1、5.1.2 导数的概念及其几何意义 必备知识自主学习导思1.什么是函数在某点处的导数？它的几何意义是什么？2导函数是如何定义的？它与函数在某点处的导数有何关系？1.函数yf的自变量x从x0变化到x0 x的平均变化率(1)xx2x1 是正数吗？提示：xx2x1 可能是正数，也可能是负数，但不能为 0.(2)函数的平均变化率的几何意义是什么？提示：几何意义为函数 yf()x图象上过两点 P1x1，y1，P2x2，y2的割线的斜率2函数 yf()x在 xx0 处的导数(瞬时变化率)(1)定义：如果当 x0 时，平均变化率yx 无限趋近于一个确定的值，即yx 有极限，则称 yf()x在 xx0 处可导
2、，并把这个确定的值叫做 yf()x在 xx0 处的导数(2)记作 f()x0或0 x xy，即 f()x0 limx0yx limx0fx0 x f()x0 x.(3)作用：刻画函数在某点处函数值变化的快慢(1)函数 yf()x在 xx0 处的导数一定存在吗？提示：当 x0 时，平均变化率yx 的极限存在，则函数 yf()x在 xx0 处可导，否则在 xx0 处不可导或无导数(2)函数 yf()x在 xx0 处的导数的定义还可以用别的式子表示吗？提示：还可以表示为 f()x0 limx0fx0 x f()x0 x0 xxlimf()x f()x0 xx0等3导数的几何意义函数 f(x)在 xx
3、0 处的导数 f(x0)就是切线 P0T 的斜率 k0，即 k0 limx0f（x0 x）f（x0）xf(x0).(1)曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗？提示：曲线的切线并不一定与曲线只有一个公共点，可以有多个，甚至可以有无穷多个(2)曲线的切线与导数有什么关系？提示：函数 f(x)在 xx0 处有导数，则函数 f(x)在该点处必有切线，并且导数值就是该切线的斜率函数 f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0)处有切线，但函数 f(x)在该点处不一定可导，例如 f(x)3 x 在 x0 处有切线，但不可导4导函数的概念(1)定义：当 x 变化时，yf(x)就是 x 的函数，称它为 yf(x)
4、的导函数(简称导数).(2)记作 f(x)或 y，即 f(x)y limx0f（xx）f（x）x.f(x)与 f(x0)相同吗？它们之间有何关系？提示：f(x)与 f(x0)不相同f(x)是函数 f(x)的导函数，f(x0)是函数 f(x)在 xx0 处的导数值，是函数 f(x)在 xx0 时的函数值1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)函数 yf(x)在 xx0 处的导数 f(x0)的几何意义是函数 yf(x)在点 xx0 处的函数值()提示：函数 yf(x)在 xx0 处的导数 f(x0)的几何意义是函数 yf(x)在点 xx0 处的导数值(2)函数 yf(x)在 xx0 处的导数
5、f(x0)的几何意义是函数 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线与 x 轴所夹锐角的正切值()提示：函数 yf(x)在 xx0 处的导数 f(x0)的几何意义是函数 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线倾斜角的正切值(3)函数 yf(x)在 xx0 处的导数 f(x0)的几何意义是曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率()提示：函数 yf(x)在 xx0 处的导数 f(x0)的几何意义就是曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率(4)函数 yf(x)在 xx0 处的导数 f(x0)的几何意义是点(x0，f(x0)与点(0，0)连线的斜率()提示：函数 yf(x
6、)在 xx0 处的导数 f(x0)的几何意义是曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，不是点(x0，f(x0)与点(0，0)连线的斜率2设函数 f(x)在点 x0 附近有定义，且有 f(x0 x)f(x0)axb(x)2(a，b 为常数)，则()A.f(x)a Bf(x)bC.f(x0)a Df(x0)b【解析】选 C.f(x0)limx0f（x0 x）f（x0）x limx0 (abx)a.3(教材习题改编)函数 yf(x)的图象如图所示，下列描述错误的是()A.x5 处比 x2 处变化快B.x4 处呈上升趋势C.x1 和 x2 处增减趋势相反D.x0 处呈上升趋势【解析】选
