1、专题能力训练6函数与方程及函数的应用专题能力训练第16页一、能力突破训练1.函数f(x)=的零点个数为()A.0B.1C.2D.3答案：C解析：当x0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3;当x0时,令-2+ln x=0,解得x=e2.所以已知函数有2个零点.故选C.2.设函数f(x)的零点为x1,函数g(x)=4x+2x-2的零点为x2,若|x1-x2|,则f(x)可以是()A.f(x)=2x-B.f(x)=-x2+x-C.f(x)=1-10xD.f(x)=ln(8x-2)答案：C解析：依题意得g=+-20,则x2.若f(x)=1-10x,则有x1=0,此时|x1-x2|,因此选C.3.某辆
2、汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量/升加油时的累计里程/千米2017年5月1日1235 0002017年5月15日4835 600注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为()A.6升B.8升C.10升D.12升答案：B解析：因为第一次油箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,故耗油量V=48升.而这段时间内行驶的里程数s=35 600-35 000=600(千米).所以在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为100=8(升).故选B.4.已知函数f(x)=(kR).若函数y=|f(x)|+k
3、有三个零点,则实数k的取值范围是()A.2,+)B.(-1,0)C.-2,1)D.(-,-2答案：D解析：由y=|f(x)|+k=0得|f(x)|=-k0,所以k0,作出函数y=|f(x)|的图象,要使y=-k与函数y=|f(x)|有三个交点,则有-k2,即k-2.故选D.5.已知e是自然对数的底数,函数f(x)=ex+x-2的零点为a,函数g(x)=ln x+x-2的零点为b,则f(a),f(1),f(b)的大小关系为.答案：f(a)f(1)0恒成立,则函数f(x)在R上是增函数.因为f(0)=e0+0-2=-10,所以函数f(x)的零点a(0,1).由题意,知g(x)=+10,则函数g(x
4、)在区间(0,+)上是增函数.又g(1)=ln 1+1-2=-10,则函数g(x)的零点b(1,2).综上,可得0a1b2.因为f(x)在R上是增函数,所以f(a)f(1)f(b).6.已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.答案：(-,0)(1,+)解析：要使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,应使f(x)图象与直线y=b有两个不同的交点.当0a1时,由f(x)的图象(图略)知f(x)在定义域R上单调递增,它与直线y=b不可能有两个交点.当a0时,由f(x)的图象(如图)知,f(x)在区间(-,a上单调递增,在区间(a,0)内单调递减,在区
5、间0,+)内单调递增,且a30,所以,当0b1时,由f(x)的图象(如图)知,f(x)在区间(-,a上单调递增,在区间(a,+)内单调递增,但a3a2,所以当a2ba3时,f(x)图象与y=b有两个不同的交点.综上,实数a的取值范围是a1.7.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定购物付款总额要求如下:若一次性购物不超过200元,则不给予优惠;若一次性购物超过200元但不超过500元,则按标价给予9折优惠;若一次性购物超过500元,则500元按第条给予优惠,剩余部分给予7折优惠.甲单独购买A商品实际付款100元,乙单独购买B商品实际付款450元,若丙一次性购买A,B两件商品,则应付款元.答案：52
6、0解析：设商品价格为x元,实际付款为y元,则y=整理,得y=0.9200=180100,A商品的价格为100元.0.9500=450,B商品的价格为500元.当x=100+500=600时,y=100+0.7600=520,即若丙一次性购买A,B两件商品,则应付款520元.8.设x3+ax+b=0,其中a,b均为实数.下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是.(写出所有正确条件的编号)a=-3,b=-3;a=-3,b=2;a=-3,b2;a=0,b=2;a=1,b=2.答案：解析：方程仅有一个实根,则函数f(x)=x3+ax+b的图象与x轴只有一个公共点.当a=-3时,f(x)=x3-3x+
7、b,f(x)=3x2-3,由f(x)=0,得x=1,易知f(x)在x=-1处取极大值,在x=1处取极小值.当b=-3时,f(-1)=-10,f(1)=-50,f(1)=0,图象与x轴有2个公共点,不满足题意,故不正确;当b2时,f(-1)=2+b4,f(1)=-2+b0,满足题意,故正确;当a=0和a=1时,f(x)=3x2+a0,f(x)在R上为增函数,所以函数f(x)=x3+ax+b的图象与x轴只有一个交点,故也满足题意.9.已知函数f(x)=2x,g(x)=+2.(1)求函数g(x)的值域;(2)求满足方程f(x)-g(x)=0的x的值.解(1)g(x)=+2=+2,因为|x|0,所以0
