1、数列1对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：N；logaaNN（a0且a1）loga（MN）logaM+logaN； logalogaMlogaN；logaMnnlogaM； logalogaM2数列的函数特性【知识点的认识】1、等差数列的通项公式：ana1+（n1）d；前n项和公式Snna1+n（n1）d或者Sn2、等比数列的通项公式：ana1qn1；前n项和公式Sn（q1）3、用函数的观点理解等差数列、等比数列（1）对于等差数列，ana1+（n1）ddn+（a1d），当d0时，an是n的一次函数，对应的点（n，an）是位于直线上的若干个点当d0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同
2、理，d0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数若等差数列的前n项和为Sn，则Snpn2+qn（p、qR）当p0时，an为常数列；当p0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题（2）对于等比数列：ana1qn1可用指数函数的性质来理解当a10，q1或a10，0q1时，等比数列是递增数列；当a10，0q1或a10，q1时，等比数列an是递减数列当q1时，是一个常数列当q0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列【典型例题分析】典例1：数列an满足ann2+kn+2，若不等式ana4恒成立，则实数k的取值范围是（）A9，8B9，7C（9，8）D（9，7）解
3、：ann2+kn+2，不等式ana4恒成立，解得9k7，故选：B典例2：设等差数列an满足a11，an0（nN*），其前n项和为Sn，若数列也为等差数列，则的最大值是（）A310 B212 C180 D121解：等差数列an满足a11，an0（nN*），设公差为d，则an1+（n1）d，其前n项和为Sn，1，数列也为等差数列，+，1+，解得d2Sn+10（n+10）2，（2n1）2，由于为单调递减数列，112121，故选：D3等差数列的性质【等差数列】如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示等差数列的通项
4、公式为：ana1+（n1）d；前n项和公式为：Snna1+n（n1）或Sn （nN+），另一重要特征是若p+q2m，则有2amap+aq（p，q，m都为自然数）例：已知等差数列an中，a1a2a3an且a3，a6为方程x210x+160的两个实根（1）求此数列an的通项公式；（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由 解：（1）由已知条件得a32，a68又an为等差数列，设首项为a1，公差为d，a1+2d2，a1+5d8，解得a12，d2an2+（n1）22n4（nN*）数列an的通项公式为an2n4（2）令2682n4（nN*），解得n136268是此数列的第136项
5、 这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式ana1+（n1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的【等差数列的性质】（1）若公差d0，则为递增等差数列；若公差d0，则为递减等差数列；若公差d0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，nN+，则aman+（mn）d；（4）若s，t，p，qN*，且s+tp+q，则as+atap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s
6、+t2p时，有as+at2ap； （5）若数列an，bn均是等差数列，则数列man+kbn仍为等差数列，其中m，k均为常数（6）an，an1，an2，a2，a1仍为等差数列，公差为d（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1an+an+2，2ananm+an+m，（nm+1，n，mN+） （8）am，am+k，am+2k，am+3k，仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）4等差数列的通项公式【知识点的认识】 等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项
7、为ana1+（n1）d，或者已知第m项为am，则第n项为anam+（nm）d【例题解析】eg1：已知数列an的前n项和为Snn2+1，求数列an的通项公式，并判断an是不是等差数列解：当n1时，a1S112+12，当n2时，anSnSn1n2+1（n1）212n1，an，把n1代入2n1可得12，an不是等差数列 考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中an的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下eg2：已知等差数列an的前三项分别为a1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为解：等差数列an的前三项分别为a1，2a+1，a+7，2（2
8、a+1）a1+a+7，解得a2a1211，a222+15，a32+79，数列an是以1为首项，4为公差的等差数列，an1+（n1）44n3故答案：4n3 这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可【考点点评】 求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点5等差数列的前n项和【知识点的认识】 等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示其求和公
9、式为Snna1+n（n1）d或者Sn【例题解析】eg1：设等差数列的前n项和为Sn，若公差d1，S515，则S10解：d1，S515，5a1+d5a1+1015，即a11，则S1010a1+d10+4555故答案为：55点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可eg2：等差数列an的前n项和Sn4n225n求数列|an|的前n项的和Tn解：等差数列an的前n项和Sn4n225nanSnSn1（4n225n）4（n1）225（n1）8n29，该等差数列为21，13，5，3，11，前3项为负，其和为S339n3时，TnSn25n4n2，n4，Tn
