1、万有引力定律的应用(25分钟60分)一、单项选择题(本题共6小题,每小题7分,共42分)1.如图所示,一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行,在P点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动。下列说法正确的是() A.不论在轨道1还是轨道2运行,卫星在P点的速度都相同B.不论在轨道1还是轨道2运行,卫星在P点的加速度都相同C.卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度D.卫星在轨道2的任何位置都具有相同速度【解析】选B。从轨道1变轨到轨道2,需要加速,A错;不论在轨道1还是轨道2运行,卫星在P点只受万有引力,根据公式G=ma可得a=,故只要位置相同,加速度则相同,由于卫星在轨道1做椭圆运动时,运动半径在变化
2、,所以加速度在变化,B对、C错;卫星在轨道2做匀速圆周运动,速度的大小不变,方向时刻改变,D错。2.航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后,在A点从圆形轨道进入椭圆轨道,B为轨道上的一点,如图所示。关于航天飞机的运动,下列说法中不正确的有()A.在轨道上经过A的速度小于经过B的速度B.在轨道上经过A的动能小于在轨道上经过A的动能C.在轨道上运动的周期小于在轨道上运动的周期D.在轨道上经过A的加速度小于在轨道上经过A的加速度【解析】选D。航天飞机在轨道上从远地点A向近地点B运动的过程中万有引力做正功,所以航天飞机经过A点的速度小于航天飞机经过B点的速度,A正确;航天飞机在A点减速后才能做近心
3、运动,从圆形轨道进入椭圆轨道,所以在轨道上经过A点的动能小于在轨道上经过A点的动能,B正确;根据开普勒第三定律=k,因为轨道的半长轴小于轨道的半径,所以航天飞机在轨道上的运动周期小于在轨道上的运动周期,C正确;根据牛顿第二定律F=ma,因航天飞机在轨道和轨道上A点的万有引力相等,所以在轨道上经过A点的加速度等于在轨道上经过A点的加速度,D错误。3.经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”,“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成,每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离,而且双星系统一般远离其他天体。两颗星球组成的双星,在相互之间的万有引力作用下,绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两
4、颗星球之间的距离为L,质量之比为m1m2=32。则可知()A.m1、m2做圆周运动的角速度之比为23B.m1、m2做圆周运动的线速度之比为32C.m1做圆周运动的半径为LD.m2做圆周运动的半径为L【解析】选C。双星系统在相互之间的万有引力作用下,绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动,角速度相同,选项A错误;由G=m12r1=m22r2得r1r2=m2m1=23,由v=r得m1、m2做圆周运动的线速度之比为v1v2=r1r2=23,选项B错误;m1做圆周运动的半径为L,m2做圆周运动的半径为L,选项C正确,D错误。4.在轨运行30年的哈勃太空望远镜,曾拍摄到天狼星A和天狼星B组成的双星系统在
5、轨运行图像,如图所示。它们在彼此间的万有引力作用下同时绕某点(公共圆心)做匀速圆周运动,已知mA=bmB,且b1,则下列结论正确的是()A.天狼星A和天狼星B的绕行方向可能相反B.天狼星A和天狼星B的公共圆心可以不在质心连线上C.天狼星A和天狼星B的向心加速度大小之比为b1D.天狼星A和天狼星B的线速度大小之比为1b【解析】选D。天狼星A和天狼星B角速度相同,之间的距离不变,绕行方向一定相同,选项A错误;天狼星A和天狼星B的公共圆心一定在质心连线上,选项B错误;天狼星A和天狼星B的向心力由它们之间的万有引力提供,G=mA2rA=mB2rB,知mArA=mBrB,即=,根据a=2r知,=,选项C
6、错误;根据v=r,有=,选项D正确。5.宇宙中组成双星系统的甲、乙两颗恒星的质量分别为m、km,甲绕两恒星连线上一点做圆周运动的半径为r,根据宇宙大爆炸理论,两恒星间的距离会缓慢增大,若干年后,甲做圆周运动的半径增大为nr,设甲、乙两恒星的质量保持不变,引力常量为G,则若干年后说法错误的是()A.恒星甲做圆周运动的向心力为GB.恒星甲做圆周运动的周期变大C.恒星乙做圆周运动的半径为D.恒星乙做圆周运动的线速度为恒星甲做圆周运动线速度的【解析】选A。由于双星靠相互间的万有引力提供向心力,它们的向心力大小相等,角速度相等,由F=m2r知,甲、乙的轨道半径与质量成反比,即r乙=,所以若干年后,该双星
7、系统中甲做圆周运动的半径增大为nr,则乙做圆周运动的半径增大为,根据万有引力定律知F=G,L=nr+,所以恒星甲做圆周运动的向心力为F=G,故A错误,C正确;对甲恒星,由F=mr,知F变小,r变大,则T变大,故B正确;由v=r知,恒星乙做圆周运动的线速度大小为恒星甲做圆周运动的线速度大小的,故D正确。6.卫星发射进入预定轨道往往需要进行多次轨道调整。如图所示,某次发射任务中先将卫星送至近地轨道,然后再控制卫星进入椭圆轨道。图中O点为地心,A点是近地轨道和椭圆轨道的交点,远地点B离地面高度为6R(R为地球半径)。设卫星在近地轨道运动的周期为T,下列对卫星在椭圆轨道上运动的分析,其中正确的是 ()
