1、2022年高考数学复习新题速递之概率与统计（2021年9月）一选择题（共12小题）1（2021春乐山期中）某学校高二、高三年级共有2100人，现按照分层抽样的方法，抽取70人作为样本进行某项调查若样本中高二年级学生有30人，则该校高二年级学生共有（）A480人B800人C840人D900人2（2021秋蚌埠月考）我国在2020年开展了第七次全国人口普查，并于2021年5月11日公布了结果自新中国成立以来，我国共进行了七次全国人口普查，如图为我国历次全国人口普查人口性别构成及总人口性别比（以女性为100，男性对女性的比例）统计图，则下列说法错误的是（）A近三次全国人口普查总人口性别比呈递减趋势B
2、我国历次全国人口普查总人口数呈逐次递增C第五次全国人口普查时，我国总人口数已经突破12亿D第七次人口普查时，我国总人口性别比最高3（2021春乐山期中）甲、乙两组数的数据如茎叶图所示，则甲、乙的平均数、方差、极差及中位数中相同的是（）A极差B方差C平均数D中位数4（2021河南开学）某班统计某次数学测验的平均分与方差（成绩不完全相同），计算完后才发现有位同学的分数录入了两次，只好重算一次已知第一次计算所得平均分和方差分别为，s2，第二次计算所得平均分和方差分别为，若此同学的得分恰好为，则（）A，B，C，D，5（2021安徽开学）已知如表是某品牌的研发投入x（万元）与销售额y（万元）的一组数据：
3、x456789y687580838490由散点图可知，销售额y与研发投入x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是4x+，则可以预测，当x12时，y的值为（）A104B103C102D1006（2021春焦作期中）驾照考试的要求非常严格，有的人不能一次性通过，需要补考，下面是某驾校学员第一次驾照考试的结果汇总表：成绩性别合格不合格男性4510女性3020根据上表，下面判断正确的为（）A有95%以上的把握认为能否一次性通过与性别有关B有99%以上的把握认为能否一次性通过与性别有关C有95%以上的把握认为能否一次性通过与性别无关D有5%以上的把握认为能否一次性通过与性别无关7（2021秋光明
4、区月考）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A为“向上的点数为奇数”，记事件B为“向上的点数为1或2”，则事件A与事件B的关系是（）A相互独立B互斥C既相互独立又互斥D既不相互独立又不互斥8（2021通辽模拟）某学校举行文艺比赛，比赛现场有5名专家教师评委给每位参赛选手评分，每位选手的最终得分由专家教师评分和观看学生评分确定某选手参与比赛后，现场专家教师评分情况如表；观看学生全部参与评分，将评分按照7，8），8，9），9，10分组，绘成频率分布直方图如图，则说法错误的是（）专家ABCDE评分9.69.59.68.99.7Aa0.3B用频率估计概率，估计学生评分不小于9的概率为C从5名教师随机选取
5、3人，X表示评分不小于9分的人数，则D从观看学生中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数，则9（2021秋江苏月考）一次劳动实践活动中，某同学不慎将两件次品混入三件正品中，它们形状、大小完全相同，该同学采用技术手段进行检测，恰好三次检测出两件次品的概率为（）ABCD10（2021春邯郸期中）随机变量的概率分布列为，k1，2，3，4，其中c是常数，则P（2）的值为（）ABCD11（2021春福建期中）已知随机变量服从正态分布N（1，2），且P（2）0.6，则P（02）等于（）A0.4B0.3C0.2D0.112（2021秋8月份月考）2021年中国人民银行计划发行60个贵金属纪
6、念币品种，以满足广大收藏爱好者的需要，其中牛年生肖币是收藏者的首选为了测算如图所示的直径为4的圆形生肖币中牛形图案的面积，进行如下实验，即向该圆形生肖币内随机投掷100个点，若恰有75个点落在牛形图案上，据此可估算牛形图案的面积是（）AB3C6D12二填空题（共5小题）13（2021越秀区校级开学）已知一组数据为85，87，88，90，92，则这组数据的第60百分位数为 14（2021春宣城期中）2021年全国两会期间，有全国人大代表建议为缩小贫富差距可考虑开征遗产税等措施某机构为了解各地群众对开征遗产税的认同程度，计划从12000人中分层抽取600人进行问卷调查，其中不到35岁的有3000人
7、，35岁至49岁的有4000人，其余年龄都是50岁及50岁以上，则应从50岁及50岁以上的群众中抽取 人15（2021成都开学）从编号1，2，3，99的99个零件中，抽取一个样本容量为11的样本，按系统抽样的方法分为11组，若第一组中抽取的零件编号为3，则第三组中抽取的零件编号为 16（2021湖北开学）已知随机变量XN（0，2），且P（Xa）m，a0，则P（aXa） （用m表示）17（2021香坊区校级四模）投掷红、蓝两颗均匀的骰子，设事件A：蓝色骰子的点数为5或6；事件B：两骰子的点数之和大于9，则在事件B发生的条件下事件A发生的概率P（A|B） 三解答题（共6小题）18（2021武汉开学
8、）在某班学生举办的庆祝建党一百周年活动中，指定4名同学依次在分别写有“建”，“党”，“百”，“年”四字的四张卡牌中有放回地随机抽取一张并记录结果（1）求最后的结果中同时有“建”“党”两字的概率；（2）用X表示结果中这四个字各出现次数中的最大值，求EX19（2021秋柳州月考）为庆祝2021年中国共产党成立100周年，某校高二年级举行“党史知识你我答”活动，共有10个班，每班选5名选手参加了预赛，预赛满分为150分，现预赛成绩全部介于90分到140分之间将成绩结果按如下方式分成五组：第一组90，100），第二组100，110），第五组130，140按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示（1）
9、若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求参赛学生在这次活动中成绩良好的人数；（2）若从第一、五组中共随机取出两个成绩，记X为取得第一组成绩的个数，求X的分布列与数学期望20（2021秋江西月考）学习强国APP是中宣部主管的一个网络学习平台，内容丰富，免费学习且无广告干扰，深受广大干部群众喜爱某县教育局为了解本县教师在学习强国APP上的学习情况，随机抽取了30名男教师与30名女教师，统计这些教师在某一天的学习积分得到如下茎叶图，把得分不低于30分的教师称为学习活跃教师，否则称为学习不活跃教师（1）指出这30名男教师学习积分的中位数；（2）由茎叶图完成下面22列联表，并回答是否有90
