1、二 推理与证明模块复习提升课1推理推理合情推理归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有某些 特征，推出该类事物的全部对象都 具有这些特征的推理，或者由个别事 实概括出一般结论的推理特点：是由部分到整体、由个别到一般 的推理类比推理定义：由两类对象具有某些类似特征 和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征 的推理特点：是由特殊到特殊的推理演绎推理模式：三段论a.大前提已知的一般原理；b.小前提所研究的特殊情况；c.结论根据一般原理，对特殊情况 做出的判断特点：是由一般性命题到特殊性命题的推理2证明(1)直接证明综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的
2、推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件实质由因导果执果索因综合法分析法框图 表示PQ1 Q1Q2 QnQQP1 P1P2 得到一个明显成立的条件文字 语言因为所以或由得要证只需证即证(2)间接证明反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法1演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性2用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常
3、常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论 P，再说明所要证明的数学问题成立3利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的主题 1 合情推理的应用(1)观察下列一组等式123n12n(n1)1223n(n1)13n(n1)(n2)123234n(n1)(n2)14n(n1)(n2)(n3)猜想：12342345n(n1)(n2)(n3)_(2)已知命题：若数列an为等差数列，且 ama，anb(mn，m，nN*)，则 amnbnamnm.现已知数列bn(bn0，nN*)为等比数列，且 bma，bnb(mn，m，nN*)，若类比上述结论，
4、则可得到 bmn_【解析】(1)归纳可得此式是15与 n(n1)(n2)(n3)(n4)的积(2)在等差数列an中，设公差为 d，则amnamndand，amnanmdbmd，所以 amnbnamnm.在等比数列bn中，设公比为 q，则bmnbmqnaqn，bmnbnqmbqm，所以 bmnnm bnam.【答案】(1)15n(n1)(n2)(n3)(n4)(2)nm bnam(1)归纳推理的特点及一般步骤(2)类比推理的特点及一般步骤 1.观察下列图形中小正方形的个数，则第 n 个图形中有_个小正方形解析：设第 n 个图形中小正方形的个数为 Sn，观察图形，当 n1 时，S121；当 n2
5、时，S2321；当 n3 时，S34321；当 n4 时，S454321；当 n5 时，S5654321；，可得 Sn(n1)n(n1)3211（n1）（n1）2n23n22.答案：n23n222若数列an为等差数列，Sn 为其前 n 项和，则有性质“若 SmSn(m，nN*且 mn)，则 Smn0.”类比上述性质，相应地，当 数 列 bn 为 等 比 数 列 时，写 出 一 个 正 确 的 性 质：_解析：在等差数列中，若 SmSn，不妨设 mn，则 am1am2an0，即 am1an0.所以 Smna1amn2(mn)am1an2(mn)0，相应地，在等比数列中，设 Tm 表示等比数列bn
6、前 m 项的积，若 TmTn，不妨设 m0.只需证 4cos 11cos，即证 411cos 4(1cos)因为 1cos 0，所以11cos 4(1cos)211cos 4（1cos）4，当且仅当 cos 12，即 3时取等号，所以 411cos 4(1cos)成立，所以不等式 2sin 2sin 1cos 成立 法二：(综合法)因为11cos 4(1cos)4，当且仅当 cos 12，即 3时取等号，所以 4cos 11cos.因为(0，)，所以 sin 0，所以 4sin cos sin 1cos，所以 2sin 2sin 1cos.综合法和分析法的特点(1)综合法和分析法是直接证明中最
7、基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式(2)分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件 1.设 x，y 为正实数且 xy1，求证：(11x)(11y)9.证明：左边(1xyx)(1xyy)(2yx)(2xy)42(yxxy)1549.所以原不等式成立2当 a2 时，求证：a1 a a1 a2.证明：要证 a1
8、a a1 a2，只需证 a1 a2 a a1，只需证(a1 a2)2(a a1)2，只 需 证 a 1 a 2 2（a1）（a2）a a 1 2 a（a1），只需证（a1）（a2）a（a1），只需证 a2a2a2a，只需证20.因为20 显然成立，所以 a1 a2，则 a2b，所以 a3(2b)3812b6b2b3，即 a3b3812b6b2.因为 a3b32，所以 812b6b22，化简得 b22b10，即(b1)22，则 a3b3(ab)(a2abb2)2(a2abb2)因为 a3b32，所以 22(a2abb2)，即 a2abb2a2b22ab，从而 ab1，所以 a2b21ab2，故(
9、ab)2a2b22ab2ab24，即2ab2 矛盾，所以假设不成立，故当 a3b32 时，ab2.(1)反证法的证题思想 反证法是一种间接证明命题的方法，它的理论基础是互为逆否的两个命题等价，反证法反映了“正难则反”的证题思想(2)反证法的证题步骤 已知 ac2(bd)求证：方程 x2axb0 与方程 x2cxd0 中至少有一个方程有实数根证明：假设两方程都没有实数根，则 1a24b0 与 2c24d0，所以 a2c22ac，即acmn 成立的充要条件是()Am，n 都等于 1Bm，n 都不等于 2Cm，n 都大于 1Dm，n 至少有一个等于 1解析：选 D.因为 mnmn，所以(m1)(n1
10、)0，且 a1)(1)523 请你推测 g(5)能否用 f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广解：(1)由 f(3)g(2)g(3)f(2)a3a32a2a22a3a32a2a22a5a52，又 g(5)a5a52，因此 g(5)f(3)g(2)g(3)f(2)(2)由 g(5)f(3)g(2)g(3)f(2)，即 g(23)f(3)g(2)g(3)f(2)，于是推测 g(xy)f(x)g(y)g(x)f(y)证明：因为 f(x)axax2，g(x)axax2.所以 g(xy)axya（xy）2，g(y)ayay2，f(y)ayay2，所以 f(x)g(y)g(x)f(y)axax2ayay2axax2ayay2axya（xy）2g(xy)本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放