1、2.9函数的应用1几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb (a、b为常数，a0)反比例函数模型f(x)b (k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数模型f(x)axnb (a，b为常数，a0)(2)三种函数模型的性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为
2、与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax2.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义以上过程用框图表示如下：1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数y2x的函数值比yx2的函数值大()(2)幂函数增长比直线增长更快()(3)不存在x0，使ax0xlogax0.()(
3、4)美缘公司2010年新上市的一种化妆品，由于脱销，在2011年曾提价25%,2014年想要恢复成原价，则应降价25%.()(5)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利()(6)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，恒有h(x)f(x)0，当x10时，代入两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，可得k120，k2，y1y2x28，当且仅当x，即x5时取等号，故选A.3汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是()答案A解析汽车加速行驶时，速度
4、变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s与t的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的4某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是()A118元 B105元 C106元 D108元答案D解析设进货价为a元，由题意知132(110%)a10%a，解得a108，故选D.5某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为yekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k_，经过5小时，1个病毒能繁殖为_个答案2ln 21 024解析当t0.5时，y2，2ek，k2ln
5、 2，ye2tln 2，当t5时，ye10ln 22101 024.题型一二次函数模型例1某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段，已知跳水板AB长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m，CE5 m，CF6 m，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点h m(h1)时达到距水面最大高度4 m，规定：以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系(1)当h1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h的取值范围思维启迪(1)可根据抛物线方程的顶点式求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)利用x5，x6
6、时函数值的符号求h范围解(1)由题意知最高点为(2h,4)，h1，设抛物线方程为yax(2h)24，当h1时，最高点为(3,4)，方程为ya(x3)24，将A(2,3)代入，得3a(23)24，解得a1.当h1时，跳水曲线所在的抛物线方程为y(x3)24.(2)将点A(2,3)代入yax(2h)24得ah21，所以a.由题意，得方程ax(2h)240在区间5,6内有一解令f(x)ax(2h)24x(2h)24，则f(5)(3h)240，且f(6)(4h)240.解得1h.达到压水花的训练要求时h的取值范围为1，思维升华实际生活中的二次函数问题(如面积、利润、产量等)，可根据已知条件确定二次函数
7、模型，结合二次函数的图象、单调性、零点解决，解题中一定注意函数的定义域某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y3 00020x0.1x2 (0x240，xN*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A100台 B120台C150台 D180台答案C解析设利润为f(x)万元，则f(x)25x(3 00020x0.1x2)0.1x25x3 000 (0x0)(1)如果m2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围解(1)若m2，则22t21t2，当5时，2t，令2tx1，则x，即2x25
8、x20，解得x2或x(舍去)，此时t1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即2恒成立，亦m2t2恒成立，亦即m2恒成立令x，则04时，y41.83x1.83(5x4)20.4x4.8.当乙的用水量超过4吨，即3x4时，y241.83(3x4)(5x4)24x9.6.所以y(2)由于yf(x)在各段区间上均单调递增；当x0，时，yf()26.4；当x(，时，yf()10(其中n是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f(n)的单位为元)，而k(n)现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而
9、乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分则乙所得奖励比甲所得奖励多()A600元 B900元 C1 600元 D1 700元答案D解析k(18)200(元)，f(18)200(1810)1 600(元)又k(21)300(元)，f(21)300(2110)3 300(元)，f(21)f(18)3 3001 6001 700(元)故选D.函数应用问题典例：(12分)在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600
10、元后，逐步偿还转让费(不计息)在甲提供的资料中：这种消费品的进价为每件14元；该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；每月需各种开支2 000元(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？思维启迪(1)认真阅读题干内容，理清数量关系(2)分析图形提供的信息，从图形可看出函数是分段的(3)建立函数模型，确定解决模型的方法规范解答解设该店月利润余额为L，则由题设得LQ(P14)1003 6002 000，由销量图易得Q2分代入式得L4分(1)当14P20时，Lmax450元，此时P19.5元；当20
11、P26时，Lmax元，此时P元故当P19.5元时，月利润余额最大，为450元8分(2)设可在n年后脱贫，依题意有12n45050 00058 0000，解得n20.即最早可望在20年后脱贫12分解函数应用题的一般程序：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：解模求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义第五步：反思回顾对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性温馨提醒(1)本题经过了三次建模：根据月销量图建立Q与P的函数关系；建立利润余额函数；
12、建立脱贫不等式(2)本题的函数模型是分段的一次函数和二次函数，在实际问题中，由于在不同的背景下解决的问题发生了变化，因此在不同范围中，建立函数模型也不一样，所以现实生活中分段函数的应用非常广泛(3)在构造分段函数时，分段不合理、不准确，是易出现的错误.方法与技巧1认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础；2实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值3解函数应用题的四个步骤：审题；建模；解模；还原失误与防范1函数模型应用不当，是常见的解题错误所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型2要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的
