1、2.6对数与对数函数1对数的概念如果axN(a0且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中_a_叫做对数的底数，_N_叫做真数2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)；logamMnlogaM.(2)对数的性质alogaN_N_；logaaN_N_(a0且a1)(3)对数的重要公式换底公式：logbN (a，b均大于零且不等于1)；logab，推广logablogbclogcdlogad.3对数函数的图象与性质4.反函数指数函数yax与对数
2、函数ylogax互为反函数，它们的图象关于直线_yx_对称1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若log2(log3x)log3(log2y)0，则xy5.()(2)2log510log50.255.()(3)已知函数f(x)lg x，若f(ab)1，则f(a2)f(b2)2.()(4)log2x22log2x.()(5)当x1时，logax0.()(6)当x1时，若logaxlogbx，则aba BbcaCacb Dabc答案D解析alog361log321，blog5101log521，clog7141log721，显然abc.3(2013浙江)已知x，y为正实数，则()A
3、2lg xlg y2lg x2lg y B2lg(xy)2lg x2lg yC2lg xlg y2lg x2lg y D2lg(xy)2lg x2lg y答案D解析2lg x2lg y2lg xlg y2lg(xy)故选D.4函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_答案(，)解析函数f(x)的定义域为(，)，令t2x1(t0)因为ylog5t在t(0，)上为增函数，t2x1在(，)上为增函数，所以函数ylog5(2x1)的单调增区间是(，)5已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在0，)上为增函数，f0，则不等式f(logx)0的解集为_答案(2，)解析f(x)是R上的偶函数，它的图象关于
4、y轴对称f(x)在0，)上为增函数，f(x)在(，0上为减函数，由f0，得f0.f(logx)0logxx2或0x，x(2，).题型一对数式的运算例1(1)若xlog43，则(2x2x)2等于()A. B. C. D.(2)已知函数f(x)则f(f(1)f(log3)的值是()A5 B3 C1 D.思维启迪(1)利用对数的定义将xlog43化成4x3；(2)利用分段函数的意义先求f(1)，再求f(f(1)；f(log3)可利用对数恒等式进行计算答案(1)D(2)A解析(1)由xlog43，得4x3，即2x，2x，所以(2x2x)2()2.(2)因为f(1)log210，所以f(f(1)f(0)
5、2.因为log30，所以f(log3)3log313log321213.所以f(f(1)f(log3)235.思维升华在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式已知函数f(x)则f(2log23)的值为_答案解析因为2log234，所以f(3log23)()3log23()log23.题型二对数函数的图象和性质例2(1)函数y2log4(1x)的图象大致是()(2)已知f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，设af(log47)，bf(log3)，cf(0.20.6)，则a，b，c的大小关
6、系是()Acab BcbaCbca Dabc思维启迪(1)结合函数的定义域、单调性、特殊点可判断函数图象；(2)比较函数值的大小可先看几个对数值的大小，利用函数的单调性或中间值可达到目的答案(1)C(2)B解析(1)函数y2log4(1x)的定义域为(，1)，排除A、B；又函数y2log4(1x)在定义域内单调递减，排除D.选C.(2)log3log23log49，bf(log3)f(log49)f(log49)，log472log49，又f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，故f(x)在0，)上是单调递减的，f(0.20.6)f(log3)f(log47)，即cba.思维升
7、华(1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等；(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想(1)已知a21.2，b0.8，c2log52，则a，b，c的大小关系为()Acba BcabCbac Dbc0且a1)的图象过两点(1，0)和(0,1)，则a_，b_.答案(1)A(2)22解析(1)b0.820.821.2a，c2log52log522log55120.8b，故cb0且a1，设t(x)3ax，则t(x)3ax为减函数，x0,2时，t(x)最小值为32a，当x0,2时，f(x)恒有意义，即x0,2时，3ax0恒成立3
8、2a0.a0且a1，a(0,1).(2)t(x)3ax，a0，函数t(x)为减函数，f(x)在区间1,2上为减函数，ylogat为增函数，a1，x1,2时，t(x)最小值为32a，f(x)最大值为f(1)loga(3a)，即，故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1.思维升华解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质(1)要分清函数的底数是a(0,1)，还是a(1，)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误已知f(x)log
9、4(4x1)(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)求f(x)在区间，2上的值域解(1)由4x10，解得x0，因此f(x)的定义域为(0，)(2)设0x1x2，则04x114x21，因此log4(4x11)log4(4x21)，即f(x1)bc BabcCbac Dacbc BbacCacb Dcab(3)已知函数yf(x)的图象关于y轴对称，且当x(，0)时，f(x)xf(x)ac BcabCcba Dacb思维启迪(1)利用幂函数yx0.5和对数函数ylog0.3x的单调性，结合中间值比较a，b，c的大小；(2)化成同底的指数式，只需比较log23.4、log43.6、
