数学苏教版必修3名师导航 3.doc

1、7.3几何概型名师导航三点剖析 一、几何概型的定义 在古典概型中，利用等可能性的概念，成功地计算了某一类问题的概率；不过，古典概型要求可能结果的总数必须有限.这不能不说是一个很大的限制，人们当然要竭力突破这个限制，以扩大自己的研究范围.因此历史上有不少人企图把这种做法推广到有无限多个结果而又有某种等可能性的场合.这类问题一般可以通过几何方法来求解. 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，

2、称为几何概型.对于这一定义也可以作以下理解：设在空间上有一区域D，又区域d包含在区域D内（如图7-3所示），而区域D与d都是可以度量的（可求面积、长度、体积等），现随机地向D内投掷一点M，假设点M必落在D中，且点M可能落在区域D的任何部分,那么落在区域d内的概率只与d的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与d的位置和形状无关.具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型.图7-3 二、几何概型的概率计算 1几何概型的概率计算公式 一般地，在几何区域D中随机地抽取一点，记“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率 P(A)= 这里要求D的测度不为0，其中“测度”的意义依D确定，

3、当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等. 2几何概型的概率的取值范围 同古典概型概率的取值范围一样,几何概型的概率的取值范围也是0P(A)1这是因为区域d包含在区域D内，则区域d的“测度”不大于区域D的“测度”.当区域d的“测度”为0时，事件A是不可能事件，此时P(A)=0；当区域d的“测度”与区域D的“测度”相等时，事件A是必然事件，此时P(A)=1 3求古典概型概率的步骤： （1）求区域D的“测度”； （2）求区域d的“测度”； （3）代入计算公式.问题探究 问题1:利用几何概型求概率应注意哪些问题？ 探究：应该注意到: （1）几何型适用于试验结果是无

4、穷多且事件是等可能发生的概率类型； （2）几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目； （3）公式为P(A)= ； （4）计算几何概率要先计算基本事件总体与事件A包含的基本事件对应的长度（角度、面积、体积）.问题2:如图7-4所示,设M为线段AB的中点，在AB上任取一点C，则AC、CB、AM三个线段能否构成三角形？若能构成三角形，则构成三角形的概率是多少？图7-4 探究：由于C点是线段AB上的任意点，所以这三条线段有可能构成三角形.又由于点C落在AB上的哪个位置都是随机的、等可能的，故此问题属于几何概型.把“能构成三角形”记为事件A由于构成三角形的条件是两边之和大于第三边且两边之差小于第

5、三边，而点C在线段AB上，则AC+CB=ABAM，所以要AC、CB、AM三个线段能构成三角形只需|AC-BC|AM即可.如图75所示，分别取AM和MB的中点D、E，则当点C落在线段DE上时能满足条件|AC-BC|AM，由于D、E分别为AM和MB的中点，所以DE= AB所以，在AB上任取一点C，AC、CB、AM三个线段能构成三角形的概率为.图7-5 问题3: 两人相约8点到9点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可离去，这两人能会面的概率是多少呢？探究：本题中两人在8点到9点之间任意一个时刻会面是等可能的，所以本题的概率模型是一个几何概型.本题解题的关键是找出两人能会面的条件，并根据条件

6、将两人能会面的区域的面积求出.以x、y分别表示两人到达的时刻，则两人能会面的条件为|x-y|20.这是一个几何概率问题，可能的结果全体是边长为60的正方形里的点，能会面的点的区域用阴影标出（如图7-6所示）.正方形的面积可视为区域D，阴影部分的面积可视为区域d,所求概率为.图7-6精题精讲例1公共汽车每隔15分钟来一辆，假定乘客在接连两辆车之间的任何时刻随机地到达停车站，试求乘客候车不超过5分钟的概率.思路解析因为公共汽车每隔15分钟来一辆，乘客在015分钟之间任何一个时刻到达车站是等可能的，所以乘客在哪个时间段到达车站的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关.这符合几何概型的条件

7、. 答案：设A=候车的时间不超过5分钟，我们所关心的事件A恰好是乘客到达车站的时刻,位于1015时间段内，因而由几何概型的概率公式得,即“乘客候车不超过5分钟”的概率是.绿色通道分清“古典概型”与“几何概型”的区别和联系.古典概型和几何概型中的基本事件的发生都是等可能的，所不同的是古典概型中基本事件的个数是有限多个，而几何概型中的基本事件的个数是无穷多个.例2假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：307：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7：008：00之间，问你父亲在离开家之前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？思路解析利用几何概型正概率公式求解.图7-7 答案：如

8、图7-7所示,正方形区域内任取一点的横坐标表示送报人到达的时间，纵坐标表示父亲离开家去工作的时间.假设随机试验落在正方形内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件，根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前得到报纸，即事件A发生，所以=87.5%.例3已知关于x的方程ax2ax+a3=0. （1）若方程有两实根，求a的范围； （2）在（1）的前提下，任取一实数a，方程有两正根的概率是多少?思路解析先利用判别式和韦达定理分别求出方程有两个根、两个正根时a的范围，再根据几何概型的概率公式求解. 答案：（1）方程有两实根的条件是a0，a24a（a3）0，即00，即3a4. 设数轴上与数0、3、4对应的点分别是A、B、C，由于实数与数轴上的点是一一对应的，可以认为几何区域是线段AC，“方程有正实根”的几何区域为线段BC .故所求概率为.绿色通道把“几何区域”推广到“区间”，这点是容易理解的，因为一个数的集合的区间与数轴上的线段是一一对应的，几何测度就是区间的长度.