10、%的把握认为“是否是学习活跃教师与性别有关”；男教师女教师合计活跃不活跃合计（3）把这60名教师中学习活跃教师的频率作为全县教师（人数很多）学习活跃的概率，从全县教师中随机抽取100人，记学习活跃教师的人数为X，求E（X）参考公式：K2临界值表：P（K2k0）0.1500.1000.0500.0250.0100.001k02.0722.7063.8415.0246.63510.82821（2021辽宁开学）新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是50岁以上人群，该病毒进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间，潜伏期越长，感染到他人的可能性
11、越高，现对400个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期平均数为72，方差为2.252，如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，50岁以上人数占70%，长期潜伏人数占25%，其中50岁以上长期潜伏者有60人（1）请根据以上数据完成22列联表，并判断是否有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；22列联表，单位：人50岁以下（含50岁）50岁以上总计长期潜伏非长期潜伏总计（2）假设潜伏期X服从正态分布N（，2），其中近似为样本平均数，近似为样本方差s2，现在很多省市对入境旅客一律要求隔离14天，请结合3原则通过计算概率解释其合理性附：K2P（K2k0）0.10.05
12、0.010k02.7063.8416.635若XN（，2），P（X+）0.6827，P（2X+2）0.9545，P（3X+3）0.997322（2021秋五华区校级月考）随着手机的日益普及，中学生使用手机的人也越来越多，使用的手机也越来越智能某中学为了解学生在校园使用手机对学习成绩的影响，从全校学生中随机抽取了150名学生进行问卷调查经统计，有的学生在校园期间使用手机，且使用手机的学生中学习成绩优秀的占，另不使用手机的学生中学习成绩优秀的占（1）请根据以上信息完成22列联表，并分析是否有99.9%的把握认为“在校期间使用手机和学习成绩有关”？学习成绩优秀学习成绩不优秀合计在校期间使用手机在校期
13、间不使用手机合计（2）现从上表中学习成绩优秀的学生中按在校期间是否使用手机分层抽样选出6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人使用手机的概率？参考公式：K2其中na+b+c+d参考数据：P（K2k0）0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.82823（2021秋安徽月考）为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史的了解，某班级开展党史知识竞赛活动，现把50名学生的成绩绘制了如图所示的频率分布直方图（1）求a的值并估计这50名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）用分层抽样的方法从成绩在80，90），90，
14、100两组学生中抽取5人进行培训，再从这5人中随机抽取2人参加校级党史知识竞赛，求这2人来自不同小组的概率2022年高考数学复习新题速递之概率与统计（2021年9月）参考答案与试题解析一选择题（共12小题）1（2021春乐山期中）某学校高二、高三年级共有2100人，现按照分层抽样的方法，抽取70人作为样本进行某项调查若样本中高二年级学生有30人，则该校高二年级学生共有（）A480人B800人C840人D900人【考点】分层抽样方法菁优网版权所有【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算【分析】根据已知条件，结合分层抽样的性质，即可求解【解答】解：由抽取70人作为样本进行某项调查，其中高二年
15、级学生占30人，则分层抽样比为，故该校高二年级学生共有故选：D【点评】本题主要考查了分层抽样的性质，属于基础题2（2021秋蚌埠月考）我国在2020年开展了第七次全国人口普查，并于2021年5月11日公布了结果自新中国成立以来，我国共进行了七次全国人口普查，如图为我国历次全国人口普查人口性别构成及总人口性别比（以女性为100，男性对女性的比例）统计图，则下列说法错误的是（）A近三次全国人口普查总人口性别比呈递减趋势B我国历次全国人口普查总人口数呈逐次递增C第五次全国人口普查时，我国总人口数已经突破12亿D第七次人口普查时，我国总人口性别比最高【考点】频率分布直方图菁优网版权所有【专题】转化思想
16、；转化法；概率与统计；数学运算【分析】根据已知条件，结合图表中的数据，即可求解【解答】解：近三次普查总人口性别比为107.56，105.46，106.3，呈递减趋势，故A正确，观察图中的条形可得，人口总数呈逐次递增，故B正确，第五次全国人口普查时，我国总人口数男女均超过6亿，即总人口数已经突破12亿，故C正确，我国总人口性别比最高为第一次人口普查，故D错误故选：D【点评】本题考查了频率分布直方图的应用，考查数形结合能力，属于基础题3（2021春乐山期中）甲、乙两组数的数据如茎叶图所示，则甲、乙的平均数、方差、极差及中位数中相同的是（）A极差B方差C平均数D中位数【考点】茎叶图；众数、中位数、平
17、均数；极差、方差与标准差菁优网版权所有【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数学运算【分析】根据茎叶图分别求出平均数、方差、极差及中位数，判断即可【解答】解：由茎叶图得：甲：5，12，16，21，25，37，乙：1，6，14，18，38，39，显然甲的方差小于乙的方差，甲的平均数、极差，中位数分别是：，32，乙的平均数、极差分别是：，38，16，故选：C【点评】本题考查了茎叶图，考查平均数、方差、极差及中位数的定义及求法，是基础题4（2021河南开学）某班统计某次数学测验的平均分与方差（成绩不完全相同），计算完后才发现有位同学的分数录入了两次，只好重算一次已知第一次计算所得平均分和方差分别为，
18、s2，第二次计算所得平均分和方差分别为，若此同学的得分恰好为，则（）A，B，C，D，【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差菁优网版权所有【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；数据分析【分析】设这个班有n个同学，分数分别是a1，a2，a3，an，从而依次求平均数与方差，比较即可【解答】解：设这个班有n个同学，分数分别是a1，a2，a3，an，假设第i个同学的成绩录入了两次，第一次计算时，总分是，方差为；第二次计算时，方差为故有，故选：B【点评】本题考查平均数与方差，考查数据分析能力及化简运算能力，属于中档题5（2021安徽开学）已知如表是某品牌的研发投入x（万元）与销售额y（万
