1、2015-2016学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（）A（1，0），2B（1，0），2CD2抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）AB1C2D43双曲线4x2y2=1的一条渐近线的方程为（）A2x+y=0B2x+y=1Cx+2y=0Dx+2y=14在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两
2、点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=（）AB0CD16已知直线l的方程为xmy+2=0，则直线l（）A恒过点（2，0）且不垂直x轴B恒过点（2，0）且不垂直y轴C恒过点（2，0）且不垂直x轴D恒过点（2，0）且不垂直y轴7已知直线x+ay1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（）A2B2C2D08已知两直线a，b和两平面，下列命题中正确的为（）A若ab且b，则aB若ab且b，则aC若a且b，则abD若a且，则a9已知点A（5，0），过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=1垂直且交于点B，若|PB|=|PA|，则cosAPB=（）A0BCD10如图，在边长为2的正方
3、体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1PD1E，则线段B1P的长度的最大值为（）AB2CD3二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11已知命题p：“xR，x20”，则p：12椭圆x2+9y2=9的长轴长为13若曲线C：mx2+（2m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为14如图，在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行在平面PAB内不存在直线与DC平行；在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述命题中正确命题的序号为15已知向量
4、，则与平面BCD所成角的正弦值为16若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（2，4）（1）求证：ABC是直角三角形；（2）若ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m的值18如图所示的几何体中，2CC1=3AA1=6，CC1平面ABCD，且AA1平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E为棱A1D中点，平面ABE分别与棱C1D，C1C交于点F，G（）求证：AE平面BCC1；（）求证：A1D平面ABE；（）求二面角DEFB的大
5、小，并求CG的长19已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（1，0）的直线l与椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上（）求椭圆G的方程；（）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程2015-2016学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（）A（1，0），2B（1，0），2CD【考点】圆的标准方程【分析】利用圆的标准方程的性质求解【解答】解：圆（x+1）2+y2=2的圆心为（1，0），半径为故选：
6、D2抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）AB1C2D4【考点】抛物线的简单性质【分析】直接利用抛物线方程求解即可【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：P=2故选：C3双曲线4x2y2=1的一条渐近线的方程为（）A2x+y=0B2x+y=1Cx+2y=0Dx+2y=1【考点】双曲线的简单性质【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，由双曲线的渐近线方程y=x，即可得到所求结论【解答】解：双曲线4x2y2=1即为y2=1，可得a=，b=1，由双曲线的渐近线方程y=x，可得所求渐近线方程为y=2x故选：A4在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（）A充
7、分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】利用空间中两直线的位置关系直接求解【解答】解：“直线a，b没有公共点”“直线a，b互为异面直线或直线a，b为平行线”，“直线a，b互为异面直线”“直线a，b没有公共点”，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的必要不充分条件故选：B5已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=（）AB0CD1【考点】直线与圆的位置关系【分析】根据题意，圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，C的坐标并代入直线2x+y+a=0，再解关于a的方程，
8、即可得到实数a的值【解答】解：A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，A，B关于直线y=2x+1对称，圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，2a+1=0，解之得a=故选：A6已知直线l的方程为xmy+2=0，则直线l（）A恒过点（2，0）且不垂直x轴B恒过点（2，0）且不垂直y轴C恒过点（2，0）且不垂直x轴D恒过点（2，0）且不垂直y轴【考点】直线的一般式方程【分析】由直线l的方程为xmy+2=0，令y=0，解得x即可得出定点，再利用斜率即可判断出与y轴位置关系【解答】解：由直线l的方程为xmy+2=0，令y=0，解得x=2于是化为：y=x1，恒过点（2，0）且不垂直y轴，故选：B7已知直线x
9、+ay1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（）A2B2C2D0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】由直线的平行关系可得14aa=0，解得a值排除重合可得【解答】解：直线x+ay1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，14aa=0，解得a=2或a=2，经验证当a=2时两直线重合，应舍去故选：A8已知两直线a，b和两平面，下列命题中正确的为（）A若ab且b，则aB若ab且b，则aC若a且b，则abD若a且，则a【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】利用空间线面平行、线面垂直以及面面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择【解答】解：对于A，若ab且b，则a与位
10、置关系不确定；故A错误；对于B，若ab且b，则a与位置关系不确定；可能平行、可能在平面内，也可能相交；故B 错误；对于C，若a且b，根据线面垂直和线面平行的性质定理，可以得到ab；故C正确；对于D，若a且，则a或者a在平面内，故D错误；故选：C9已知点A（5，0），过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=1垂直且交于点B，若|PB|=|PA|，则cosAPB=（）A0BCD【考点】抛物线的简单性质【分析】求出P的坐标，设P在x轴上的射影为C，则tanAPC=，可得APB=120，即可求出cosAPB【解答】解：由题意，|PB|=|PF|=PA|，P的横坐标为3，不妨取点P（3，2），设P在x
11、轴上的射影为C，则tanAPC=，APC=30，APB=120，cosAPB=故选：C10如图，在边长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1PD1E，则线段B1P的长度的最大值为（）AB2CD3【考点】点、线、面间的距离计算【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段B1P的长度的最大值【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设P（a，b，0），则D1（0，0，2），E（1，2，0），B1（2，2，2），=（a2，b2，2），=（1，2，2），B