7、D.根据导数的几何意义：f(5)0，f(4)0，f(2)0，f(0)0，f(1)f(2)0，判断可知 D 错误4已知函数 f(x)在 x0 处的导数为 f(x0)1，则函数 f(x)在 x0 处切线的倾斜角为_【解析】设切线的倾斜角为，则 tan f(x0)1，又 0180，所以 45.答案：45关键能力合作学习类型一 求函数在某点处的导数(数学抽象、数学运算)1已知函数 yf(x)是可导函数，且 f(1)2，则 limx0f（1x）f（1）2x()A12B2 C1 D1【解析】选 C.由题意可得：limx0f（1x）f（1）2x12 limx0f（1x）f（1）x12 f(1)，即：limx
8、0f（1x）f（1）2x12 21.2设曲线 f(x)ax2 在点(1，a)处的切线与直线 2xy60 平行，则 a 等于()A1 B12 C12 D1【解析】选 A.因为 f(1)limx0a（1x）2a12x limx02axa（x）2x limx0 (2aax)2a，所以 2a2，所以 a1.3求函数 f(x)x 在 x1 处的导数【解析】由导数的定义知，函数在 x1 处的导数 f(1)limx0f（1x）f（1）x，而f（1x）f（1）x1x1x11x1，又 limx011x112，所以 f(1)12.求函数 yf(x)在点(x0，f(x0)处的导数的三个步骤【补偿训练】若函数 yf(
9、x)在 xx0 处可导，则limh0f（x0h）f（x0h）h等于()Af(x0)B2f(x0)C2f(x0)D0【解析】选 B.因为 x(x0h)(x0h)2h.所以limh0f（x0h）f（x0h）h2limh0f（x0h）f（x0h）2h2f(x0).类型二 导数的意义在实际问题中的应用(数学抽象、数学运算)【典例】一质点做抛物线运动，已知在 t s 时，质点的运动路程(单位：m)为 s()t83t2.(1)求质点在1，1t这段时间内的平均速度；(2)求质点在 t1 s 时的瞬时速度，并说明它们的意义四步内容理解题意条件：质点的运动路程与时间t的函数关系式结论：(1)求质点在1，1t这段
10、时间内的平均速度；(2)求质点在t1 s时的瞬时速度，并说明它们的意义思路探求(1)按照平均速度的定义式计算；(2)取平均速度的极限即为瞬时速度关于导数的实际意义根据物体的路程关于时间的函数求速度与加速度、求已知曲线的切线直接促使了导数的产生可以利用上述实际问题理解导数的实际意义，导数是在某一时刻附近的瞬时变化率，是路程、速度等在这一时刻附近增加(减小)的大小1某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间 T 内完成预期的运输任务 Q0，各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如下所示在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是()【解
11、析】选 B.从函数图象上看，要求图象在0，T上越来越陡峭，在各选项中，只有B 项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高2建造一栋面积为 x m2 的房屋需要成本 y 万元，y 是 x 的函数，yf(x)x10 x100.3，求 f(100)，并解释它的实际意义【解析】根据导数的定义，得f(100)limx0yx limx0f（100 x）f（100）x limx0（100 x100 x3）（100 1003）10 x limx0110100 x1010 x limx0110110（100 x10）110 110（1010）0.105.f(100)0.105 表示当
12、建筑面积为 100 m2 时，成本增加的速度为 1 050 元/m2.类型三 导数几何意义的应用(数学抽象、数学运算)角度 1 求切线方程【典例】已知曲线 C：yx2.求曲线在 x1 点处的切线方程【思路导引】可先求出切点坐标，再求切线的斜率，最后利用点斜式得出切线方程【解析】把 x1 代入 yx2 得 y121.即切点 P(1，1)，y|x1 limx0yx limx0（1x）21x limx0 (x2)2，所以 ky|x12.所以曲线 yx2 在 P(1，1)处的切线方程为 y12(x1)，即 2xy10.求曲线 yx21 过点 P(1，0)的切线方程【解析】设切点为 Qa，a21，k l
