1、第二章 圆锥曲线与方程23.2 抛物线的简单几何性质第二章 圆锥曲线与方程考点学习目标核心素养 抛物线的几何性质了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质，会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题数学抽象、数学运算 直线与抛物线的位置关系会判断直线与抛物线的位置关系，会求解直线与抛物线的综合问题逻辑推理、数学运算问题导学预习教材 P60P63，并思考下列问题：1抛物线有哪些几何性质？2若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线一定相切吗？抛物线的简单几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形 范围_ 焦点_ x0，yRx0，yRy
2、0，xRy0，xRp2，0p2，00，p20，p2准线方程_ 对称轴_ _ 顶点_ 离心率e_xp2xp2yp2yp2x 轴y 轴(0，0)1名师点拨(1)通过上述表格可知，四种形式的抛物线的顶点相同，均为O(0，0)，离心率均为 1，它们都是轴对称图形，关于焦点所在的坐标轴对称(2)抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异 抛物线、椭圆和双曲线都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；顶点个数不同，椭圆有 4 个顶点，双曲线有 2 个顶点，抛物线只有 1 个顶点；焦点个数不同，椭圆和双曲线各有 2 个焦点，抛物线只有1 个焦点；离心率取值范围不同，椭圆的离心率取值范围是 0e1，抛物线的离心
3、率是 e1；椭圆和双曲线都有 2 条准线，而抛物线只有 1 条准线；椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，所以在画抛物线时切忌将其画成双曲线的一支的形式 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)抛物线关于顶点对称()(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心()(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同()(4)抛物线 x24y，y24x 的 x，y 的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离是相同的，离心率也相同()四种标准方程对应的抛物线有相同的()A顶点B焦点C准线D对称轴解析：选 A四种标准方程对应的抛物线有相同的顶点，都是坐标原点；但是
4、，焦点、准线都不相同；抛物线 y22px(p0)与 y22px(p0)的对称轴为 x 轴，抛物线 x22py(p0)与x22py(p0)的对称轴为 y 轴抛物线 y2px2(p0)的对称轴为_答案：y 轴顶点在原点，对称轴是 y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3 的抛物线的标准方程是_答案：x212y 抛物线几何性质的应用 已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 l 过 F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若OAB的面积等于 4，求此抛物线的标准方程【解】由题意，设抛物线方程为 y22mx(m0)，焦点 Fm2，0，直线 l：xm2，所以 A，B 两点坐标为m2
5、，m，m2，m，所以|AB|2|m|，因为OAB 的面积为 4，所以12m2 2|m|4，所以 m2 2，所以抛物线的标准方程为 y24 2x.把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是 x 还是 y，一次项的系数是正还是负(2)关系：顶点位于焦点与准线中间、准线垂直于对称轴(3)定值：焦点到准线的距离为 p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为 2p；离心率恒等于 1.1等腰 RtABO 内接于抛物线 y22px(p0)，O 为抛物线的顶点，OAOB，则ABO 的面积是()A8p2B4p2C2p2Dp2解析：选 B由抛物线的对称性质及
6、OAOB 知，直线 OA的方程为 yx，由yx，y22px，得 A(2p，2p)，则 B(2p，2p)，所以|AB|4p，所以 SABO124p2p4p2，选择 B2已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 M(2，2 2)，则它的标准方程为_解析：因为抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在原点，并且经过点 M(2，2 2)，所以可设它的标准方程为 y22px(p0)因为点 M 在抛物线上，所以(2 2)22p2，即 p2，因此，所求抛物线的标准方程是 y24x.答案：y24x 抛物线的焦点弦问题 已知直线 l 经过抛物线 y26x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A，B 两点若直