10、Sn2S34n225n+78，点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值【考点点评】 等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用6等比数列的性质【等比数列】（又名几何数列），是一种特殊数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示
11、（q0） 注：q1 时，an为常数列 等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：第n项的通项公式，ana1qn1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点求和公式，Sn，表示的是前面n项的和若m+nq+p，且都为正整数，那么有amanapaq例：2，x，y，z，18成等比数列，则y解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，则182q4，解得q23，y2q2236故答案为：6 本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法【等比
12、数列的性质】（1）通项公式的推广：anamqnm，（n，mN*） （2）若an为等比数列，且k+lm+n，（k，l，m，nN*），则 akalaman（3）若an，bn（项数相同）是等比数列，则an（0），a，anbn，仍是等比数列（4）单调性：或an是递增数列；或an是递减数列；q1an是常数列；q0an是摆动数列7等比数列的通项公式【知识点的认识】1等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q0）从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数2等比数列的通项公式设
13、等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn13等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项 G2ab （ab0）4等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：anamqnm，（n，mN*）（2）若an为等比数列，且k+lm+n，（k，l，m，nN*），则 akalaman（3）若an，bn（项数相同）是等比数列，则an（0），a，anbn，仍是等比数列（4）单调性：或an是递增数列；或an是递减数列；q1an是常数列；q0an是摆动数列8等比数列的前n项和【知识点的知识】1等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q（q0），其前n项和
14、为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sn2等比数列前n项和的性质 公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn9数列的应用【知识点的知识】1、数列与函数的综合2、等差数列与等比数列的综合3、数列的实际应用 数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合10数列的求和【知识点的知识】 就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：等差数列前n项和公式：Snna1+n（n1）d或Sn等比数列前n项和公式：几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列anbn
15、的前n项和，其中anbn分别是等差数列和等比数列（3）裂项相消法：适用于求数列的前n项和，其中an为各项不为0的等差数列，即（）（4）倒序相加法： 推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an） （5）分组求和法： 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可 【典型例题分析】典例1：已知等差数列an满足：a37，a5+a726，an的前n项和为Sn（）求an及Sn；（）令bn（nN*），求数列bn的前n项和Tn分析：形如的求和，可使用
16、裂项相消法如：解：（）设等差数列an的公差为d，a37，a5+a726，解得a13，d2，an3+2（n1）2n+1；Snn2+2n（）由（）知an2n+1，bn，Tn，即数列bn的前n项和Tn点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和【解题方法点拨】 数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考11数列递推式【知识点的知识】1、递推公式定义：如果已知数列an的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那
17、么这个公式就叫做这个数列的递推公式2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an在数列an中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握注意：（1）用anSnSn1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n2，当n1时，a1S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式anSnSn1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解3、数列的通项的求法：（1）公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式（2）已知Sn（即a1+a2+anf（n）求an，用作差法：a
18、n一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解（3）已知a1a2anf（n）求an，用作商法：an，（4）若an+1anf（n）求an，用累加法：an（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1（n2）（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n2）（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）特别地有，形如ankan1+b、ankan1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an形如an的递推数列都可以用倒数法求通项（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行