10、log30.3log3的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较；(3)先判断函数(x)xf(x)的单调性，再根据20.2，log3，log39的大小关系求解解析(1)根据幂函数yx0.5的单调性，可得0.30.50.50.510.51，即balog0.30.31，即c1.所以balog3log43.6.方法二log3log331，且3.4，log3log33.4log23.4.log43.61，log43.6log3log43.6.(3)因为函数yf(x)关于y轴对称，所以函数yxf(x)为奇函数因为xf(x)f(x)xf(x)，且当x(，0)时，xf(x)f(x)xf(x)0，则函数yx
11、f(x)在(，0)上单调递减；因为yxf(x)为奇函数，所以当x(0，)时，函数yxf(x)单调递减因为120.22,0log31，log392，所以0log320.2ac，选A.答案(1)C(2)C(3)A温馨提醒(1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.方法与技巧1对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数ylogax的定义域应为x|x0对数函数的单调性和a的值有关
12、，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0a1进行分类讨论2比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性3多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y1交点的横坐标进行判定失误与防范1在运算性质logaMlogaM中，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMloga|M|(N，且为偶数)2指数函数yax (a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别3解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值A组专项基础训练一、选择题1函数y的
13、定义域是()Ax|0x2 Bx|0x1或1x2Cx|0x2 Dx|0x1或1x2答案D解析要使函数有意义只需要，解得0x1或1x2，定义域为x|0x1或1x22函数ylg|x1|的图象是()答案A解析ylg|x1|.A项符合题意3已知xln ，ylog52，ze，则()Axyz BzxyCzyx Dyzln e，x1.ylog52log5，0y，z1.综上可得，yz1或1a0，且a1，uax3为增函数，若函数f(x)为增函数，则f(x)logau必为增函数，因此a1.又yax3在1,3上恒为正，a30，即a3，故选D.二、填空题67已知函数f(x)则使函数f(x)的图象位于直线y1上方的x的取
14、值范围是_答案x|12解析当x0时，3x11x10，10时，log2x1x2，x2.综上所述，x的取值范围为12.8若log2a1时，log2a0log2a1，0，1a21a，a2a0，0a1，a1.当02a1时，log2a1.1a0，1a21a，a2a0，a1，此时不合题意综上所述，a.三、解答题9已知函数f(x)loga(x1)loga(1x)，a0且a1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)当a1时，求使f(x)0的x的解集解(1)要使函数f(x)有意义则解得1x1.故所求函数f(x)的定义域为x|1x1(2)由(1)知f(x)的定义域为x|1x1时，f
15、(x)在定义域x|1x01，解得0x0的x的解集是x|0x0，且a1)的最大值是1，最小值是，求a的值解由题意知f(x)(logax1)(logax2)(logx3logax2)(logax)2.当f(x)取最小值时，logax.又x2,8，a(0,1)f(x)是关于logax的二次函数，函数f(x)的最大值必在x2或x8时取得若(loga2)21，则a2，2,8，舍去若(loga8)21，则a，此时f(x)取得最小值时，x()22,8，符合题意，a.B组专项能力提升1设f(x)lg是奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是()A(1,0) B(0,1)C(，0) D(，0)(1，)答案A解析由
16、f(x)是奇函数可得a1，f(x)lg，定义域为(1,1)由f(x)0，可得01，1x0.2设函数f(x)定义在实数集上，f(2x)f(x)，且当x1时，f(x)ln x，则有()Af()f(2)f()Bf()f(2)f()Cf()f()f(2)Df(2)f()|1|1|，f()f()0，且a1)，若f(x1x2x2 015)8，则f(x)f(x)f(x)_.答案16解析f(x1x2x2 015)loga(x1x2x2 015)8，f(x)f(x)f(x)logaxlogaxlogaxloga(x1x2x2 015)22loga(x1x2x2 015)16.4设f(x)|lg x|，a，b为实
17、数，且0a1.(3)在(2)的条件下，求证：由关系式f(b)2f()所得到的关于b的方程g(b)0，存在b0(3,4)，使g(b0)0.(1)解由f(x)1得，lg x1，所以x10或.(2)证明结合函数图象，由f(a)f(b)可判断a(0,1)，b(1，)，从而lg alg b，从而ab1.又1(因b)(3)证明由已知可得b()2，得4ba2b22ab，得b224b0，g(b)b224b，因为g(3)0，根据零点存在性定理可知，函数g(b)在(3,4)内一定存在零点，即存在b0(3,4)，使g(b0)0.5已知函数ylog (x2axa)在区间(，)上是增函数，求a的取值范围解函数ylog (x2axa)是由函数ylogt和tx2axa复合而成因为函数ylogt在区间(0，)上单调递减，而函数tx2axa在区间(，)上单调递减，故函数ylog (x2axa)在区间(，上单调递增又因为函数ylog (x2axa)在区间(，)上是增函数，所以解得即2a2(1)