1、考点28 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、选择题1. (2014湖北高考文科T4)若变量x,y满足约束条件则2x+y的最大值是()A.2B.4C.7D.8【解题提示】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域,再用角点法,求出目标函数的最大值.【解析】选C. 满足约束条件的可行域如下图中阴影部分所示：目标函数z=2x+y,即y=-2x+z,显然,当直线经过点B时z的值最大,最大值为7.2.(2014广东高考文科T4)若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值等于()A.7 B.8 C.10 D.11【解题提示】画出可行域,标出边界点,目标函数对应动直线的斜率为-2.【解析】选C
2、.作出可行域OABCD是34的矩形去掉一个12的直角三角形,其中B(2,3),C(4,2),所以当动直线z=2x+y经过点C(4,2)时取得最大值10.3.(2014广东高考理科)若变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n=()A.5B.6C.7D.8【解题提示】画出可行域,标出边界点,目标函数对应动直线的斜率为-2.【解析】选B.如图,可行域是以A,B(-1,-1),C(2,-1)为顶点的等腰直角三角形,所以当动直线z=2x+y经过点C(2,-1)时取得最大值3,经过点B(-1,-1)时取得最小值-3,所以m-n=6.4.（2014福建高考文科11）11已知
3、圆，设平面区域，若圆心,且圆C与x轴相切，则的最大值为 （ ）【解题指南】画出可行域，发现最优解【解析】由圆C 与x 轴相切可知，b=1又圆心C（a,b）在平面区域（如图2）内，由，解得；由，解得故所以当时，取最大值为375. （2014山东高考理科9）已知满足约束条件当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（ ）A、5 B、4 C、 D、2【解题指南】 本题考查了简单的线性规划问题，再利用两点间距离公式的几何意义求解.【解析】选B.解方程组求得交点为，则，的最小值即为在直线上找一点使得它到原点的距离平方最小.即求点到直线的距离的平方为.6. （2014山东高考文科10）与(2014山
4、东高考理科9）相同已知满足约束条件当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（ ）A、5 B、4 C、 D、2【解题指南】 本题考查了简单的线性规划问题，再利用两点间距离公式的几何意义求解.【解析】选B.解方程组求得交点为，则，的最小值即为在直线上找一点使得它到原点的距离平方最小.即求点到直线的距离的平方为.7. （2014天津高考文科2同2014天津高考理科2）设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【解析】选B. 由得。作出可行域如图，A平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最小，此时最小，由，得，即代入，得. 8.（2014安徽高
5、考理科5）满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（ ）A, B. C.2或1 D.【解题提示】 画出线性约束条件的图像，数形结合判断。【解析】选D.由线性约束条件可得其图象如图所示，由图象可知直线经过AB或AC时取得最大值的最优解不唯一，此时a=2或-19. (2014新课标全国卷高考文科数学T9) 设x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值为()A.8 B.7C.2 D.1【解题提示】结合约束条件,画出可行域,然后将目标函数化为斜截式,平移得最大值.【解析】选B.画可行区域知为三角形,可以代值.两两求解,得三点坐标(1,0),(3,2),(0,1).代入z=x+2y,则最大值
6、为7.故选B.10. (2014新课标全国卷高考理科数学T9)设x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为 ()A.10B.8C.3D.2【解题提示】结合约束条件,画出可行域,然后将目标函数化为斜截式,平移得最大值.【解析】选B.画出区域,可知区域为三角形,经比较斜率,可知目标函数z=2x-y在两条直线x-3y+1=0与x+y-7=0的交点(5,2)处,取得最大值z=8.故选B.二、填空题1 （2014湖南高考理科14）若变量满足约束条件，且的最小值为6，则 【解题提示】画出可行域，把最值点带入解方程。【解析】如图，画出可行域，当运动到过点时，目标函数取得最小值-6，所以.答案：2. （201
7、4 湖南高考文科13）若变量满足约束条件，则的最大值为_.【解题提示】画出可行域，把最值点带入求解。【解析】如图，画出可行域，当运动到过点时，目标函数取得最小值7。答案：73.（2014福建高考理科11）若变量满足约束条件则的最小值为_【解题指南】先画好可行域，对于线性规划问题，可以考虑直接将可行域的几个端点坐标直接代入计算。【解析】画出可行域，三个端点分别为,将坐标代入,可得【答案】14. （2014浙江高考文科12）若实数满足，则的取值范围是_；【解析】作出不等式组所表示的区域，如图所示：令，解方程组 得 ， 解方程组 得 平移直线，经过点使得取最大值，即，当直线经过点B时，取最小值，即，
8、所以的取值范围是.答案：5.（2014浙江高考理科13）当实数，满足时，恒成立，则实数的取值范围是_.【解析】作出不等式组所表示的区域，由得，由图可知，且在点取得最小值，在点取得最大值，所以，故的取值范围为答案：6. （2014辽宁高考文科1）已知满足约束条件则目标函数的最大值为_.【解析】画出约束条件对应的平面区域，如图，将目标函数化为，显然直线过点时，目标函数取得最大值，.答案：【误区警示】避免将二元一次不等式表示的区域搞错,弄清楚直线的斜率的大小与倾斜程度的关系7. （2014浙江高考文科12）若实数满足，则的取值范围是_；【解析】作出不等式组所表示的区域，如图所示：令，解方程组得，解方
9、程组得平移直线，经过点使得取最大值，即，当直线经过点B时，取最小值，即，所以的取值范围是.答案：8.（2014安徽高考文科13）不等式组表示的平面区域的面积为_【解题提示】正确画出平面区域的可行域是一个三角形，再数形结合计算面积。【解析】如图所示可得点A(0，2)，B(2，0),C(8，-2)，根据图像计算可得。答案： 4三、解答题1.(2014陕西高考文科T18)(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在ABC三边围成的区域(含边界)上,且=m+n.(m,nR).(1)若m=n=,求.(2)用x,y表示m-n,并求m-n的最大值
10、.【解题指南】(1)先利用点的坐标求得向量坐标,代入已知关系式,再利用向量模的公式解得所求.(2)利用已知转化求得m-n与x,y的关系,再利用平面直角坐标系中简单的线性规划问题求其最值.【解析】(1)因为m=n=,=(1,2),=(2,1), 所以=+=(1,2)+(2,1)=(2,2),所以|=2.(2)因为=m+n, 所以(x,y)=(m+2n,2m+n), 所以两式相减得,m-n=y-x,令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,2)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.2.(2014陕西高考理科T18)(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3
11、),C(3,2),点P(x,y)在ABC三边围成的区域(含边界)上.(1)若+=0,求.(2)设=m+n(m,nR),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.【解题指南】(1)先利用点的坐标求得向量坐标,代入已知关系式得点P坐标,再利用向量模的公式解得所求.(2)利用已知转化求得m-n与x,y的关系,再利用平面直角坐标系中简单的线性规划问题求其最值.【解析】(1)因为+=0,又+=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),所以解得x=2,y=2, 即=(2,2),故|=2.(2)因为=m+n, 所以(x,y)=(m+2n,2m+n), 所以两式相减得,m-n=y-x,令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,2)时,t取得最大值1, 故m-n的最大值为1.