1、北京市第三十一中学2021届高三数学上学期期中试题（含解析）（本试卷满分150分 考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个正确答案）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解不等式求得集合，再求交集即可。【详解】因为故可得.故选：A2. 下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：因为A项是奇函数，故错，C，D两项项是偶函数，但在上是减函数，故错，只有B项既满足是偶函数，又满足在区间上是增函数，故选B考点：函数的奇偶性，单调性3. 如果，那么下列不等式成立的是
2、（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用对数函数，指数函数和幂函数的单调性，逐个选项判断即可求解【详解】对于A，根据对数函数的单调性可得，A错；对于B，根据指数函数的单调性和可得，B错；对于C，根据幂函数的单调性，为定义域为的单调递增函数，C错；对于D，则有，两边同时乘以得，D正确；故选：D4. 函数yax(a0，且a1)的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】就、分类讨论可得正确的选项.【详解】当时，增函数，当时，且，故A,B 不符合.当时，为减函数，当时，故C不符合，D符合.故选：D.【点睛】本题考查与指数函数有关的函数图象的识别，注意根据底
3、数合理分类，并结合特殊点处的函数值的符号与大小进行判断，本题属于基础题.5. 若，则“”是“”的（ ）.A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，所以“”是“”的必要而不充分条件.考点：充分条件与必要条件.6. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线与轴正半轴所成的最小正角为，则等于( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设直线直线与轴正半轴所成最小正角为，由任意角的三角函数的定义可以求得的值，依题有,则，利用诱导公式即可得到答案.【详解】如图，设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为因为点在角的终
4、边上，所以依题有,则，所以，故选：A【点睛】本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题.7. 已知函数，且关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】转化条件为函数的图象与直线有且仅有一个交点，数形结合即可得解.【详解】若要使方程即有且只有一个实数根，则函数的图象与直线有且仅有一个交点，在同一坐标系中作出函数及的图象，如图，数形结合可得，若函数图象与直线有且仅有一个交点，则，所以实数的取值范围为.故选：B.【点睛】方法点睛：解决函数零点(方程有根)的问题常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（
5、2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.8. 在声学中，声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由得，分别算出和的值，从而得到的值.【详解】，当时，当时，故选：D.【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.）9. 若，则的定义域为_.【答案】【解析】【分析】使表达式有意义，解不等式组即可.【详解】由题，解得，即，
6、故答案为：.【点晴】此题考函数定义域的求法，属于简单题.10. 已知，则的大小关系为_.【答案】【解析】因为 ， ，由得 ，所以 ，故填.11. 已知，则的最小值为_【答案】6【解析】【分析】转化条件为，由基本不等式即可得解.【详解】因为，所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为6.故答案为：6.12. 已知函数， 若，且在上单调递增，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由代入运算可得，再由分段函数、指数函数的单调性即可得解.【详解】因为函数，所以，解得，又上单调递增，所以，解得.故答案为：.13. 若是定义在上的奇函数，当时，则_【答案】【解析】【分析】转化条件为，进而可得，再由奇函
7、数的性质即可得解.【详解】，又是定义在上的奇函数，且当时，.故答案为：.14. 某公园划船收费标准如下：船型两人船（限乘2人）四人船（限乘4人）六人船（限乘6人）每船租金（元/小时）90100130某班16名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，每只租船必须坐满，租船最低总费用为_元，租船的总费用共有_种可能【答案】 (1). 360 (2). 10【解析】【分析】由题意直接列举出所有可能即可得解.【详解】由题意，当租两人船时，租金为元，当租四人船时，租金为元，当租一条两人船、两条四人船、一条六人船时，租金为元，当租两条两人船、三条四人船时，租金为元，当租两条两人船、两条六人船时，
8、租金为元，当租三条两人船、一条四人船、一条六人船时，租金为元，当租四条两人船、两条四人船时，租金为元，当租五条两人船、一条六人船时，租金为元，当租六条两人船、一条四人船时，租金为元，当租一条四人船、两条六人船时，租金为元.所以租船最低总费用为360元，租船的总费用共有10种可能.故答案为：360；10.三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)15. 已知，（）求的值（）求的值【答案】（1）；（2）【解析】【详解】（），（）由，得，16. 为了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取100名学生，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）的数据