8、A.控制卫星从图中低轨道进入椭圆轨道需要使卫星减速B.卫星通过A点时的速度是通过B点时速度的6倍C.卫星通过A点时的加速度是通过B点时加速度的6倍D.卫星从A点经4T的时间刚好能到达B点【解析】选D。控制卫星从图中低轨道进入椭圆轨道需要使卫星加速,选项A错误;根据开普勒行星运动第二定律可得:vAR=vB(6R+R),则卫星通过A点时的速度是通过B点时速度的7倍,选项B错误;根据a=,则=49,则卫星通过A点时的加速度是通过B点时加速度的49倍,选项C错误;根据开普勒第三定律,=,解得T=8T,则卫星从A点经4T的时间刚好能到达B点,选项D正确;故选D。二、非选择题(18分,要有必要的文字说明和
9、解题步骤,有数值计算的要注明单位)7.如图所示,两颗卫星在同一轨道平面内同方向绕地球做匀速圆周运动,地球半径为R,a卫星离地面高度为R,b卫星离地面高度为3R,则a、b两卫星周期之比为多大?若某时刻两卫星正好同时通过地面上同一点的正上方,a卫星至少经过多少个周期两卫星相距最远?【解析】万有引力等于向心力,G=m()2r得T=,T=某时刻两卫星正好同时通过地面上同一点的正上方,相当于两卫星从同一半径上的两点开始出发,当两卫星转过的角度之差a-b=时,两卫星相距最远。因为=t则at-bt=()t-()t=,所以t=分子分母同除以Tb,得t=Ta=0.77Ta。即经过0.77个周期两卫星相距最远。答
10、案:40.77(15分钟40分)8.(7分)“双星体系”由两颗相距较近的恒星组成,每个恒星的半径远小于两个星球之间的距离,而且双星系统一般远离其他天体。如图所示,相距为L的A、B两恒星绕共同的圆心O做圆周运动,A、B的质量分别为m1、m2,周期均为T。若有间距也为L的双星C、D,C、D的质量分别为A、B的两倍,则()A.A、B运动的轨道半径之比为B.A、B运动的速率之比为C.C运动的速率为A的2倍D.C、D运动的周期均为T【解析】选D。对于双星A、B,有G=m1()2r1=m2()2r2,r1+r2=L,得r1=L,r2=L,T=2L,A、B运动的轨道半径之比为=,A错误;由v=得,A、B运动
11、的速率之比为=,B错误;C、D运动的周期T=2L=T,D正确;C的轨道半径r1=L=r1,C运动的速率为v1=v1,C错误。9.(7分)(多选)科学家通过欧航局天文望远镜在一个河外星系中,发现了一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统,如图所示。这也是天文学家首次在正常星系中发现超大质量双黑洞。这对验证宇宙学与星系演化模型、广义相对论在极端条件下的适应性等都具有十分重要的意义。若图中双黑洞的质量分别为M1和M2,双黑洞间距离为L,它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,引力常量为G。根据所学知识,下列选项正确的是()A.双黑洞的轨道半径之比r1r2=M2M1B.双黑洞的线速度之比v1v2=M
12、1M2C.双黑洞的向心加速度之比a1a2=M1M2D.它们的运动周期为T=2【解析】选A、D。双黑洞做圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供,向心力大小相等,由G=M1r12=M2r22,得双黑洞的轨道半径之比r1r2=M2M1,选项A正确;由v=r得双黑洞的线速度之比v1v2=r1r2=M2M1,选项B错误;由a=2r得双黑洞的向心加速度之比为a1a2=r1r2=M2M1,选项C错误;由G=M1r1()2、G=M2r2()2和r1+r2=L得T=2,选项D正确。10.(7分)(多选)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间,且三者几乎排成
13、一条直线的现象,天文学称为“行星冲日”。据报道,2014年各行星冲日时间分别是:1月6日木星冲日;4月9日火星冲日;5月11日土星冲日;8月29日海王星冲日;10月8日天王星冲日。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如表所示。则下列判断正确的是()地球火星木星土星天王星海王星轨道半径(AU)1.01.55.29.51930A.各地外行星每年都会出现冲日现象B.在2015年内一定会出现木星冲日C.天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半D.地外行星中,海王星相邻两次冲日的时间间隔最短【解析】选B、D。本题以“行星冲日”为背景考查了圆周运动的“相遇”问题。由题意可知地球的轨道半径r地=1.0
14、AU,公转周期T 地=1年。由开普勒第三定律=k可知T行=T地=年,根据“相遇”时转过的角度之差=2n及=可知相邻冲日时间间隔为t,则(-)t=2,即t=,又T火=年,T木=年,T土=年,T天=年,T海=年,代入上式得t1年,故选项A错误;木星冲日时间间隔t木=年2年,所以选项B正确;由以上公式计算t土2t天,t海最小,选项C错误,选项D正确。11.(19分)发射地球同步卫星时,可认为先将卫星发射至距地面高度为h1的圆形近地轨道上,在卫星经过A点时点火(喷气发动机工作)实施变轨进入椭圆轨道,椭圆轨道的近地点为A,远地点为B。在卫星沿椭圆轨道运动经过B点时再次点火实施变轨,将卫星送入同步轨道(远
15、地点B在同步轨道上),如图所示。两次点火过程都是使卫星沿切向方向加速,并且点火时间很短。已知同步卫星的运动周期为T,地球的半径为R,地球表面重力加速度为g,求:(1)卫星在近地圆形轨道运行接近A点时的加速度大小;(2)卫星在椭圆形轨道上运行接近A点时的加速度大小;(3)卫星同步轨道距地面的高度。【解析】(1)设地球质量为M,卫星质量为m,万有引力常量为G,卫星在近地圆形轨道运动接近A点时加速度为aA,根据牛顿第二定律G=maA,可认为物体在地球表面上受到的万有引力等于重力G=mg。解得aA=。(2)根据牛顿第二定律F万=ma得:加速度a=。(3)设同步轨道距地面高度为h2,根据牛顿第二定律有:G=m(R+h2),由上式解得:h2=-R。答案:(1)(2)(3)-R