1、22 直接证明与间接证明22.1 综合法和分析法第二章 推理与证明 1.了解直接证明的两种基本方法综合法和分析法 2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题第二章 推理与证明综合法和分析法综合法分析法定义利用_和某些数学_、_、_等，经过一系列的_，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法从_的结论出发，逐步寻求使它成立的_，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、_、_、_等)，这种证明方法叫做分析法 已知条件定义定理公理推理论证要证明充分条件定理定义公理综合法分析法框图 表示PQ1 Q1Q2 Q2Q3 QnQ(P 表示已知条件
2、、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)QP1 P1P2 P2P3 得到一个明显成立的条件(Q 表示要证明的结论)特点顺推证法或由因导果法逆推证法或执果索因法1.综合法的特点(1)综合法是从原因推导出结果的思维方式，从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，其由因导果逐步推理的过程，实际上是寻找已知条件的必要条件(2)综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理等，通过演绎推理，一步一步完成命题的证明(3)用综合法证明题目，证明步骤严谨、逐层递进、步步为营、条理清晰、形式简洁、易于表达推理的思维过程2.分析法的特点(1)分析法的特点从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其推理过程是一
3、步步寻求使结论成立的充分条件(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定理、定义、公理等判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)综合法是执果索因的逆推证法()(2)分析法就是从结论推向已知()(3)分析法与综合法证明同一个问题时，一般思路恰好相反，过程相逆()答案：(1)(2)(3)已知 a，b，c 分别是ABC 的内角 A，B，C 的对边，且 a2b2c2ab，则角 C 的值为()A.3 B.6C.4D.2答案：A要证 a2b21a2b20，只需证明()A2ab1a2b20Ba2b21a4b420C.（ab）221a2b20D(a21)(b21)0解析：选 D.因
4、为 a2b21a2b20(a21)(b21)0，所以由分析法知选 D.若 0a1，0b2 ab，a2b22ab，又 ab(a2b2)a(1a)b(1b)0，所以 ab 最大 答案：ab探究点 1 综合法的应用 已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，an1n2n Sn(n1，2，3，)证明：(1)数列Snn 是等比数列；(2)Sn14an.【证明】(1)因为当 n2 时，an1Sn1Sn，an1n2n Sn，所以(n2)Snn(Sn1Sn)，整理得 nSn12(n1)Sn，所以 Sn1n12Snn.又当 n1 时，S1a11，a2121 S13，故 S2134，也满足 Sn1n12Snn.
5、所以数列Snn 是以 2 为公比的等比数列(2)由(1)知 Sn1n14 Sn1n1，且 ann1n1Sn1(n2)，于是 Sn14(n1)Sn1n14an(n2)又 a11，S244a1，适合上式 因此对于任意正整数 n，都有 Sn14an.综合法证明问题的步骤1如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，A1B1A1C1，D，E 分别是棱 BC，CC1 上的点(点 D 不同于点 C)，且 ADDE，F 为 B1C1 的中点求证：(1)平面 ADE平面 BCC1B1；(2)直线 A1F平面 ADE.证明：(1)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱，所以 CC1平面 ABC.因为 AD平面 A
6、BC，所以 CC1AD.因为 ADDE，CC1，DE平面 BCC1B1，CC1DEE，所以 AD平面 BCC1B1.因为 AD平面 ADE，所以平面 ADE平面 BCC1B1.(2)因为 A1B1A1C1，F 为 B1C1 的中点，所以 A1FB1C1.因为 CC1平面 A1B1C1，且 A1F平面 A1B1C1，所以 CC1A1F.因为 CC1，B1C1平面 BCC1B1，CC1B1C1C1，所以 A1F平面 BCC1B1.由(1)知 AD平面 BCC1B1，所以 A1FAD.因为 AD平面 ADE，A1F平面 ADE，所以 A1F平面 ADE.2已知 a0，b0，且 ab1，求证：4a1b
