1、第二章 圆锥曲线与方程22 双曲线22.1 双曲线及其标准方程第二章 圆锥曲线与方程考点学习目标核心素养 双曲线的定义理解并掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决相关问题数学抽象、逻辑推理双曲线的标准方程掌握双曲线的标准方程，了解其推导过程，掌握求双曲线标准方程的基本方法直观想象、数学运算问题导学预习教材 P45P48，并思考下列问题：1平面内满足什么条件的点的轨迹是双曲线？2双曲线的焦点、焦距分别是什么？3双曲线的标准方程是什么？1双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的_等于非零常数(_|F1F2|)的点的轨迹(2)符号表示：|MF1|MF2|2a(常数)(02a
2、0，b0 且 ab.()已知两定点 F1(3，0)，F2(3，0)，在平面内满足下列条件的动点 P 的轨迹中，是双曲线的是()A|PF1|PF2|5B|PF1|PF2|6C|PF1|PF2|7D|PF1|PF2|0解析：选 A对于选项 A，因为|F1F2|6，所以|PF1|PF2|5|F1F2|，所以动点 P 的轨迹不存在；对于选项 D，因为|PF1|PF2|0，所以|PF1|PF2|，根据线段垂直平分线的性质可知，动点 P 的轨迹是线段 F1F2 的垂直平分线在双曲线的标准方程中，若 a6，b8，则其标准方程是()Ay236x2641Bx264y2361Cx236y2641Dx236y264
3、1 或y236x2641解析：选 D因为没有说明双曲线的焦点所在的坐标轴，故应分焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上两种情况进行讨论，显然D 选项符合要求双曲线x23 y21 的焦点坐标是()A(2，0)，(2，0)B(2，0)，(2，0)C(0，2)，(0，2)D(0，2)，(0，2)解析：选 B由双曲线的标准方程可知，a23，b21，则c2a2b2314，故 c2.又焦点在 x 轴上，所以焦点坐标为(2，0)，(2，0)双曲线标准方程的认识 已知方程 x2k5y2|k|21 对应的图形是双曲线，那么k 的取值范围是()Ak5Bk5 或2k2 或 k2D2k0.即k50，|k|20 或k50，
4、|k|25 或2k2.【答案】B双曲线方程的辨识方法将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为x2my2n1，则当 mn0，n0，则方程表示焦点在 x 轴上的双曲线；若m0，则方程表示焦点在y 轴上的双曲线 1已知双曲线 x2a3 y22a1，焦点在 y 轴上，若焦距为 4，则 a 等于()A32B5C7D12解析：选 D根据题意可知，双曲线的标准方程为 y22a x23a1.由其焦距为 4，得 c2，则有 c22a3a4，解得 a12.2在方程 mx2my2n 中，若 mn0，则方程所表示的曲线是()A焦点在 x 轴上的椭圆B焦点在 x 轴上的双曲线C焦点在 y 轴上的双曲线D焦点
5、在 y 轴上的椭圆解：选 C方程 mx2my2n 可化为x2nmy2nm1.由 mn0 知nm0，b0)，则有 a2b2c28，9a210b21，解得 a23，b25.故所求双曲线的标准方程为x23 y251.(1)求双曲线标准方程的步骤 定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式 定量：是指确定 a2，b2 的数值，常由条件列方程组求解(2)双曲线标准方程的两种求法 定义法：根据双曲线的定义得到相应的 a，b，c，再写出双曲线的标准方程 待定系数法：先设出双曲线的标准方程x2a2y2b21 或y2a2x2b21(a，b 均为正数)，然后根
6、据条件求出待定的系数代入方程即可 注意 若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为 mx2ny21 的形式，注意标明条件 mn0.根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)与双曲线x216y241 有公共焦点，且过点(3 2，2)；(2)双曲线过两点 P3，154，Q163，5.解：(1)设双曲线的标准方程为x216k y24k1(4k16)将点(3 2，2)代入，解得 k4 或 k14(舍去)，所以双曲线的标准方程为x212y281.(2)设所求双曲线方程为 Ax2By21(AB1)1动点 P 到点 M(1，0)及点 N(5，0)的距离之差为 2a，则当a1 和 a2 时，点 P
7、的轨迹分别是()A双曲线和一条直线B双曲线和一条射线C双曲线的一支和一条射线D双曲线的一支和一条直线解析：选 C由题意，知|MN|4，当 a1 时，|PM|PN|2a20，b0)由题意知，a2 5，且点 A(2，5)在双曲线上，所以a2 5，25a2 4b21，解得 a220，b216，故所求双曲线的标准方程为y220 x2161.(2)椭圆x227y2361 的两个焦点为 F1(0，3)，F2(0，3)，双曲线与椭圆的一个交点为(15，4)或(15，4)设双曲线的标准方程为y2a2x2b21(a0，b0)，则42a2（15）2b21，a2b232，解得a24，b25，故所求双曲线的标准方程为y24x25 1.本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放