7、线 l 的倾斜角为 60，求|AB|的值【解】因为直线 l 的倾斜角为 60，所以其斜率 ktan 60 3.又 F32，0，所以直线 l 的方程为 y 3x32.联立y26x，y 3x32，消去 y 得 x25x940.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x25，而|AB|AF|BF|x1p2x2p2x1x2p，所以|AB|538.1(变条件)若本例中“直线 l 的倾斜角为 60”改为“直线l 垂直于 x 轴”，求|AB|的值解：直线 l 的方程为 x32，联立x32，y26x，解得x32，y3或x32，y3.所以|AB|3(3)6.2(变条件)若本例中“直线 l 的倾斜角为 6
8、0”改为“|AB|9”，求线段 AB 的中点 M 到准线的距离解：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|AF|BF|x1x2px1x23，所以 x1x26，于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3.又准线方程是 x32，所以点 M 到准线的距离为 33292.(1)通径的定义 通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于 A，B 两点的线段 AB，称为抛物线的通径，如图所示对于抛物线 y22px(p0)，由 Ap2，p，Bp2，p，可得|AB|2p，故抛物线的通径长为 2p.注意 通径是所有焦点弦中最短的弦(2)过焦点的弦长的求解方法设过抛物线 y22px(p0)的焦点
9、的弦的端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p，然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出 x1x2 即可 1过抛物线 x24y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若 y1y26，则|P1P2|()A5B6C8D10解析：选 C抛物线 x24y 的准线为 y1，因为 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线 l 与抛物线的交点，所以 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是 y11，y21，所以|P1P2|y1y228.2已知过抛物线 y24x 的焦点 F 的
10、直线交该抛物线于 A，B两点，|AF|2，则|BF|_解析：设点 A，B 的横坐标分别是 x1，x2，则依题意有焦点F(1，0)，|AF|x112，则 x11，故直线 AF 的方程是 x1，此时弦 AB 为抛物线的通径，故|BF|AF|2.答案：2 直线与抛物线的位置关系 已知直线 l：ykx1，抛物线 C：y24x，当 k 为何值时，l 与 C 有一个公共点？有两个公共点？没有公共点？【解】由ykx1，y24x，消去 y 可得 k2x2(2k4)x10.(*)当 k0 时，方程(*)只有一个解，则有 x14，y1.所以直线 l 与 C 只有一个公共点14，1，此时直线 l 平行于 x 轴 当
11、 k0 时，方程(*)是一个一元二次方程 (2k4)24k24k216k164k216k16.(1)当 0，即 k1 且 k0 时，l 与 C 有两个公共点，此时直线 l 与 C 相交；(2)当 0，即 k1 时，l 与 C 有一个公共点，此时直线 l与 C 相切；(3)当 1 时，l 与 C 没有公共点，此时直线 l 与 C相离 综上所述，当 k1 或 k0 时，直线 l 与 C 有一个公共点；当 k1 时，直线 l 与 C 没有公共点直线与抛物线位置关系的判断方法设直线 l：ykxb，抛物线：y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2(2kb2p)xb20.(1)若 k
12、20，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合(2)若 k20，当 0 时，直线与抛物线相交，有两个交点；当 0 时，直线与抛物线相切，有一个交点；当 0)，由题意知p232，故 p3.因此，所求抛物线的标准方程为 y26x.2过点 P(0，1)与抛物线 y2x 有且只有一个交点的直线有()A4 条B3 条C2 条D1 条解析：选 B当直线垂直于 x 轴时满足条件，当直线不垂直于 x 轴时，设直线方程为 ykx1，满足条件的直线有两条，共三条满足题意的直线 3设 A，B 是抛物线 x24y 上两点，O 为原点，若|OA|OB|，且AOB 的面积为 16，则AOB()
13、A30B45C60D90解析：选 D由|OA|OB|，知抛物线上点 A，B 关于 y 轴对称，设 Aa，a24，Ba，a24，则 SAOB122aa24 16，解得 a4，所以|AB|8，|OA|OB|4 2，所以AOB90.4过抛物线 y28x 的焦点 F 作直线 l，交抛物线于 A，B 两点，若线段 AB 中点的横坐标为 3，求|AB|的值解：由抛物线 y28x 知，p4.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义知，|AF|x1p2，|BF|x2p2，所以|AB|AF|BF|x1p2x2p2x1x2p，所以 x1x2|AB|p.由条件知x1x223，则 x1x26，所以|AB|p6，又因为 p4，所以|AB|10.本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放