1、2020-2021学年天津市南开中学高二（下）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1已知函数f（x）x32x2，则f（x）的单调减区间是（）A（4，+）B（0，2）C（0，4）D（，0）2某厂家生产的新能源汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2s内完成刹车，其位移h（单位：m）关于时间t（单位：s）的函数关系式为h（t）t32t+，则h（1）的实际意义是（）A汽车刹车后1s内的位移B汽车刹车后1s内的平均速度C汽车刹车后1s时的瞬时速度D汽车刹车后1s时的瞬时加速度3已知函数f（x）的图象如图所示，f（x）为f（x）的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（）Af（x1）f（x2）Bf（x1）
2、f（x2）Cf（x1）f（x2）0Df（x1）f（x2）04已知x2是f（x）2lnx+ax23x的极值点则f（x）在，3上的最大值是（）A2ln3BC2ln3D2ln245用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的五位数，要求偶数不能相邻，则这样的五位数有（）个A120B216C222D2526若的展开式中的二项式系数和为A，各项系数和为B，则AB（）A33B31C33D317已知f（x）为定义在（，0）（0，+）上的偶函数，f（x）是f（x）的导函数，若当x0时，f（x）lnx+0，则不等式（x1）f（x）0的解集是（）A（1，+）B（0，1）C（，0）（1，+）D（，0）8已知函数f（x
3、），g（x）2+lnx，若f（m）g（n），则mn的最大值是（）AB4C1+ln2D2ln2+3二、填空题（共6小题）.9（2x3）7的展开式中常数项是 （用数字作答）10现有三张卡片每张卡片上分别写着蔬菜园，水果园，动物园三个景区中的两个且卡片不重复，甲、乙、丙各选一张去对应的两个景区参观，甲看了乙的卡片后说：“我和乙都去动物园”，乙看了丙的卡片后说“我和丙不都去水果园”，则甲丙同去的景区是 11已知函数f（x）ln（2x3）+ax在（）上单调递减，则a的取值范围是 12若函数f（x）x33x2在区间（a2，a+1）内存在极大值，则a的取值范围是 13已知函数f（x）x3+3mx2+nx+m
4、2在x1时有极值0，则m+n 145个不同的小球全部放入编号为2，3，4的三个盒子中，要求没有空盒，且每盒的小球数不大于盒子的编号数，共有 种放法（用数字作答）三、解答题：本大题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15已知函数f（x）lnx+2x2（）求与f（x）相切且斜率为1的直线方程；（）若g（x）f（x）+ax+2，当x1，e时，g（x）0恒成立，求a的取值范围16已知f（x）lnxmx2（2m1）x（mR），g（x）x21（）讨论f（x）单调性；（）当m0时，若对于任意x10，总存在x22，1，使得f（x1）g（x2），求m的取值范围17已知函数f（x）xex+
5、x22x+1，其中e为自然对数的底数，函数g（x）lnxx+2（）求g（x）的最大值；（）求证：g（x）+x+30；（）求证：f（x）+xg（x）42参考答案一、选择题（共8小题）.1已知函数f（x）x32x2，则f（x）的单调减区间是（）A（4，+）B（0，2）C（0，4）D（，0）解：f（x）x32x2，f（x）x24xx（x4），当0x4时，f（x）0，当x0或x4时，f（x）0，f（x）的单调减区间是（0，4），故选：C2某厂家生产的新能源汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2s内完成刹车，其位移h（单位：m）关于时间t（单位：s）的函数关系式为h（t）t32t+，则h（1）的实际意
6、义是（）A汽车刹车后1s内的位移B汽车刹车后1s内的平均速度C汽车刹车后1s时的瞬时速度D汽车刹车后1s时的瞬时加速度解：h（t）表示物体运动在时刻t的速度，即在t时刻的瞬时速度，因此h（1）的实际意义为汽车刹车后1s时的瞬时速度故选：C3已知函数f（x）的图象如图所示，f（x）为f（x）的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（）Af（x1）f（x2）Bf（x1）f（x2）Cf（x1）f（x2）0Df（x1）f（x2）0解：由f（x）的图象可知，在曲线上横坐标为x1处的切线的斜率大于曲线上横坐标为x2处的切线的斜率，即f（x1）f（x2）0，故B正确，A错误，C错误；又f（x1）0，故D错误；
7、故选：B4已知x2是f（x）2lnx+ax23x的极值点则f（x）在，3上的最大值是（）A2ln3BC2ln3D2ln24解：，由题意得f（2）4a20，所以a，当时，f（x）0，函数单调递增，1x2时，f（x）0，函数单调递减，当2x3时，f（x）0，函数单调递增，又f（1），f（3）2ln3，故f（1）f（3），所以当x3时，函数取得最大值2ln3故选：A5用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的五位数，要求偶数不能相邻，则这样的五位数有（）个A120B216C222D252解：根据题意，用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的五位数，需要在6个数字选出5个来组成五位数，分2种情况讨论
8、：选出的5个数字中有3个奇数，2个偶数，有A33C32A42216个符合题意的五位数；选出的5个数字中有2个奇数，3个偶数，有C32A22A3336个符合题意的五位数；则有216+36252个符合题意的五位数；故选：D6若的展开式中的二项式系数和为A，各项系数和为B，则AB（）A33B31C33D31解：若的展开式中的二项式系数和为A2n2532，各项系数和为B（23）51，则AB33，故选：A7已知f（x）为定义在（，0）（0，+）上的偶函数，f（x）是f（x）的导函数，若当x0时，f（x）lnx+0，则不等式（x1）f（x）0的解集是（）A（1，+）B（0，1）C（，0）（1，+）D（，0