19、元）的一组数据：x456789y687580838490由散点图可知，销售额y与研发投入x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是4x+，则可以预测，当x12时，y的值为（）A104B103C102D100【考点】线性回归方程菁优网版权所有【专题】转化思想；定义法；概率与统计；逻辑推理；数学运算【分析】先求出样本中心，再利用线性回归方程必过样本中心，代入求解即可【解答】解：由题意可得，（4+5+6+7+8+9）6.5，（68+75+80+83+84+90）80，因为线性回归方程必过样本中心，则8046.5+，解得54，所以4x+54，当x12时，412+54102故选：C【点评】本题考查
20、了线性回归方程的求解，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题6（2021春焦作期中）驾照考试的要求非常严格，有的人不能一次性通过，需要补考，下面是某驾校学员第一次驾照考试的结果汇总表：成绩性别合格不合格男性4510女性3020根据上表，下面判断正确的为（）A有95%以上的把握认为能否一次性通过与性别有关B有99%以上的把握认为能否一次性通过与性别有关C有95%以上的把握认为能否一次性通过与性别无关D有5%以上的把握认为能否一次性通过与性别无关【考点】独立性检验菁优网版权所有【专题】转化思想；分析法；概率与统计；数学运算【分析】根据已知条件，结合独立性
21、检验公式，即可求解【解答】解：由表中的数据，可得22列联表如下： 合格 不合格 总计 男性 45 10 55 女性 3020 50 总计 75 30105，又3.8416.1096.635，有95%以上的把握认为能否一次性通过与性别有关，没有99%以上的把握认为能否一次性通过与性别有关故选：A【点评】本题主要考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力，属于基础题7（2021秋光明区月考）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A为“向上的点数为奇数”，记事件B为“向上的点数为1或2”，则事件A与事件B的关系是（）A相互独立B互斥C既相互独立又互斥D既不相互独立又不互斥【考点】互斥事件与对立事件菁优
22、网版权所有【专题】计算题；综合法；概率与统计；数学抽象【分析】根据题意，由互斥事件和相互独立事件的定义，分析可得答案【解答】解：根据题意，事件A为“向上的点数为奇数”，记事件B为“向上的点数为1或2”，则P（A），P（B），P（AB），则有P（A）P（B）P（AB），AB事件相互独立，向上的点数为1时，AB事件同时发生，AB事件不互斥，故选：A【点评】本题考查互斥事件和相互独立事件的判断，注意两者的定义，属于基础题8（2021通辽模拟）某学校举行文艺比赛，比赛现场有5名专家教师评委给每位参赛选手评分，每位选手的最终得分由专家教师评分和观看学生评分确定某选手参与比赛后，现场专家教师评分情况如表；
23、观看学生全部参与评分，将评分按照7，8），8，9），9，10分组，绘成频率分布直方图如图，则说法错误的是（）专家ABCDE评分9.69.59.68.99.7Aa0.3B用频率估计概率，估计学生评分不小于9的概率为C从5名教师随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数，则D从观看学生中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数，则【考点】频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【专题】转化思想；分析法；概率与统计；数学运算【分析】对于A，根据已知条件，结合频率分布直方图的性质，即可求解，对于B，由用频率估计概率，直接读取频率分布直方图，即可求解，对于C，从5名学生随机
24、抽取3人，X表示平方不小于9分的人数，X的可能取值为2，3，分别求出对应的概率，并结合期望公式，即可求解，对于D，由已知条件可得，Y，再结合期望公式，即可求解【解答】解：由频率分布直方图的性质可得，0.2+a+0.51，解得a0.3，故A正确，对于B，由频率分布直方图用频率估计概率，估计学生平方不小于9的概率为P0.5，故B正确，对于C，从5名学生随机抽取3人，X表示平方不小于9分的人数，X的可能取值为2，3，P（X2），P（X3），故E（X），故C错误，对于D，由已知条件可得，Y，故E（Y），故D正确故选：C【点评】本题主要考查频率分布直方图的性质，以及古典概型，二项分布等基础知识，属于基础
25、题9（2021秋江苏月考）一次劳动实践活动中，某同学不慎将两件次品混入三件正品中，它们形状、大小完全相同，该同学采用技术手段进行检测，恰好三次检测出两件次品的概率为（）ABCD【考点】古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算【分析】恰好三次检测出两件次品包含前三次检测均为正品，或者前两次有一次检测出了一次次品，第三次检测出了一件次品两类情况，共有种，再结合古典概型的概率公式，即可求解【解答】解：恰好三次检测出两件次品包含前三次检测均为正品，或者前两次有一次检测出了一次次品，第三次检测出了一件次品两类情况，共有种，故所求的概率P故选：D【点评】本题主要
26、考查了古典概型的概率公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题10（2021春邯郸期中）随机变量的概率分布列为，k1，2，3，4，其中c是常数，则P（2）的值为（）ABCD【考点】离散型随机变量及其分布列菁优网版权所有【专题】转化思想；定义法；概率与统计；逻辑推理；数学运算【分析】利用随机变量概率之和为1，列式求出c的值，然后由概率公式求解即可【解答】解：由题意，随机变量的概率分布列为，k1，2，3，4， 则 ，解得，所以故选：D【点评】本题考查了随机变量概率之和为1的应用，离散型随机变量概率公式的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题11（2021春福建期中）已知随机变量服从正
27、态分布N（1，2），且P（2）0.6，则P（02）等于（）A0.4B0.3C0.2D0.1【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义菁优网版权所有【专题】转化思想；分析法；概率与统计；数学运算【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解【解答】解：曲线关于直线x1对称，P（2）0.6，P（2）P（0）0.4，故P（02）10.40.40.2故选：C【点评】本题主要考查了正态分布的对称性，掌握正态分布的对称性是解决正态分布概率的关键，属于基础题12（2021秋8月份月考）2021年中国人民银行计划发行60个贵金属纪念币品种，以满足广大收藏爱好者的需要，其中牛年生肖币是收藏者的首选为了测