19、归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明12数列与函数的综合【知识点的知识】一、数列的函数特性： 等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式中共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知三求二，体现了方程的思想的应用解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题二、解题步骤：1在解决有关数列的具体应用问题时：（1）要读懂题意，理解实际背景，领悟其数学实质，舍弃与解题无关的非本质性东西；（2）准确地归纳其中的数量关系，建立数学模型；（3）根据所建立的数学模型的知识系统，解出数学模型的结果；（4）最后再回到实际问题
20、中去，从而得到答案2在求数列的相关和时，要注意以下几个方面的问题：（1）直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程（2）注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和（3）求一般数列的前n项和时，无一般方法可循，要注意掌握某些特殊数列的前n项和的求法，触类旁通3在用观察法归纳数列的通项公式（尤其是在处理客观题目时）时，要注意适当地根据具体问题多计算相应的数列的前几项，否则会因为所计算的数列的项数过少，而归纳出错误的通项公式，从而得到错误的结论【典型例题分析】典例：已知f（x）logax（a0，a1），设数列f（a1），f（a2），f（a3
21、），f（an）是首项为4，公差为2的等差数列（I）设a为常数，求证：an成等比数列；（II）设bnanf（an），数列bn前n项和是Sn，当时，求Sn分析：（I）先利用条件求出f（an）的表达式，进而求出an的通项公式，再用定义来证an是等比数列即可；（II）先求出数列bn的通项公式，再对数列bn利用错位相减法求和即可解答：证明：（I）f（an）4+（n1）22n+2，即logaan2n+2，可得ana2n+2为定值an为等比数列（5分）（II）解：bnanf（an）a2n+2logaa2n+2（2n+2）a2n+2（7分）当时，（8分）Sn223+324+425+（n+1）2n+2 2Sn2
22、24+325+426+n2n+2+（n+1）2n+3 得Sn223+24+25+2n+2（n+1）2n+3（12分）（n+1）2n+316+2n+324n2n+32n+3Snn2n+3（14分）点评：本题的第二问考查了数列求和的错位相减法错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列13数列的极限【知识点的知识】1、数列极限的定义： 一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列an的项an无限趋近于某个常数a（即|ana|无限地接近于0），那么就说数列an以a为极限，记作ana（注：a不一定是an中的项 ）2、几个重要极限：3、数列极限的运算法则：4、无穷等比数列的各项和：（1）公比的绝
23、对值小于1的无穷等比数列前n项的和，当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做SSn （2）【典型例题分析】典例1：已知数列an的各项均为正数，满足：对于所有nN*，有，其中Sn表示数列an的前n项和则（）A0 B1 C D2解：4S14a1（a1+1）2，a11当n2时，4an4Sn4Sn1（an+1）2（an1+1）2，2（an+an1）an2an12，又an各项均为正数，anan12数列an是等差数列，an2n1故选：C典例2：已知点Pn（an，bn）在直线l：y2x+1上，P1为直线l与y轴的交点，等差数列an的公差为1（nN*）（1）求数列an、bn的通项公式；（2）设
24、cn，求的值；（3）若dn2dn1+an1（n2），且d11，求证：数列dn+n为等比数列，并求dn的通项公式解：（1）点Pn（an，bn）在直线l：y2x+1上，P1为直线l与y轴的交点，bn2an+1，a10，等差数列an的公差为1（nN*），an0+（n1）n1bn2（n1）+12n1（2）解：由（1）可得ana1n1，bnb12n112n2，|P1Pn|（n2）cn，c2+c3+cn+，；（3）证明：n2，dn2dn1+an1，2dn1+n2，dn+n2（dn1+n1），数列dn+n为等比数列，首项为d1+12，公比为2，【解题方法点拨】（1）只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限（
25、2）运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）（3）求数列极限最后往往转化为（mN）或qn（|q|1）型的极限（4）求极限的常用方法：分子、分母同时除以nm或an求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限利用已知数列极限（如等）含参数问题应对参数进行分类讨论求极限，00，等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限14等差数列与等比数列的综合【知识点的知识】1、等差数列的性质（1）若公差d0，则为递增等差数列；若公差d0，则为递减等差数列；若公差d0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相
26、等，并且等于首末两项之和； （3）m，nN+，则aman+（mn）d；（4）若s，t，p，qN*，且s+tp+q，则as+atap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t2p时，有as+at2ap； （5）若数列an，bn均是等差数列，则数列man+kbn仍为等差数列，其中m，k均为常数（6）an，an1，an2，a2，a1仍为等差数列，公差为d（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1an+an+2，2ananm+an+m，（nm+1，n，mN+） （8）am，am+k，am+2k，am+3k，仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）2、等比数列的性质（1）通项公式的推广：anamqnm，（n，mN*）（2）若an为等比数列，且k+lm+n，（k，l，m，nN*），则akalaman（3）若an，bn（项数相同）是等比数列，则an（0），a，anbn，仍是等比数列（4）单调性：或an是递增数列；或an是递减数列；q1an是常数列；q0an是摆动数列