1、第3讲平面向量考情解读(1)平面向量基本定理和向量共线定理是向量运算和应用的基础，高考中常以小题形式进行考查(2)平面向量的线性运算和数量积是高考的热点，有时和三角函数相结合，凸显向量的工具性，考查处理问题的能力1平面向量中的五个基本概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)(4)如果直线l的斜率为k，则a(1，k)是直线l的一个方向向量(5)向量的投影：|b|cosa，b叫做向量b在向量a方向上的投影2平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(
2、a0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数，使ba.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一组基底3平面向量的两个充要条件若两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)ababx1y2x2y10.(2)abab0x1x2y1y20.4平面向量的三个性质(1)若a(x，y)，则|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则cos .热点一平面向量的概念及线性运算例1(1)(2014福建改编)在下列向
3、量组中，可以把向量a(3,2)表示出来的是_e1(0,0)，e2(1,2)e1(1,2)，e2(5，2)e1(3,5)，e2(6,10)e1(2，3)，e2(2,3)(2)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若mn，则mn的取值范围是_思维启迪(1)即看哪个向量组可以作为基底(2)构造三点共线图形，得到平面向量的三点共线结论，将此结论与mn对应答案(1)(2)(1,0)解析(1)由题意知，中e10，选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选(事实上，a(3,2)2e1e2)(2)依题意，由点D是圆O外一点，可设(1)，则(1).又C，O，D三
4、点共线，令(1)，则(1，1)，所以m，n.故mn(1,0)思维升华对于平面向量的线性运算问题，要注意其与数的运算法则的共性与不同，两者不能混淆如向量的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定，灵活利用三角形法则、平行四边形法则同时，要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现(1)(2014陕西)设0，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，则tan _.(2)如图，在ABC中，AFAB，D为BC的中点，AD与CF交于点E.若a，b，且xayb，则xy_.答案(1)(2)解析(1)因为ab，所以sin 2cos2，2sin
5、cos cos2.因为00，得2sin cos ，tan .(2)如图，设FB的中点为M，连结MD.因为D为BC的中点，M为FB的中点，所以MDCF.因为AFAB，所以F为AM的中点，E为AD的中点方法一因为a，b，D为BC的中点，所以(ab)所以(ab)所以b(ab)ab.所以x，y，所以xy.方法二易得EFMD，MDCF，所以EFCF，所以CECF.因为ba，所以(ba)ab.所以x，y，则xy.热点二平面向量的数量积例2(1)如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，2，则_.(2)(2013重庆改编)在平面上，|1，.若|，则|的取值范围是_思维启迪(1)图O的半径为1，可对题中向量
6、进行转化，；(2)利用|，寻找，的关系答案(1)(2)解析(1)2，圆O的半径为1，|，()()2()()201.(2)，()()20，2.，.|1，21122()222(2)22，|，0|2，022，22，即|.思维升华(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算(1)(2014江苏)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_(2)已知点G是ABC的重心，若A120，2，则|的最小值是_答案(1)22(2)解析(1)由3，得，.因为2，所以()()2，即2
7、22.又因为225，264，所以22.(2)在ABC中，延长AG交BC于D，点G是ABC的重心，AD是BC边上的中线，且AGAD，|cos 1202，|4，2，()，2()22222|2(2)，2，|，|的最小值是.热点三平面向量与三角函数的综合例3已知向量a(cos ，sin )，b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，其中0x.(1)若，求函数f(x)bc的最小值及相应x的值；(2)若a与b的夹角为，且ac，求tan 2的值思维启迪(1)应用向量的数量积公式可得f(x)的三角函数式，然后利用换元法将三角函数式转化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及
8、对应的x值(2)由夹角公式及ac可得关于角的三角函数式，通过三角恒等变换可得结果解(1)b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，f(x)bccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x(sin xcos x)令tsin xcos x，则2sin xcos xt21，且1t.则yt2t12，1t，t时，ymin，此时sin xcos x，即sin，x，x，x，x.函数f(x)的最小值为，相应x的值为.(2)a与b的夹角为，cos cos cos xsin sin xcos(x)0x，0x，x.ac，
9、cos (sin x2sin )sin (cos x2cos )0，sin(x)2sin 20，即sin2sin 20.sin 2cos 20，tan 2.思维升华在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题已知向量a，b(cos x，1)(1)当ab时，求cos2xsin 2x的值；(2)设函数f(x)2(
10、ab)b，已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b2，sin B，求f(x)4cos(2A)(x0，)的取值范围解(1)ab，cos xsin x0，tan x.cos2xsin 2x.(2)f(x)2(ab)bsin，由正弦定理，可得sin A，A.f(x)4cossin，x0，2x，1f(x)4cos(2A).故所求范围为1，1当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易出错，向量 (其中O为任意一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量2根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|