28、算如图所示的直径为4的圆形生肖币中牛形图案的面积，进行如下实验，即向该圆形生肖币内随机投掷100个点，若恰有75个点落在牛形图案上，据此可估算牛形图案的面积是（）AB3C6D12【考点】几何概型菁优网版权所有【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算【分析】根据已知条件，结合几何概型的公式，即可求解【解答】解：向该圆形生肖币内随机投掷100个点，恰有75个点落在牛形图案上，则牛形图案部分占，故估计牛形图案的面积为故选：B【点评】本题主要考查了几何概型的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题二填空题（共5小题）13（2021越秀区校级开学）已知一组数据为85，87，88，90，92，则这组数
29、据的第60百分位数为 89【考点】众数、中位数、平均数菁优网版权所有【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数据分析【分析】根据数据的百分位数定义，计算即可【解答】解：该组数据85，87，88，90，92有5个，且560%3，所以这组数据的第60百分位数是（88+90）89故答案为：89【点评】本题考查了百分位数的定义与应用问题，是基础题14（2021春宣城期中）2021年全国两会期间，有全国人大代表建议为缩小贫富差距可考虑开征遗产税等措施某机构为了解各地群众对开征遗产税的认同程度，计划从12000人中分层抽取600人进行问卷调查，其中不到35岁的有3000人，35岁至49岁的有4000人，其余
30、年龄都是50岁及50岁以上，则应从50岁及50岁以上的群众中抽取 250人【考点】分层抽样方法菁优网版权所有【专题】转化思想；定义法；概率与统计；数学运算【分析】根据已知条件，结合分层抽样的性质，即可求解【解答】解：由题意可得，50岁及50岁以上的有12000300040005000，故应从50岁及50岁以上的群众中抽取 （人）故答案为：250【点评】本题考查了分层抽样的性质，属于基础题15（2021成都开学）从编号1，2，3，99的99个零件中，抽取一个样本容量为11的样本，按系统抽样的方法分为11组，若第一组中抽取的零件编号为3，则第三组中抽取的零件编号为 21【考点】系统抽样方法菁优网版
31、权所有【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数据分析【分析】求出系统抽样间隔，根据第一组中抽取的零件编号，即可写出第三组中抽取的零件编号【解答】解：计算系统抽样间隔为99119，因为第一组中抽取的零件编号为3，所以第三组中抽取的零件编号为3+2921故答案为：21【点评】本题考查了系统抽样应用问题，是基础题16（2021湖北开学）已知随机变量XN（0，2），且P（Xa）m，a0，则P（aXa）2m1（用m表示）【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义菁优网版权所有【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解【解答】解：随机变量XN（0，
32、2），P（Xa）m，P（Xa）P（Xa）1m，P（aXa）1P（X）P（Xa）12（1m）2m1故答案为：2m1【点评】本题主要考查了正态分布的对称性，掌握正态分布的对称性是解决正态分布概率的关键，属于基础题17（2021香坊区校级四模）投掷红、蓝两颗均匀的骰子，设事件A：蓝色骰子的点数为5或6；事件B：两骰子的点数之和大于9，则在事件B发生的条件下事件A发生的概率P（A|B）【考点】条件概率与独立事件菁优网版权所有【专题】转化思想；分析法；概率与统计；数学运算【分析】根据已知条件，结合列举法和条件概率公式，即可求解【解答】解：设红蓝两颗骰子的点数分别为x，y，基本事件用（x，y）表示，共有6
33、636种情况，事件B包含基本事件（4，6），（5，5），（5，6），（6，4），（6，5），（6，6），共6种，则P（B），事件A和事件B同时发生的基本事件为（4，6），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共5种，则P（AB），故事件B发生的条件下事件A发生的概率P（A|B）故答案为：【点评】本题主要考查了条件概率公式的应用，需要学生熟练掌握公式，属于基础题三解答题（共6小题）18（2021武汉开学）在某班学生举办的庆祝建党一百周年活动中，指定4名同学依次在分别写有“建”，“党”，“百”，“年”四字的四张卡牌中有放回地随机抽取一张并记录结果（1）求最后的结果中同时有“建”“党”两字
34、的概率；（2）用X表示结果中这四个字各出现次数中的最大值，求EX【考点】离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【专题】转化思想；定义法；概率与统计；逻辑推理；数学运算【分析】（1）利用两个计数原理以及古典概型的概率公式分析求解，即可得到答案；（2）先求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，由数学期望的计算公式求解即可【解答】解：（1）因为是有放回的抽取，所以每位同学都有四种选择，故共有4444256种，其中最后的结果中没有“建”“党”两字，共有222216种，只有“建”或者只有“党”字，共有2（）130种，所以最后的结果中同时有“建”“党”两字的概率为；（2）由题意，X的可能取值为4
35、，3，2，1，所以P（X4），P（X3），P（X2），P（X1），所以E（X）4+3+2+1【点评】本题考查了两个计数原理以及古典概型的概率公式的应用，排列组合知识的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题19（2021秋柳州月考）为庆祝2021年中国共产党成立100周年，某校高二年级举行“党史知识你我答”活动，共有10个班，每班选5名选手参加了预赛，预赛满分为150分，现预赛成绩全部介于90分到140分之间将成绩结果按如下方式分成五组：第一组90，100），第二组100，110），第五组130，140按上述分组方法得到的频率
36、分布直方图如图所示（1）若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求参赛学生在这次活动中成绩良好的人数；（2）若从第一、五组中共随机取出两个成绩，记X为取得第一组成绩的个数，求X的分布列与数学期望【考点】频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【专题】转化思想；分析法；概率与统计；数学运算【分析】（1）根据频率分布直方图，结合频数与频数的关系，即可求解（2）由题意可得，X的所有可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解【解答】解：（1）由频率分布直方图可得，成绩在100，120）内的人数为500.01610+500.03810
