7、.0453.1784.1904.7455.784 经计算得 z 关于 x 的线性回归方程为 z0.272x3.849，所以 y 关于 x 的回归方程为 ye0.272x3.849，即y 1e3.849e0.272x.【拓展 1】“指数型”回归方程选择的等价性(1)选择指数函数 yax(a0 且 a1)不科学，因为指数函数 yax(a0 且 a1)恒过定点(0，1)，且仅有一个估计值 a，不能有效体现解释变量 x 与预报变量 y 之间的关系，即拟合效果很差(2)“平移型”指数函数与 yc1ec2x 的等价性回归方程为 yaxb，由 yaxb 得 ln y(xb)ln a(ln a)xbln a，
8、作变换zln yxx(bln a，abln a)，则有zbxa；回归方程为 yaxb，令 axkex，tex，可得变换t1kax，yy得 yktb(bk，ab)(3)一般“指数型”函数与 yc1ec2x 的等价性回归方程为 yk1ek2xb.因为 yk1ek2xbk1ek2xebk1ebek2x，ln yln(k1eb)k2xln k1bk2x，作变换zln yxx(bk2，aln k1b)，则有zbxa.【拓展 2】从散点图看回归方程的设置(1)由本例从散点图可以看出，样本点集中在某二次函数(抛物线)的附近，因此可选择二次函数 yax2b 作为回归方程作变换tx2，yy即得 yatb(其中b
9、a，ab)(2)若选用 yax2bxc 模型，则具有不确定性；因为 yax2bxcax b2a24acb24a，虽然作变换tx b2a2，yy可得出线性关系 yat4acb24a，但由于 a、b、c 未确定，从而变换 tx b2a2的 t 值不确定，从而不能列出样本点(ti，yi)数据表，即 yat4acb24a不能确定因此，我们根据散点图设置回归方程应特别注意：变换tf（x），zg（y）可列出(ti，zi)的数据表；注重变换后的线性回归方程中的b与a与变换前参数的关系；利用求出的线性回归方程替换变量后还原成原问题的回归方程；最后根据需要进行回归分析问题展示(教材 P15 练习)甲乙两个班级进
10、行一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下的列联表：班级与成绩列联表优秀不优秀总计甲班103545乙班73845总计177390画出列联表的等高条形图，并通过图形判断成绩与班级是否有关根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过 0.01的前提下认为成绩与班级有关系？独立性检验【解】列联表的等高条形图如图由图及表直观判断，好像“成绩优秀与班级有关系”假设成绩与班级没有关系，则有 a10，b35，c7，d38，ab45，cd45，ac17，bd73，n90，代入 K2 公式，得 K2 的观测值 k90（1038735）2454517730.653.由于 k0.6536
11、.635，所以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下不能认为成绩与班级有关系 甲、乙两个班级进行一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如下的列联表：班级与成绩列联表优秀不优秀总计甲班ab45乙班cd45总计256590若 K2 的观测值为1813.(1)求 a，b，c，d 的值；(2)根据观测值表，你最少有多大的把握认为成绩与班级无关？【解】(1)由表知，c25a，b45a，d45c45(25a)20a，n90.由 K2n（adbc）2（ab）（cd）（ac）（bd）得 90a（20a）（25a）（45a）2454525651813，化简得(2a25)225，所以 2a25
12、5 或 2a255，所以 a15 或 a10，当 a10 时，优秀不优秀总计甲班103545 乙班153045 总计256590 当 a15 时，优秀不优秀总计甲班153045 乙班103545 总计256590 说明甲班与乙班编号不同而已，故当 a10 时，b35，c15，d30，或当 a15 时，b30，c10，d35.(2)因为 K2 的观测值为18131.3851.323，而 P(K21.323)0.25，所以最少有 25%的把握认为成绩与班级无关 数学教师对他所任教的高二两个班进行一次数学考试(满分 100分)，从两个班学生考试成绩中，都随机抽取了 15 名学生的数学成绩的茎叶图如下
13、，(1)从茎叶图能否判断乙班的成绩好于甲班的成绩；(2)若记成绩在区间80，100)为优秀，小于 80 为不优秀，你有多少把握判断乙班的成绩比甲班的成绩优良？【解】(1)甲班成绩集中在“茎 7”，乙班的成绩集中在“茎8”，从茎叶图可判断乙班的成绩好于甲班的成绩(2)根据茎叶图列出 22 列联表优秀不优秀总计甲班51015 乙班7815 总计121830 K2 的观测值 k30（58710）215151218590.5560.455，且 k590.5560.708，又 P(K20.455)0.50，P(K20.708)0.40，故仅有 50%至 60%的把握认为乙班的成绩比甲班的成绩优良本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放