1、2007届广东深圳市学高考数学（理科）模拟试题 一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1设全集U = R ，A =，则UA=（ ）A B.x | x 0 C.x | x0 D.02是“函数的最小正周期为”的 ( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件3 在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，中，第25项为（ ）A25B6C7D84.设两个非零向量不共线，若与也不共线，则实数k的取值范围为（） A B C D5.曲线和直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，则|P
2、2P4|等于（ ） A B2 C3 D4 6右图为函数 的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是（ ）A1 B 0 , n 1 C 0 , 0 n 1 D 0 , 0 n 17一水池有2个进水口，1 个出水口，进出水速度如图甲、乙所示. 某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）给出以下3个论断：0点到3点只进水不出水；3点到4点不进水只出水； 4点到6点不进水不出水.则一定能确定正确的论断是 A B C D8.下列程序执行后输出的结果是( C ) n=5 s=0 WHILE s14s=s+nn=n-1WANDPRINT nENDA、-1 B、0 C、1 D、2二、填空
3、题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案写在横线上） 9、某市高三数学抽样考试中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图 如图所示，若130-140分数段的人数为90人，则90-100分数段的人数为 10 11已知i， j为互相垂直的单位向量，a = i 2j， b = i + j，且a与b的夹角为锐角，则实数的取值范围是 12已知函数,对任意实数满足且则 . 13符号表示不超过的最大整数，如，定义函数，那么下列命题中正确的序号是 （1）函数的定义域为R，值域为； （2）方程，有无数解；（3）函数是周期函数； （4）函数是增函数.14.在平面直角坐标系中，已知曲线c：
4、，（）则曲线c关于y=x对称的曲线方程是 三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（本题满分分）已知， （）求的值；（）求的值16（本题满分分）在一个盒子中，放有标号分别为，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，记（）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；（）求随机变量的分布列和数学期望 17（本题满分分）如图，已知正三棱柱的底面边长是，是侧棱的中点，直线与侧面所成的角为 （）求此正三棱柱的侧棱长；（） 求二面角的大小；（）求点到平面的距离18（本小题满分14分）一束光线从点出发，经直线上一点反射后，恰好穿过点
5、（）求点关于直线的对称点的坐标；（）求以、为焦点且过点的椭圆的方程；（）设直线与椭圆的两条准线分别交于、两点，点为线段上的动点，求点 到的距离与到椭圆右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点的坐标19（本题满分分）已知数列满足：且（）求，的值及数列的通项公式；（）设，求数列的前项和；20（本题满分分）已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、（）设，试求函数的表达式； （）是否存在，使得、与三点共线若存在，求出的值；若不存在，请说明理由（）在（）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，使得不等式成立，求的最大值2007届广东深圳市学高考数学（理科）模拟试题参考答案一、 选
6、择题：1. 答案：C. x | x0,故选C.2.C3. （理）对于中，当n时，有所以第项是选C.4.D5.，根据题意作出函数图象即得选A6. 答案：当x=1时，ym ,由图形易知m0, 又函数是减函数，所以0n1,故选7.A8.C二、填空题：9.81010答案： 11. 答案：.12.13. （2）、（3）14.15（本题满分分）已知， （）求的值；（）求的值解：（）由, ， 2分 5分（） 原式 10分 12分16（本题满分分）在一个盒子中，放有标号分别为，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，记（）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；（）求随机
7、变量的分布列和数学期望解：（）、可能的取值为、， ，且当或时， 3分因此，随机变量的最大值为有放回抽两张卡片的所有情况有种， 答：随机变量的最大值为，事件“取得最大值”的概率为 5分（）的所有取值为时，只有这一种情况， 时，有或或或四种情况，时，有或两种情况 ， 11分则随机变量的分布列为：因此，数学期望 13分 17（本题满分分）如图，已知正三棱柱的底面边长是，是侧棱的中点，直线与侧面所成的角为 （）求此正三棱柱的侧棱长；（） 求二面角的大小；（）求点到平面的距离解：（）设正三棱柱的侧棱长为取中点，连是正三角形，又底面侧面，且交线为侧面连，则直线与侧面所成的角为 2分在中，解得 3分此正三棱
8、柱的侧棱长为 4分 注：也可用向量法求侧棱长（）解法1：过作于，连，侧面为二面角的平面角 6分在中，又， 又在中， 8分故二面角的大小为 9分解法2：（向量法，见后）（）解法1：由（）可知，平面,平面平面，且交线为，过作于，则平面 10分在中， 12分为中点，点到平面的距离为 13分解法2：（思路）取中点，连和，由，易得平面平面，且交线为过点作于，则的长为点到平面的距离解法3：（思路）等体积变换:由可求解法4：（向量法，见后）题（）、（）的向量解法：（）解法2：如图，建立空间直角坐标系则设为平面的法向量由 得取 6分又平面的一个法向量 7分 8分结合图形可知，二面角的大小为 9分（）解法4：由
9、（）解法2，10分点到平面的距离13分18 （本小题满分14分）一束光线从点出发，经直线上一点反射后，恰好穿过点（）求点关于直线的对称点的坐标；（）求以、为焦点且过点的椭圆的方程；（）设直线与椭圆的两条准线分别交于、两点，点为线段上的动点，求点 到的距离与到椭圆右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点的坐标解：（）设的坐标为，则且2分解得， 因此，点 的坐标为 4分（），根据椭圆定义，得，5分，所求椭圆方程为 7分（），椭圆的准线方程为 8分设点的坐标为,表示点到的距离，表示点到椭圆的右准线的距离则， 10分令，则，当， ， 在时取得最小值 13分因此，最小值，此时点的坐标为14分注：的最
10、小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得说明：求得的点即为切点，的最小值即为椭圆的离心率19（本题满分分）已知数列满足：且，（）求，的值及数列的通项公式；（）设，求数列的前项和；解：（）经计算， 当为奇数时，即数列的奇数项成等差数列，； 当为偶数，即数列的偶数项成等比数列， 因此，数列的通项公式为 （）， （1） （2）（1）、（2）两式相减，得 20（本题满分分）已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、（）设，试求函数的表达式；（）是否存在，使得、与三点共线若存在，求出的值；若不存在，请说明理由（）在（）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，使得不等式成立，求的最大值
11、解：（）设、两点的横坐标分别为、， ， 切线的方程为：，又切线过点， 有，即， （1） 2分同理，由切线也过点，得（2）由（1）、（2），可得是方程的两根， （ * ） 4分 ，把（ * ）式代入,得,因此，函数的表达式为 5分（）当点、与共线时，即，化简，得， （3） 7分把（*）式代入（3），解得存在，使得点、与三点共线，且 9分（）解法：易知在区间上为增函数，则依题意，不等式对一切的正整数恒成立， 11分，即对一切的正整数恒成立， ，由于为正整数， 13分又当时，存在，对所有的满足条件因此，的最大值为 14分解法：依题意，当区间的长度最小时，得到的最大值，即是所求值，长度最小的区间为， 11分当时，与解法相同分析，得，解得 13分后面解题步骤与解法相同（略）