13、定义域3注意问题反馈在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性.A组专项基础训练一、选择题1若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为()答案B解析根据题意得解析式为h205t(0t4)，其图象为B.2利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为y30x4 000，则每吨的成本最低时的年产量(吨)为()A240 B200 C180 D160答案B解析依题意，得每吨的成本为30，则2 3010，当且仅当，即x200时取等号，因此，当每吨成本最
14、低时，年产量为200吨，故选B.3某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月增长率都是a，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为()Aa121 B(1a)121Ca Da1答案B解析不妨设第一年8月份的产值为b，则9月份的产值为b(1a)，10月份的产值为b(1a)2，依次类推，到第二年8月份是第一年8月份后的第12个月，即一个时间间隔是1个月，这里跨过了12个月，故第二年8月份产值是b(1a)12.又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为(1a)121.4. 某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元一个月的本地网内
15、打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差()A10元 B20元C30元 D.元答案A解析设A种方式对应的函数解析式为sk1t20，B种方式对应的函数解析式为sk2t，当t100时，100k120100k2，k2k1，t150时，150k2150k1201502010.5. 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为()Ax15，y12 Bx12，y15Cx14，y10 Dx10，y14答案A解析由三角形相似得，得
16、x(24y)，Sxy(y12)2180，当y12时，S有最大值，此时x15.二、填空题6一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为yaebt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过_ min，容器中的沙子只有开始时的八分之一答案16解析当t0时，ya，当t8时，yae8ba，e8b，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即yaebta，ebt(e8b)3e24b，则t24，所以再经过16 min.7. A、B两只船分别从在东西方向上相距145 km的甲乙两地开出A 从甲地自东向西行驶B从乙地自北向南行驶，A的速度是40
17、 km/h，B的速度是16 km/h，经过_小时，AB间的距离最短答案解析设经过x h，A、B相距为y km，则y(0x)，求得函数的最小值时x的值为.8某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了_ km.答案9解析设出租车行驶x km时，付费y元，则y，由y22.6，解得x9.三、解答题9某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时本年度计划将电价调至0
18、.55元0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x0.4)元成反比例又当x0.65时，y0.8.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？收益用电量(实际电价成本价)解(1)y与(x0.4)成反比例，设y(k0)把x0.65，y0.8代入上式，得0.8，k0.2.y，即y与x之间的函数关系式为y.(2)根据题意，得(1)(x0.3)1(0.80.3)(120%)整理，得x21.1x0.30，解得x10.5，x20.6.经检验x10.5，x20.6都是所列方程的根x的取值范
19、围是0.550.75，故x0.5不符合题意，应舍去x0.6.当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.10提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)xv(x)可以达
20、到最大，并求出最大值(精确到1辆/时)解(1)由题意，当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb，再由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)(2)依题意并由(1)可得f(x)当0x20时，f(x)为增函数，故当x20时，其最大值为60201 200；当20x200时，f(x)x(200x)2，当且仅当x200x，即x100时，等号成立所以当x100时，f(x)在区间(20,200上取得最大值.综上，当x100时，f(x)在区间0,200上取得最大值3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时B组专项能力提升1某位股民购进某支
21、股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A略有盈利 B略有亏损C没有盈利也没有亏损 D无法判断盈亏情况答案B解析设该股民购这支股票的价格为a，则经历n次涨停后的价格为a(110%)na1.1n，经历n次跌停后的价格为a1.1n(110%)na1.1n0.9na(1.10.9)n0.99naa，故该股民这支股票略有亏损2某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表
22、折扣分别累计计算.可以享受折扣优惠金额折扣率不超过500元的部分5%超过500元的部分10%某人在此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元，则y关于x的解析式为y若y30元，则他购物实际所付金额为_元答案1 350解析若x1 300元，则y5%(1 300800)25(元)1 300.由10%(x1 300)2530，得x1 350(元)3某医院为了提高服务质量，对挂号处的排队人数进行了调查，发现：当还未开始挂号时，有N个人已经在排队等候挂号；开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M人假定挂号的速度是每个窗口每分钟K个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口
23、时，则15分钟后恰好不会出现排队现象根据以上信息，若要求8分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少应有_个答案4解析设要同时开放x个窗口才能满足要求，则由，得代入，得60M8M82.5Mx，解得x3.4.故至少同时开放4个窗口才能满足要求4某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)万元，当年产量不足80千件时，C(x)x210x(万元)；当年产量不少于80千件时，C(x)51x1 450(万元)通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部销售完(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在
24、这一商品的生产中所获利润最大？解(1)当0x80，xN*时，L(x)x210x250x240x250；当x80，xN*时，L(x)51x1 4502501 200(x)，L(x)(2)当0x950.综上所述，当x100时，L(x)取得最大值1 000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大5经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t(天)的函数，且日销售量近似地满足g(t)t(1t100，tN)前40天价格为f(t)t22(1t40，tN)，后60天价格为f(t)t52(41t100，tN)，试求该商品的日销售额S(t)的最大值和最小值解当1t40，tN时，S(t)g(t)f(t)(t)(t22)t22t(t12)2，所以768S(40)S(t)S(12).当41t100，tN时，S(t)g(t)f(t)(t)(t52)t236t(t108)2，所以8S(100)S(t)S(41).综上，S(t)的最大值为，最小值为8.