9、，绘制图表的一部分如下0，5）5，10）10，15）15，20）20，25）25，30）性别男69101094女51213868学段初中x81111107高中（）从男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在10，20）的概率；（）从参加公益劳动时间25，30）的学生中抽取3人进行面谈，记X为抽到高中的人数，求X的分布列；（）当时，高中生和初中生相比，那学段学生平均参加公益劳动时间较长（直接写出结果）【答案】（）；（）见解析；（）初中生.【解析】【分析】（）由表中数据，结合古典概型概率公式即可得解；（）由超几何分布概率公式可求得，进而可得分布列；（）由表中数据，分析各时间段内初高中生的人数
10、即可得解.【详解】（）抽取的100名学生中，男生有名，其中公益劳动时间在的有名，故所求概率；（）参加公益劳动时间的学生有12人，其中初中生7人，高中生5人，X的所有可能取值为，所以X的分布列为：X0123P（）由表格信息可得，初中生平均参加公益劳动时间较长.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是有效提取表格中的数据，熟练掌握超几何分布的适用条件及概率公式.17. （1）已知，若，且图象在点处的切线方程为，求的值.（2）求函数在上的极值.【答案】（1），；（2）极大值为，极小值为.【解析】【分析】（1）由导数几何意义结合切点在切线上，列方程即可得解；（2）对函数求导，求得函数的单调区间后，结合极值
11、的概念即可得解.【详解】（1）因为，所以即，由可得，因为图象在点处的切线方程为，所以，即，所以，；（2）由可得，所以当时，；当时，；所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，所以函数在上的极大值为，极小值为.18. 某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区（人数众多）随机选取了位患者和位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如下：（1）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率；（2）从该地区患者中随机选取人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以表示检测结果为阳性的患者人数，利用（1）中所得概率，求的
12、分布列和数学期望；（3）假设该地区有万人，患病率为.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过？并说明理由.【答案】（1）（2）详见解析（3）此人患该疾病的概率未超过，理由见解析【解析】【分析】（1）直接用古典概型的概率公式计算可得答案；（2）可知随机变量服从二项分布，即，其中，根据二项分布的概率公式可得分布列和数学期望；（3）根据患病率为可知10万人中由99000人没患病，1000人患病，没患病检测呈阳性的有990人，患病的检测呈阳性的950人，共有990+950=1450人呈阳性，所其中只有950人患病，所以患病率为，由此可得答案.【详解
13、】（1）由题意知，位患者中有位用该试剂盒检测一次，结果为阳性.所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率估计为.（2）由题意可知，其中，.的所有可能的取值为，.，.所以的分布列为故的数学期望.（3）此人患该疾病的概率未超过.理由如下：由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为，其中患者人数为.若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为.所以此人患该疾病的概率未超过.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了二项分布的概率公式、分布列、数学期望，属于中档题.19. 已知函数，（），（1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a
14、,b的值（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间（-，-1上的最大值【答案】（1）（2）见解析【解析】【详解】（1），曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，（2）令，当时，令，得时，的情况如下：x+0-0+所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为当，即时，函数在区间上单调递增，在区间上的最大值为，当即时，函数在区间内单调递增，在区间上单调递减，在区间上的最大值为当，即a6时，函数在区间内单调递赠，在区间内单调递减，在区间上单调递增又因为所以在区间上的最大值为20. 设函数其中（1）若曲线在点处切线的斜率为1，求的值;（2）已知导函数在区间上存在零点，证明:当时，.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由导数的几何意义运算即可得解；（2）结合导函数的零点可得，再由函数的单调性，进而可转化条件为，设，通过导数证明即可得证.【详解】（1）因为，所以，所以，解得；（2）证明：由题意，因为导函数在区间上存在零点， 设零点为，则，所以在上单调递减，在上单调递增，故，设，则，设，则，单调递减，又，故在上恒成立，故单调递减，所以，故当时，.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导函数的零点即函数的极值点转化条件为证明.