12、1PD1E，=a2+2（b2）+4=0，a+2b2=0，点P的轨迹是一条线段，当a=0时，b=1；当b=0时，a=2，设CD中点F，则点P在线段AF上，当A与P重合时，线段B1P的长度为：|AB1|=2；当P与F重合时，P（0，1，0），=（2，1，2），线段B1P的长度|=3，当P在线段AF的中点时，P（1，0），=（1，2），线段B1P的长度|=线段B1P的长度的最大值为3故选：D二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11已知命题p：“xR，x20”，则p：xR，x20【考点】命题的否定【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全
13、称命题的否定是特称命题，所以命题p：“xR，x20”，则p：xR，x20故答案为：xR，x2012椭圆x2+9y2=9的长轴长为6【考点】椭圆的简单性质【分析】将椭圆化为标准方程，求得a=3，即可得到长轴长2a【解答】解：椭圆x2+9y2=9即为+y2=1，即有a=3，b=1，则长轴长为2a=6故答案为：613若曲线C：mx2+（2m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为（2，+）【考点】双曲线的简单性质【分析】将双曲线的方程化为标准方程，由题意可得m0且m20，解不等式即可得到所求范围【解答】解：曲线C：mx2+（2m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，可得=1，即有m0，且m20
14、，解得m2故答案为：（2，+）14如图，在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行在平面PAB内不存在直线与DC平行；在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述命题中正确命题的序号为【考点】棱锥的结构特征【分析】用反证法利用线面平行的性质即可证明设平面PAB平面PDC=l，则l平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行，即可判断；用反证法利用线面平行的性质即可证明【解答】解：用反证法设在平面PAB内存在直线与DC平行，则CD平面PAB，又平面ABCD平面PAB=AB，平面ABCD平面PCD=CD，故CDAB
15、，与已知矛盾，故原命题正确；设平面PAB平面PDC=l，则l平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行，故在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行，命题正确；用反证法设平面PAB与平面PDC的交线l与底面ABCD平行，则lAB，lCD，可得：ABCD，与已知矛盾，故原命题正确故答案为：15已知向量，则与平面BCD所成角的正弦值为【考点】直线与平面所成的角【分析】求出平面BCD的法向量，利用向量法能求出与平面BCD所成角的正弦值【解答】解：向量，=（1，2，0），=（1，0，3），设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，取x=6，得=（6，3，2），设与平面BCD所成角为，
16、则sin=与平面BCD所成角的正弦值为故答案为：16若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为3【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体为三棱锥，棱锥底面为等腰三角形，底边为2，底边的高为1，棱锥的高为棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点，棱锥底面等腰三角形的底边为2，底边的高为1，底面三角形的腰为，棱锥的高为V=，S=+2+=3故答案为，三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（2，4）（1）求
17、证：ABC是直角三角形；（2）若ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m的值【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率；圆的一般方程【分析】（1）证明=16+16=0，可得，即可证明ABC是直角三角形；（2）求出ABC的外接圆的方程，利用ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，可得圆心到直线的距离d=4，即可求m的值【解答】（1）证明：A（0，0），B（8，4），C（2，4），=（8，4），=（2，4），=16+16=0，ABC是直角三角形；（2）解：ABC的外接圆是以BC为直径的圆，方程为（x3）2+（y4）2=25，ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得
18、弦的弦长为6，圆心到直线的距离d=4=，m=4或4418如图所示的几何体中，2CC1=3AA1=6，CC1平面ABCD，且AA1平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E为棱A1D中点，平面ABE分别与棱C1D，C1C交于点F，G（）求证：AE平面BCC1；（）求证：A1D平面ABE；（）求二面角DEFB的大小，并求CG的长【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】（）推导出CC1AA1，ADBC，从而平面AA1D平面CC1B，由此能证明AE平面CC1B（）法1：推导出AA1AB，AA1AD，ABAD，以AB，AD，AA1分别x，y，z轴建立空间直角坐标系
19、，利用向量法能证明A1D平面ABE法2：推导出AA1AB，ABAD，从而ABA1D，再由AEA1D，能证明A1D平面ABE（）推导出平面EFD平面ABE，从而二面角DEFB为90，设，且0，1，则G（2，2，3），再由A1DBG，能求出CG的长【解答】证明：（）因为CC1平面ABCD，且AA1平面ABCD，所以CC1AA1，因为ABCD是正方形，所以ADBC，因为AA1AD=A，CC1BC=C，所以平面AA1D平面CC1B因为AE平面AA1D，所以AE平面CC1B（）法1：因为AA1平面ABCD，所以AA1AB，AA1AD，因为ABCD是正方形，所以ABAD，以AB，AD，AA1分别x，y，z
20、轴建立空间直角坐标系，则由已知可得B（2，0，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），E（0，1，1），因为，所以，所以A1D平面ABE法2：因为AA1平面ABCD，所以AA1AB因为ABCD是正方形，所以ABAD，所以AB平面AA1D，所以ABA1D因为E为棱A1D中点，且，所以AEA1D，所以A1D平面ABE（）因为A1D平面ABE，且A1D平面EFD，所以平面EFD平面ABE因为平面ABE即平面BEF，所以二面角DEFB为90设，且0，1，则G（2，2，3），因为A1D平面ABE，BG平面ABE，所以A1DBG，所以，即，所以19已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（1，0）的直线
21、l与椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上（）求椭圆G的方程；（）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程【考点】椭圆的简单性质【分析】（）设椭圆焦距为2c，运用离心率公式和a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；（）由题意可知直线l斜率存在，可设直线l：y=k（x+1），代入椭圆方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程即可得到所求方程【解答】解：（）设椭圆焦距为2c，由已知可得，且c=1，所以a=2，即有b2=a2c2=3，则椭圆G的方程为；（）由题意可知直线l斜率存在，可设直线l：y=k（x+1），由消y，并化简整理得（4k2+3）x2+8k2x+4k212=0，由题意可知0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，因为点C，F1都在线段AB上，且|AF1|=|CB|，所以，即（1x1，y1）=（x2，y2yC），所以1x1=x2，即x1+x2=1，所以，解得，即所以直线l的方程为或2016年7月31日