11、ab|ab|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|ab|ab|等价于向量a，b互相垂直3两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线4平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中，在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题；解析几何中向量知识只是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何关系.真题感悟1(2014湖南)在平面直角坐标系中，O为原点，A(1,0)，
12、B(0，)，C(3,0)，动点D满足|1，则|的最大值是_答案1解析设D(x，y)，由(x3，y)及|1知(x3)2y21，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆又O(1,0)(0，)(x，y)(x1，y)，|.问题转化为圆(x3)2y21上的点与点P(1，)间距离的最大值圆心C(3,0)与点P(1，)之间的距离为，故的最大值为1.2(2014天津改编)已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，BEBC，DFDC.若1，则_.答案解析，()()22()4422()24()21.2().(1)(1)(1)22()(1)2()1，()1，即().由解得.押题精练1在Rt
13、ABC中，BCA90，CACB1，P为AB边上的点，且，若，则的取值范围是_答案，1解析因为()21cos 21，(1)2(1)，因为，所以212(1)，解得，又因为P为AB边上的点，所以01，所以1.2如图，在半径为1的扇形AOB中，AOB60，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则最小值是_答案解析因为，所以()()2.又因为AOB60，OAOB，所以OBA60.OB1.所以|cos 120|.所以|2(|)2.故当且仅当|时，最小值是.3已知向量m(sin x，cos x)，n(，)，xR，函数f(x)mn.(1)求f(x)的最大值；(2)在ABC中，设角A，B的对边分别为a，b，若B2
14、A，且b2af(A)，求角C的大小解(1)f(x)sin xcos xsin(x)，所以f(x)的最大值为.(2)因为b2af(A)，由(1)和正弦定理，得sin B2sin2A.又B2A，所以sin 2A2sin2A，即sin Acos Asin2A，而A是三角形的内角，所以sin A0，故cos Asin A，tan A，所以A，B2A，CAB.(推荐时间：60分钟)一、填空题1设向量a，b，则“|ab|a|b|”是“ab”的_条件答案充要解析设向量a，b的夹角为，若|ab|a|b|cos |a|b|，cos 1，则ab；若ab，则cos 1，从而|ab|a|b|cos |a|b|，“|a
15、b|a|b|”是“ab”的充要条件2已知向量(2,2)，(4,1)，点P在x轴上，取最小值时，点P坐标是_答案(3,0)解析依题意设P(x,0)，则(x2，2)，(x4，1)，所以(x2)(x4)2x26x10(x3)21，当x3时取得最小值1，此时点P坐标为(3,0)3已知|a|1，|b|2，a，b，则|ab|_.答案解析|ab|2a2b22ab142|a|b|cosa，b52127，所以|ab|.4(2013福建改编)在四边形ABCD中，(1,2)，(4,2)，则该四边形的面积为_答案5解析0，ACBD.四边形ABCD的面积S|25.5等腰直角三角形ABC中，A，ABAC2，M是BC的中点
16、，P点在ABC内部或其边界上运动，则的取值范围是_答案2,0解析以点A为坐标原点，射线AB，AC分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则B(2,0)，M(1,1)设P(x，y)，由于点P在ABC内部或其边界上运动，故x0，y0且xy2，(x2，y)(1,1)x2y，所以的取值范围是2,06若点M是ABC所在平面内的一点，且满足53，则ABM与ABC的面积比为_答案解析设AB的中点为D，由53，得3322，即32.如图所示，故C，M，D三点共线，且，也就是ABM与ABC对于边AB的两高之比为35，则ABM与ABC的面积比为.7在RtABC中，AB1，BC2，AC，D在边BC上，BD，则_.
17、答案解析RtABC中，AB1，BC2，AC，BAC90，BD，BC2，得到，()，()2012.8(2014课标全国)已知A，B，C为圆O上的三点，若()，则与的夹角为_答案90解析()，点O是ABC中边BC的中点，BC为直径，根据圆的几何性质有，90.9已知e1，e2为相互垂直的单位向量，若向量e1e2与e1e2的夹角等于60，则实数_.答案2解析因为e1，e2为相互垂直的单位向量，则不妨设e1，e2分别为直角坐标系中x，y轴的正方向的单位向量，则向量e1e2与e1e2的坐标为(，1)，(1，)，因为向量e1e2与e1e2的夹角等于60，所以由向量数量积的定义可得cos 602.10.给定两
18、个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动若xy，其中x、yR，则xy的最大值是_答案解析设AOC，则COB90，cos sin ，即xycos sin sin.二、解答题11.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为，|OB|2，设AOB，.(1)用表示点B的坐标及|OA|；(2)若tan ，求的值解(1)由题意，可得点B的坐标为(2cos ，2sin )在ABO中，|OB|2，BAO，B.由正弦定理，得，即|OA|2sin.(2)由(1)，得|cos 4sincos .因为tan ，所以sin ，cos .又sinsin
19、cos cos sin ，故4.12已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量m(cos B,2cos21)与向量n(2ab，c)共线(1)求角C的大小；(2)若c2，SABC2，求a，b的值解(1)m(cos B，cos C)，mn，ccos B(2ab)cos C，sin Ccos B(2sin Asin B)cos C，sin A2sin Acos C，cos C，C(0，)，C.(2)c2a2b22abcos C，a2b2ab12，SABCabsin C2，ab8，由得或13在ABC中，AC10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD5，且满足.(1)求|；(2)存在实数t1，使得向量xt，yt，令kxy，求k的最小值解(1)由，且A，B，D三点共线，可知|.又AD5，所以DB11.在RtADC中，CD2AC2AD275，在RtBDC中，BC2DB2CD2196，所以BC14.所以|14.(2)由(1)，知|16，|10，|14.由余弦定理，得cos A.由xt，yt，知kxy(t)(t)t|2(t21)t|2256t(t21)1610100t80t2356t80.由二次函数的图象，可知该函数在1，)上单调递增，所以当t1时，k取得最小值516.