37、27（人）（2）由题意可得，X的所有可能取值为0，1，2，P（X0），P（X1），P（X2），故X的分布列为：X 0 1 2 P 故E（X）【点评】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于基础题20（2021秋江西月考）学习强国APP是中宣部主管的一个网络学习平台，内容丰富，免费学习且无广告干扰，深受广大干部群众喜爱某县教育局为了解本县教师在学习强国APP上的学习情况，随机抽取了30名男教师与30名女教师，统计这些教师在某一天的学习积分得到如下茎叶图，把得分不低于30分的教师称为学习活跃教师，否则称为学习不活跃教师（1）指出这30名男教师学习积分的中位数；（2）由
38、茎叶图完成下面22列联表，并回答是否有90%的把握认为“是否是学习活跃教师与性别有关”；男教师女教师合计活跃不活跃合计（3）把这60名教师中学习活跃教师的频率作为全县教师（人数很多）学习活跃的概率，从全县教师中随机抽取100人，记学习活跃教师的人数为X，求E（X）参考公式：K2临界值表：P（K2k0）0.1500.1000.0500.0250.0100.001k02.0722.7063.8415.0246.63510.828【考点】茎叶图；独立性检验；离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算【分析】（1）由中位数的定义，直接求出结果（2）结合茎叶图
39、的数据，补充完整22列联表，再结合独立性检验公式，即可求解（3）全县教师学习活跃的概率为，从全县教师中随机抽取100人，XB（100，），再结合二项分布的期望公式，即可求解【解答】解：（1）这30名男教师学习积分的中位数为（2）22列联表如下： 男教师 女教师 合计 活跃 20 16 36 不活跃 10 14 24 合计 30 30602.706，没有90%的把握认为“是否是学习活跃教师与性别有关“（3）全县教师学习活跃的概率为，从全县教师中随机抽取100人，XB（100，），故E（X）100【点评】本题主要考查了独立性检验的应用问题，也考查了二项分布期望公式的应用，属于中档题21（2021辽
40、宁开学）新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是50岁以上人群，该病毒进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间，潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对400个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期平均数为72，方差为2.252，如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，50岁以上人数占70%，长期潜伏人数占25%，其中50岁以上长期潜伏者有60人（1）请根据以上数据完成22列联表，并判断是否有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；22列联表，单位：人50岁以下（含50岁）50岁以上总计长期潜伏非长期潜伏总计
41、（2）假设潜伏期X服从正态分布N（，2），其中近似为样本平均数，近似为样本方差s2，现在很多省市对入境旅客一律要求隔离14天，请结合3原则通过计算概率解释其合理性附：K2P（K2k0）0.10.050.010k02.7063.8416.635若XN（，2），P（X+）0.6827，P（2X+2）0.9545，P（3X+3）0.9973【考点】独立性检验；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义菁优网版权所有【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算【分析】（1）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解（2）由+313.95，可得P（X13.95），即可求解【解答】解：（1）22列联表： 50
42、岁以下（含50岁） 50岁以上 总计 长期潜伏 40 60 100 非长期潜伏 80 220 300 总计 120 2804003.841，有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关（2）+313.95，P（X13.95），故潜伏期超过14天的概率很低，因此14天是合理的【点评】本题主要考查了独立性检验的应用问题，以及正态分布的对称性，属于基础题22（2021秋五华区校级月考）随着手机的日益普及，中学生使用手机的人也越来越多，使用的手机也越来越智能某中学为了解学生在校园使用手机对学习成绩的影响，从全校学生中随机抽取了150名学生进行问卷调查经统计，有的学生在校园期间使用手机，且使用手机的学生中学
43、习成绩优秀的占，另不使用手机的学生中学习成绩优秀的占（1）请根据以上信息完成22列联表，并分析是否有99.9%的把握认为“在校期间使用手机和学习成绩有关”？学习成绩优秀学习成绩不优秀合计在校期间使用手机在校期间不使用手机合计（2）现从上表中学习成绩优秀的学生中按在校期间是否使用手机分层抽样选出6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人使用手机的概率？参考公式：K2其中na+b+c+d参考数据：P（K2k0）0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828【考点】独立性检验菁优网版权所有【专题】转化思想；分析法；概率与统计；数学运算【分析】（1）根
44、据已知条件，补全联表，再结合独立性检验公式，即可求解（2）先分解分层抽样确定各层抽取人数，再结合古典概型的概率公式，即可求解【解答】解：（1）从全校学生中随机抽取了150名学生进行问卷调查，有的学生在校园期间使用手机，则在校期间使用手机的人数合计为，使用手机的学生中学习成绩优秀的占，使用手机的学生中学习成绩优秀的人数为100，使用手机且学习成绩不优秀的人数为1002080人，不使用手机的学生中学习成绩优秀的占，不使用手机的学生中学习成绩优秀的人数为50，不使用手机且学习成绩不优秀的人数为504010人，故22列联表如下： 学习成绩优秀 学习成绩不优秀 合计 在校期间使用手机 20 80 100