13、imx0f（ax）f（a）x limx0 (2ax)2a.所以在 Q 点处的切线方程为 y(a21)2a(xa).(*)把点(1，0)代入(*)式得(a21)2a(1a).解得 a1 2.再把 a1 2 代入到(*)式中即得 y(22 2)x(22 2)或 y(22 2)x(22 2).这就是所求的切线方程角度 2 导数值的大小与函数图象变化间的关系【典例】1.已知函数 yf(x)的图象是下列四个选项中的图象之一，且其导函数 yf(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()【解析】选 B.由函数 yf(x)的导函数 yf(x)的图象自左至右先增后减，可知函数 yf(x)图象的切线的斜率自左至右先
14、增大后减小2某斜坡在某段内的倾斜程度可以近似地用函数 yx24x32x2来刻画，试分析该段斜坡的坡度的变化情况【解析】因为yx（xx）24（xx）（x24x）x2xx4x（x）2x2x4x，所以 y limx0yx 2x432x2.由于 y2x4 在区间32，2上是减函数，且 0y1，故该段斜坡的坡度最开始很接近 45，随着高度慢慢上升，坡度在慢慢变小，在 x 达到 2 时坡度接近 0.1利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数 yf(x)在点 x0 处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程 yy0f(x0)
15、(xx0).(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程2导数几何意义理解中的两个关键点关键点一：yf(x)在点 xx0 处的切线斜率为 k，则 k0f(x0)0；k0f(x0)0；k0f(x0)0.关键点二：|f(x0)|越大在 x0 处瞬时变化越快；|f(x0)|越小在 x0 处瞬时变化越慢 已知直线 l：y4xa 和曲线 C：yx32x23 相切求 a 的值和切点的坐标【解析】设直线 l 与曲线 C 相切于点 P(x0，y0)，因为 f(x)limx0f（xx）f（x）x limx0
16、（xx）32（xx）23（x32x23）x3x24x.由题意可知，直线 l 的斜率 k4，即 3x20 4x04，解得 x023 或 x02，所以切点的坐标为23，4927或(2，3).当切点为23，4927时，有4927 423a，a12127；当切点为(2，3)时，有 342a，a5.所以当 a12127 时，切点为23，4927；当 a5 时，切点为(2，3).【补偿训练】已知 f(x)x22.求：(1)f(x)在 x1 处的导数；(2)f(x)在 xa 处的导数【解析】(1)因为yx f（1x）f（1）x（1x）22（122）x2x，当 x 趋近于 0 时 2x 趋近于 2，所以 f(
17、x)在 x1 处的导数等于 2.(2)因为yx f（ax）f（a）x（ax）22（a22）x2ax，当 x 趋近于 0 时，2ax 趋近于 2a，所以 f(x)在 xa 处的导数等于 2a.课堂检测素养达标1设 f(x0)0，则曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线()A不存在B与 x 轴平行或重合C与 x 轴垂直D与 x 轴斜交【解析】选 B.f(x0)0，说明曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率为 0，所以与 x轴平行或重合2已知函数 yf(x)的图象如图，则 f(xA)与 f(xB)的大小关系是()A.0f(xA)f(xB)Bf(xA)f(xB)f(xB)0【解析】
18、选 B.f(xA)和 f(xB)分别表示函数图象在点 A，B 处的切线斜率，故f(xA)f(xB)0.3曲线 y9x 在点(3，3)处的切线的倾斜角为()A30 B45 C135 D60【解析】选 C.令 yf(x)9x，因为曲线 f(x)9x 在点(3，3)处的切线的斜率为 kf(3)limx0f（3x）f（3）x limx093x3x limx033x 1，所以切线的倾斜角为 135.4(教材练习改编)曲线 f(x)2x 在点(2，1)处的切线方程为_【解析】f(2)limx0f（2x）f（2）x limx022x1x limx012x 12，所以切线方程为 y112(x2)，即 x2y40.答案：x2y405求函数 y3x2 在 x1 处的导数【解析】因为 y3(1x)23126x3(x)2，所以yx 63x，所以 y limx0yx limx0 (63x)6.