8、1,即20时,由2x-2=0整理,得(2x)2-22x-1=0,(2x-1)2=2,解得2x=1.因为2x0,所以2x=1+,即x=log2(1+).10.如图,一个长方体形状的物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速移动,速度为v(v0),雨速沿E移动方向的分速度为c(cR).E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|S成正比,比例系数为;其他面的淋雨量之和,其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100,面积S=时,(1)写出y的表达式;(2)设0v10,00).(2)由(1)知,当0vc时,y=(3c-3v+10
9、)=-15;当cv10时,y=(3v-3c+10)=+15.故y=当0c时,y是关于v的减函数.故当v=10时,ymin=20-.当g(x0)成立,则实数a的范围为()A.1,+)B.(1,+)C.0,+)D.(0,+)答案：D解析：若至少存在一个x01,e,使得f(x0)g(x0)成立,则f(x)-g(x)0在x1,e时有解,由f(x)-g(x)0a-2ln x+=ax-2ln x0有解,x1,e,则a.设F(x)=,则F(x)=,当x1,e时,F(x)=0,所以F(x)在区间1,e上单调递增,即F(x)min=F(1)=0,因此a0即可,故选D.12.设函数f(x)=(1)若a=1,则f(
10、x)的最小值为;(2)若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.答案：(1)-1(2)2,+)解析：(1)当a=1时,f(x)=当x1时,2x-1(-1,1);当x1时,4(x-1)(x-2)-1,+).故f(x)的最小值为-1.(2)若函数f(x)=2x-a的图象在x0,并且当x=1时,f(1)=2-a0,所以0a2.同时函数f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象在x1时与x轴有一个交点,所以故a1.若函数f(x)=2x-a的图象在x0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.解(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f(x)=3x2+2ax+b.因为f(0)=c,f(0)=b,
11、所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=bx+c.(2)当a=b=4时,f(x)=x3+4x2+4x+c,所以f(x)=3x2+8x+4.令f(x)=0,得3x2+8x+4=0,解得x=-2或x=-.f(x)与f(x)在区间(-,+)上的变化情况如下:x(-,-2)-2-f(x)+0-0+f(x)cc-所以,当c0且c-0时,存在x1(-4,-2),x2,x3,使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=0.由f(x)的单调性知,当且仅当c时,函数f(x)=x3+4x2+4x+c有三个不同零点.(3)证明:当=4a2-12b0,x(-,+),此时函数f(x)在区间(-,+)内单调递
12、增,所以f(x)不可能有三个不同零点.当=4a2-12b=0时,f(x)=3x2+2ax+b只有一个零点,记作x0.当x(-,x0)时,f(x)0,f(x)在区间(-,x0)内单调递增;当x(x0,+)时,f(x)0,f(x)在区间(x0,+)内单调递增.所以f(x)不可能有三个不同零点.综上所述,若函数f(x)有三个不同零点,则必有=4a2-12b0.故a2-3b0是f(x)有三个不同零点的必要条件.当a=b=4,c=0时,a2-3b0,f(x)=x3+4x2+4x=x(x+2)2只有两个不同零点,所以a2-3b0不是f(x)有三个不同零点的充分条件.因此a2-3b0是f(x)有三个不同零点
13、的必要而不充分条件.14.甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付的情况下,乙方的年利润x(单位:元)与年产量q(单位:t)满足函数关系:x=2 000.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格).(1)将乙方的年利润w(单位:元)表示为年产量q(单位:吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;(2)在乙方年产量为q(单位:吨)时,甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002q2(单位:元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格s是多少?解(1)因为赔付价格为s元/吨,所以乙方的实际年利润为w=2 000-sq(q0).因为w=2 000-sq=-s+,所以当q=时,w取得最大值.所以乙方取得最大利润的年产量q=吨.(2)设甲方净收入为v元,则v=sq-0.002q2,将q=代入上式,得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式:v=-.又v=-+=,令v=0得s=20.当s0;当s20时,v0.所以当s=20时,v取得最大值.因此当甲方向乙方要求赔付价格s为20元/吨时,获最大净收入.