45、 在校期间不使用手机 40 10 50 合计 60 901505010.828，有99.9%的把握认为“在校期间使用手机和学习成绩有关”（2）从学习成绩优秀的学生中按在校期间是否使用手机分层抽样选出6人，其中使用手机占 人，不使用手机占624人，从这6人中随机抽取2人，这2人中至少有1人使用手机的概率P【点评】本题主要考查了独立性检验的应用问题，也考查了古典概型的概率公式，属于中档题23（2021秋安徽月考）为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史的了解，某班级开展党史知识竞赛活动，现把50名学生的成绩绘制了如图所示的频率分布直方图（1）求a的值并估计这50名学生的平均成绩（同一
46、组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）用分层抽样的方法从成绩在80，90），90，100两组学生中抽取5人进行培训，再从这5人中随机抽取2人参加校级党史知识竞赛，求这2人来自不同小组的概率【考点】频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率菁优网版权所有【专题】转化思想；分析法；概率与统计；数学运算【分析】（1）根据已知条件，结合频率分布直方图的性质，以及平均数公式，即可求解（2）根据已知条件，结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解【解答】解：（1）根据频率分布直方图得：（0.004+0.006+a+0.030+0.024+0.016）101，解得a0.02，估计平均成绩为：4
47、5（0.00410）+55（0.00610）+65（0.02010）+75（0.03010）+85（0.02410）+95（0.01610）76.2（2）来自80，90）小组的有3人记为a1，a2，a3，来自90，100小组的有2人记为b1，b2，从5人中随机抽取2人，基本事件为：a1a2，a1a3，a1b1，a1b2，a2a3，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2，b1b2，来自不同组的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2，所以概率为【点评】本题主要考查了频率分布直方图的性质，以及古典概型的概率公式，属于基础题考点卡片1分层抽样方法【知识点的认识】1定义：当已知总体
48、由差异明显的几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，常将总体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分的各部分叫“层”2三种抽样方法比较类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的从总体中逐个抽取 总体中的个体数较少系统抽样将总体均匀分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成【解题方法点拨】分层抽样方法操作步骤：（1）分层：将总体按某种
49、特征分成若干部分；（2）确定比例：计算各层的个体数与总体的个体数的比；（3）确定各层应抽取的样本容量；（4）在每一层进行抽样（各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取），综合每层抽样，组成样本【命题方向】（1）区分分层抽样方法例：某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查这种抽样方法是（）A简单随机抽样法 B抽签法 C随机数表法 D分层抽样法分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样解答：总体由男生和女生组成，比例为500：4005：4，所抽取的比例也是5：4故选D点评：本小题主要考查
50、抽样方法，属基本题（2）求抽取样本数例1：某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是（）A.8，8 B.10，6 C.9，7 D.12，4分析：先计算每个个体被抽到的概率，再用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率，即得到该层应抽取的个体数解答：每个个体被抽到的概率等于，549，427故从一班抽出9人，从二班抽出7人，故选C点评：本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数例2：某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该
51、单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A.35 B.25 C.15 D.7分析：先计算青年职工所占的比例，再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可解答：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7：5：3，所以样本容量为15故选C点评：本题考查分层抽样的定义和方法，求出每个个体被抽到的概率，用个体的总数乘以每个个体被抽到的概率，就得到样本容量n的值2系统抽样方法【知识点的认识】1定义：一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系
52、统抽样2系统抽样的特征：（1）当总体容量N较大时，适宜采用系统抽样；（2）将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此系统抽样又称等距抽样，这里的间隔一般为k（3）在第一部分的抽样采用简单随机抽样；（4）每个个体被抽到的可能性相等3系统抽样与简单随机抽样的关系：（1）系统抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的，当将总体均分后对每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；（2）系统抽样和简单随机抽样都是等概率抽样，它是公平的4系统抽样与简单随机抽样的优缺点：（1）当总体的个体数较大时，用系统抽样比用简单随机抽样更易实施，更节约成本；（2）系统抽样比简单随机抽样应用范围更广；（3