9、）解：令g（x）f（x）lnx（x0），当x0时，f（x）lnx+0，g（x）f（x）lnx+0，g（x）在区间（0，+）上单调递减，又g（1）f（1）ln10，当x（0，1）时，lnx0，g（x）f（x）lnx0，f（x）0；当x（1，+）时，lnx0，g（x）f（x）lnx0，f（x）0；f（x）为定义在（，0）（0，+）上的偶函数，当x（，1）（1，0）时，f（x）0；不等式（x1）f（x）0（1），或（2），解（1）得x1，解（2）得x，综上所述，不等式（x1）f（x）0的解集为（1，+），故选：A8已知函数f（x），g（x）2+lnx，若f（m）g（n），则mn的最大值是（）AB4C
10、1+ln2D2ln2+3解：依题意，设（t0），则m2lnt+4，net2，mn2lnt+4et2，令g（t）2lntet2+4，t0，则，易知函数g（t）在（0，+）为减函数，且g（2）0，当x（0，2）时，g（t）0，当x（2，+）时，g（t）0，g（t）在（0，2）单调递增，在（2，+）单调递减，g（t）g（2）2ln2+3，即mn的最大值为2ln2+3故选：D二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。9（2x3）7的展开式中常数项是14（用数字作答）解：展开式的通项为令得r6展开式中常数项是T72C7614故答案为1410现有三张卡片每张卡片上分别写着蔬菜园，水果园，动物园三个
11、景区中的两个且卡片不重复，甲、乙、丙各选一张去对应的两个景区参观，甲看了乙的卡片后说：“我和乙都去动物园”，乙看了丙的卡片后说“我和丙不都去水果园”，则甲丙同去的景区是水果园解：因为甲看了乙的卡片后说：“我和乙都去动物园”，所以丙一定不去动物园，一定去蔬菜园，水果园，又因为乙看了丙的卡片后说“我和丙不都去水果园”，所以乙一定不去水果园，一定去了蔬菜园，动物园，因此甲一定去了水果园，动物园，所以甲丙同去的景区是水果园故答案为：水果园11已知函数f（x）ln（2x3）+ax在（）上单调递减，则a的取值范围是（，解：f（x）ln（2x3）+ax在（）上单调递减，当x（）时，f（x）+ax0，即ax，
12、令g（x）x，g（x）1+0，g（x）在（）上单调递增，g（x）ming（），a，故答案为：（，12若函数f（x）x33x2在区间（a2，a+1）内存在极大值，则a的取值范围是（1，2）解：f（x）3x26x3x（x2），易得，当x2或x0时，f（x）0，函数单调递增，当0x2时，f（x）0，函数单调递减，故当x0时，函数取得极大值，因为f（x）x33x2在区间（a2，a+1）内存在极大值，所以a20a+1，解得1a2故答案为：（1，2）13已知函数f（x）x3+3mx2+nx+m2在x1时有极值0，则m+n11解：f（x）x3+3mx2+nx+m2f（x）3x2+6mx+n依题意可得联立可得
13、当m1，n3时函数f（x）x3+3x2+3x+1，f（x）3x2+6x+33（x+1）20函数在R上单调递增，函数无极值，舍故答案为：11145个不同的小球全部放入编号为2，3，4的三个盒子中，要求没有空盒，且每盒的小球数不大于盒子的编号数，共有130种放法（用数字作答）解：根据题意，5个不同的小球全部放入编号为2，3，4的三个盒子中，需要将5个小球分为3组；若分为3、1、1的三组，3个小球的一组只能放在编号为3，4的两个盒子，剩下的2组可以放进任意的盒子中，有C53C21A2240种放法，若分为2、2、1的三组，三组可以放进任意的盒子中，有A3390种放法，此时有40+90130种放法；故答
14、案为：130三、解答题：本大题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15已知函数f（x）lnx+2x2（）求与f（x）相切且斜率为1的直线方程；（）若g（x）f（x）+ax+2，当x1，e时，g（x）0恒成立，求a的取值范围解：（I）f（x）+2，令f（x）+21，解得x1，f（1）0，切线方程为：y0x1，即xy10（II）g（x）f（x）+ax+2，当x1，e时，g（x）0恒成立，化为：a+2，设h（x），x1，eh（x）0，函数h（x）在x1，e上单调递增h（x）maxh（e），a+2，解得a2a的取值范围是2，+）16已知f（x）lnxmx2（2m1）x（mR），
15、g（x）x21（）讨论f（x）单调性；（）当m0时，若对于任意x10，总存在x22，1，使得f（x1）g（x2），求m的取值范围解：（）函数f（x）的定义域为（0，+），当m0时，f（x）0，f（x）在（0，+）单调递增，当m0时，令f（x）0，解得，令f（x）0，解得，函数f（x）在上单调递增，在上单调递减；（）当m0时，根据题意，不等式等价于，而，显然此时g（x）在2，1上单调递增，故，设，显然h（m）在定义域内为减函数，且，17已知函数f（x）xex+x22x+1，其中e为自然对数的底数，函数g（x）lnxx+2（）求g（x）的最大值；（）求证：g（x）+x+30；（）求证：f（x）+xg（x）42解：（）函数g（x）的定义域为（0，+），令g（x）0，解得0x1，令g（x）0，解得x1，函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，g（x）maxg（1）1；（）证明：令，则，令h（x）0，解得x1，令h（x）0，解得0x1，h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，h（x）h（1）0，即得证；（）证明：所求证不等式等价为，由（）可得lnxx1，所以ln（x+1）x，exx+1，x0时等号成立，由（）可得时等号成立，设，又等号不能同时成立，故原不等式成立