1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.3变量间的相关关系一、内容与解析 变量间的相关关系是高中新教材人教A版必修3第二章2.3节的内容, 本节课主要探讨如何利用线性回归思想对实际问题进行分析与预测。为以后更好地研究选修2-3第三章3.2节回归分析思想的应用奠定基础。二、教学目标及解析1.通过实例了解变量之间的相互关系，明确事物间是相互联系的，认识现实生活中变量间存在的非确定性的相关关系，体会研究此类问题在现实生活中的重要性。2.会作散点图，并由此对变量间的正相关或负相关作出直观的判断。3.通过探究用不同估算方法描述两个变量线性相关关系的过程，学会用数量来描述现实关系。4.知道最小二乘法的思想，了
2、解其公式的推导过程。5.知道利用信息技术求回归方程。三、问题诊断分析在本节课的教学中,学生可能遇到的问题是根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。四、教学过程问题1.有些教师常说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题。”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，你如何认识它们之间存在的关系呢？总结：物理成绩和数学成绩是两个变量，从经验看，由于物理学习要用到较多的数学知识和数学方法，数学成绩的好坏影响着物理成绩的高低，即一个人的物理成绩确实与数学成绩有一定的关系。但除此之外，还存在其他影响物理成绩的因素，如学习物理的兴趣，用在物理学习上的时间等，
3、如下图所示：数学成绩物理成绩学习兴趣学习时间其他因素因此不能通过一个人的数学成绩来确定他的物理成绩，两个变量之间是一种不确定性的关系，产生这种关系的原因是受到许多不确定的随机因素的影响。问题2.举实例说明两个变量间的相互关系。1.商品销售收入与广告支出经费之间的关系。商品销售收入与广告支出经费有着密切的联系，但商品销售收入不仅与广告支出多少有关，还与商品质量、居民收入等因素有关。2.粮食产品与施肥之间的关系。在一定范围内，施肥量越大，粮食产量就越高。但施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素，因为粮食产量还要受到土壤质量、降雨量、田间管理水平等因素的影响。3.人体内的脂肪含量与年龄之间的关系。在一定
4、年龄段内，随着年龄的增长，人体内的脂肪含量会增加，但人体内的脂肪含量还与饮食习惯、体育锻炼等有关，可能还与个人的先天体质有关。上述各例题中的“两个变量间的关系”与以前我们学习过的函数关系一样吗？函数指的是自变量和因变量之间的关系，其关系式与两个变量之间是相互唯一确定的。而我们所举的例子中，变量间的相互关系是不确定的，它受很多不确定的因素影响。总结：两个变量的关系可能是确定的也可能是不确定的，当自变量取值一定，因变量的取值带有一定的随机性时，两个变量之间的关系称为相关关系。相关关系是一种非确定性关系。说明：(1)变量之间除函数关系之外,还有相关关系,即从总的变化趋势来看变量之间存在着某种关系 ,
5、但这种关系又不能用函数关系精确表示出来;(2)两个变量之间产生相关关系的原因是许多不确定的随机因素的影响;(3)需要通过样本来判断变量之间是否存在相关关系.练习:课本P85 练习题问题3.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据:人体脂肪百分比和年龄年龄2327394145495053545657586061脂肪9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.6根据上述数据,人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系?1.大体上可以看出,人体的脂肪含量是随着年龄的增长而增加的.但是对于个别人来说,他的体内脂肪含量不
6、一定随着年龄的增长而增加或减少.请问:表中的数据是指的哪种数字特征?总体中的”个体”含义可能比自然的个体含义要广.自然的个体是一个人,而总体中的”个体”则可能是指”某一年龄段的所有人”或定义为一个具体的人.如果”个体”是由一个群体组成,那么”个体”的观察值就应该是相应群体的平均数.在研究变量间的相关关系时,如果是平均数,则两个变量间的关系更强,更接近于函数关系.2.为了更直观地反映这两个变量间的变化趋势,我们可以作图.如果以x轴表示年龄,以y轴表示脂肪含量.画出上述表格中数据的草图.3.此时我们作出的图,称为散点图.从散点图你可以观察出随着年龄越大,相应的体内脂肪含量的变化趋势是什么?4.从上
7、述散点图,我们可以看到这些点的散布也是有特点的.它们散布在从左下角到右上角的区域.对于两个变量的这种相关关系,我们称为正相关.若它们散布在从左上角到右下角的区域内,我们称为负相关.请举例说明.5.在研究两个变量之间是否存在某种关系时,必须从散点图入手,对于散点图我们从什么角度作判断呢?(1)如果所有的样本点都落在某一函数的曲线上就用该函数来描述变量间的关系,即变量具有函数关系.(2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.(3)如果所有的样本点都落在某一条直线附近,变量之间就有线性相关关系.问题4.上述问题中,从散点图可以看出,这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近
8、.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.如果能够求出这条回归直线的方程(简称回归方程,阅读P87了解”回归”一词的来历).那么我们就可以比较清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性.就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样,这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表.那么我们应当如何具体求出这个回归方程呢?1.有同学设计了如下三种方案:(1)采用测量的方法,先画一条直线,测量出各点到它的距离,然后移动直线,到达一个使距离之和最小的位置,测量出此时直线的斜率和截距,就得到回归方程.(2)在图中选取两点画直线,使得直线两侧
9、的点的个数基本相同.(3)在散点图中多取几组点,确定直线的方程,分别求出各条斜率和截距的平均数,将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距.请问这些方法真得可行吗?上面这些方法虽然有一些道理,但总让人感到可靠性不强.2.实际上,求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画”从整体上看,各点与此直线的距离最小”.假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), ,(xn,yn),下面探讨如何表达这些点与一条直线y=kx+b之间的距离.问题即转化为求的最小值时b,a的取值.经过数学上的推导,的值由下列公式给出这种使得样本数据的点到回归直线的距离的平方
10、和最小的方法叫做最小二乘法.3.讲解如何利用计算机求回归方程?4.自学如何利用计算器求回归方程?小结:1对于两个变量之间的关系，有函数关系和相关关系两种，其中函数关系是一种确定性关系，相关关系是一种非确定性关系.2散点图能直观反映两个相关变量之间的大致变化趋势，利用计算机作散点图是简单可行的办法. 3.一般情况下两个变量之间的相关关系成正相关或负相关，类似于函数的单调性.4. 回归方程被样本数据惟一确定，各样本点大致分布在回归直线附近.对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性.5. 对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性
11、相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的.因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程五、课堂小结 1、回归直线方程的求法先判断变量是否线性相关若线性相关，利用公式计算出、b利用回归方程对生活实际问题进行分析与预测2、思想方法：数形结合、归纳、类比、最小二乘法六、目标检测例1 在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？正方形边长与面积之间的关系；作文水平与课外阅读量之间的关系；人的身高与年龄之间的关系；降雪量与交通事故的发生率之间的关系.例2 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：房屋面积（平方米）6170115110801
12、35105销售价格（万元） 12.215.324.821.618.429.222画出数据对应的散点图，并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关. 例3 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的饮料杯数与当天气温的对比表：摄氏温度(） -504712热饮杯数 15615013212813015192327313611610489937654（1）画出散点图；（2）从散点图中发现气温与热饮杯数之 间关系的一般规律；（3）求回归方程；（4）如果某天的气温是2，预测这天卖出的热饮杯数. .精品资料。欢迎使用。高考资源网w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u 版权所有高考资源网