53、）系统抽样所得到的样本的代表性和个体的编号有关，而简单随机抽样所得到的样本的代表性与编号无关，如果编号的特征随编号的变化呈一定的周期性，可能造成系统抽样的代表性很差【解题方法点拨】系统抽样的一般步骤：（1）编号：采用随机的方式将总体中的个体编号；（2）分段：确定分段间隔k，对编号进行分段（N为总体个数，n为样本容量）：当时，k，当时，通过从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中的个体数N能被n整除，这时k（注意这时要重新编号1N后，才能再分段）（3）确定起始编号：在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号l（lN，lk）；（4）抽样：按事先确定的规则抽取样本，即l，l+k，l+2k，l+（n1）k【
54、命题方向】1考查系统抽样的定义例：某小礼堂有25排座位，每排有20个座位一次心理讲座时礼堂中坐满了学生，讲座后为了了解有关情况，留下了座位号是15的25名学生进行测试，这里运用的抽样方法是（）A抽签法 B随机数表法 C系统抽样法 D分层抽样法分析：由题意可得，从第一排起，每隔20人抽取一个，所抽取的样本的间隔距相等，符合系统抽样的定义解答：由题意可得，从第一排起，每隔20人抽取一个，所抽取的样本的间隔距相等，故属于系统抽样，故选C点评：本题考查系统抽样的定义和方法，属于容易题2考查系统抽样的应用例：将参加夏令营的100名学生编号为001，002，100先采用系统抽样方法抽取一个容量为20的样本
55、，若随机抽得的号码为003，那么从048号到081号被抽中的人数是分析：根据系统抽样的定义，即可得到结论解答：样本容量为20，首个号码为003，样本组距为100205对应的号码数为3+5（x1）5x2，由485x281，得10x16.6，即x10，11，12，13，14，15，16，共7个，故答案为：7点评：本题主要考查系统抽样的应用，利用系统抽样的定义建立号码关系是解决本题的关键，比较基础3频率分布直方图【知识点的认识】1频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图2频
56、率分布直方图的特征图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉3频率分布直方图求数据众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标【解题方法点拨】绘制频率分布直方图的步骤：4茎叶图【知识点的认识】1茎叶图：将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图称为茎叶图 例：某篮球运动员在某赛季各场比赛的得分情况：12
57、，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50 得分表示成茎叶图如下： 2茎叶图的优缺点：优点：（1）所有信息都可以从茎叶图上得到（2）茎叶图便于记录和表示缺点：分析粗略，对差异不大的两组数据不易分析；表示三位数以上的数据时不够方便【解题方法点拨】茎叶图的制作步骤：（1）将每个数据分为“茎”（高位）和“叶”（低位）两部分（2）将最小的茎和最大的茎之间的数按小大次序排成一列（3）将各个数据的叶按大小次序写在茎右（左）侧第1步中，如果是两位数字，则茎为十位上的数字，叶为个位上的数字，如89，茎：8，叶：9如果是三位数字，则茎为百位上的数字，叶为十位和个位上的数字，如123
58、，茎：1，叶：23对于重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，同一数据出现几次，就要在图中体现几次5众数、中位数、平均数【知识点的认识】1众数、中位数、平均数 众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数； （2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；（3）平均数：一组数据的算术平均数，即2众数、中位数、平均数的优缺点【解题方法点拨】众数、中位数、平均数的选取：（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；（2
59、）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数 （2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和6极差、方差与标准差【概念】 用一
60、组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差方差的算术平方根就为标准差方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大【例题解析】例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差 解：极差是：102984；平均数（98+100+101+102+99）100，则方差是：S2（98100）2+（100100）2+（101100）2+（102100）2+（99100）22；标准差S 可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了【考点分析】 这个考点很重要，也很容易，所以
61、大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了7线性回归方程【概念】 线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，运用十分广泛分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系，设随机变量与变量之间存在线性相关关系，则由试验数据得到的点将散布在某一直线周围因
62、此，可以认为关于的回归函数的类型为线性函数【实例解析】例：对于线性回归方程，则 解：，因为回归直线必过样本中心（），所以故答案为：58.5 方法就是根据线性回归直线必过样本中心（），求出，代入即可求这里面可以看出线性规划这类题解题方法比较套路化，需要熟记公式【考点点评】 这类题记住公式就可以了，也是高考中一个比较重要的点8独立性检验【知识点的知识】1、分类变量： 如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量2、原理：假设性检验（类似反证法原理）一般情况下：假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算K2值，然后查表对照相应的概率P，发现这种假设正确的概率P很小，从而推翻