7、9.证明：因为 a0，b0，ab1，所以4a1b4（ab）aabb 44ba ab154ba ab524ba ab549.当且仅当4ba ab，即 a2b23时“”成立探究点 2 分析法的应用 已知ABC 三边 a，b，c 的倒数成等差数列，求证：B为锐角【证明】要证 B 为锐角，根据余弦定理，只需证 cos Ba2c2b22ac0，即证 a2c2b20.由于 a2c2b22acb2，要证 a2c2b20，只需证 2acb20.因为 a，b，c 的倒数成等差数列，所以1a1c2b，即 2acb(ac)要证 2acb20，只需证 b(ac)b20，即证 b(acb)0，上述不等式显然成立，所以
8、B 为锐角分析法证明数学问题的方法 已知 a，b，c 是正实数，求证：a2b2c23abc3.证明：要证a2b2c23abc3，只需证a2b2c23abc32，只需证 3(a2b2c2)a2b2c22ab2bc2ca，即证 2(a2b2c2)2ab2bc2ca，即证(ab)2(bc)2(ca)20，而这是显然成立的，所以a2b2c23abc3成立 探究点 3 综合法和分析法的综合应用 ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，其对边分别为 a，b，c.求证：(ab)1(bc)13(abc)1.【证明】法一：要证(ab)1(bc)1 3(abc)1，即证 1ab 1bc3abc，即证abcab
9、 abcbc 3，即证 cab abc1.只需证 c(bc)a(ab)(ab)(bc)，只需证 c2a2acb2.因为ABC 三个内角 A，B，C 成等差数列，所以 B60.由余弦定理，有 b2c2a22cacos 60，即 b2c2a2ac，c2a2acb2，此式即分析中欲证之等式，所以原式得证 法二：因为ABC 三个内角 A，B，C 成等差数列，所以 B60.由余弦定理，有 b2c2a22accos 60，得 c2a2acb2，两边同时加 abbc，得 c(bc)a(ab)(ab)(bc)，两边同时除以(ab)(bc)，得 cab abc1，所以cab1 abc1 3，所以 1ab 1bc
10、3abc，所以(ab)1(bc)13(abc)1.分析法与综合法是两种思路相反的推理方法，分析法是倒溯，综合法是顺推，分析法容易探路，综合法条理清晰，易于表达，但思路不太好想，因此在选择证明方法时，一定要有“综合性选取”意识，明确数学证明方法不是孤立的，应当善于将两种不同的证明方法结合在一起运用 1.已知sin cos 1，求证：sin6 cos6 1.证明：因为 sin6 cos6(sin2)3(cos2)3(sin2 cos2)(sin4 sin2 cos2 cos4)sin4 2sin2cos2cos43sin2cos2(sin2 cos2)23sin2cos2 13sin2cos2，所
11、以要证 sin6 cos6 1，只需证 sin2 cos2 0.将 sin cos 1 两边平方，得 2sin cos 0，所以 sin2 cos2 0，所以 sin6 cos6 1.2在某两个正数 x，y 之间插入一个数 a，使 x，a，y 成等差数列，插入两数 b，c，使 x，b，c，y 成等比数列，求证：(a1)2(b1)(c1)证明：由已知得2axy，b2cx，c2by，所以 xb2c，yc2b，即 xyb2c c2b，从而 2ab2c c2b.要证(a1)2(b1)(c1)，只需证 a1（b1）（c1）成立 只需证 a1（b1）（c1）2即可 也就是证 2abc.而 2ab2c c2
12、b，则只需证b2c c2bbc 成立即可，即证 b3c3(bc)(b2bcc2)(bc)bc，即证 b2c2bcbc，即证(bc)20 成立，上式显然成立，所以(a1)2(b1)(c1)1用分析法证明：欲使AB，只需C1.证明：因为 A，B 均为锐角，所以 cos A0，cos B0.要证 tan Atan B1，只需证sin Asin Bcos AcosB1，只需证 sin Asin Bcos Acos B，即证 cos Acos Bsin Asin B0，只需证 cos(AB)0.因为ABC 为锐角三角形，所以 90AB180，所以 cos(AB)1.知识结构深化拓展分析法与综合法的关系分析法与综合法的关系可表示为下图：从图中可以看出，逆向书写分析过程，同样可以完成证明，这就是综合法.由此使我们想到，用分析法探路，用综合法书写，也是一种很好的思维方式.本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放