63、假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为（1P），也就是“X和Y有关系”（表中的k就是K2的观测值，即kK2）其中na+b+c+d（考试给出）3、22列联表：4、范围：K2（0，+）；性质：K2越大，说明变量间越有关系5、解题步骤：（1）认真读题，取出相关数据，作出22列联表；（2）根据22列联表中的数据，计算K2的观测值k；（3）通过观测值k与临界值k0比较，得出事件有关的可能性大小9互斥事件与对立事件【知识点的认识】1互斥事件（1）定义：一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件 如果A1，A2，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，A
64、n彼此互斥 （2）互斥事件的概率公式：在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有： P（A+B）P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A与B互斥推广：一般地，如果事件A1，A2，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即： P（A1+A2+An）P（A1）+P（A2）+P（An）2对立事件（1）定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做 注：两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件；在一次试验中，事件A与只发生其中之一，并且必然发生其中之一（2）对立事件的概率公式：
65、 P（）1P（A）3互斥事件与对立事件的区别和联系互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件【命题方向】1考查对知识点概念的掌握例1：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A“至少有一个红球”与“都是黑球”B“至少有一个黑球”与“都是黑球”C“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”分析：列举每个事件所包含的基本事件，结合互
66、斥事件和对立事件的定义，依次验证即可解答：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，B不正确对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，C不正确对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，这两个事件是互斥事件，又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，D正确故选D点评：本题考查互斥事件与对
67、立事件首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件属简单题例2：下列说法正确的是（）A互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件C事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大D事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小分析：根据对立事件和互斥事件的概率，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，这两者之间的关系是一个包含关系解答：根据对立事件和互斥事件的概念，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定
68、是对立事件，故选B点评：本题考查互斥事件与对立事件之间的关系，这是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，只要理解两个事件之间的关系就可以选出正确答案2互斥事件概率公式的应用例：甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是分析：记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，且，则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）P（A）+P（B）可求解答：甲乙两人下棋比赛，记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，则，则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）P（A）+P（B）故答案为：点评：本题主要考查
69、互斥事件的关系，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率计算中的应用3对立事件概率公式的应用例：若事件A与B是互为对立事件，且P（A）0.4，则P（B）（）A.0 B.0.4 C.0.6 D.1分析：根据对立事件的概率公式p（）1P（A），解得即可解答：因为对立事件的概率公式p（）1P（A）0.6，故选C点评：本题主要考查对立事件的定义，属于基础题10古典概型及其概率计算公式【考点归纳】1定义：如果一个试验具有下列特征：（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的则称这
70、种随机试验的概率模型为古典概型*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可2古典概率的计算公式如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）【解题技巧】1注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数因此要注意清楚以下三个方面：（1）本试验是否具有等可能性；（2）本试验的基本事件有多少个；（3）事件A是什么2解题实现步骤：
71、（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；（4）利用公式P（A）求出事件A的概率3解题方法技巧：（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型11列举法计算基本事件数及事件发生的概率【知识点的知识】1、等可能条件下概率的意义：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A） 等可能条件下概率的特征：（1）对于每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的； （2
72、）每一个结果出现的可能性相等 2、概率的计算方法：（1）列举法（列表或画树状图），（2）公式法； 列表法或树状图这两种举例法，都可以帮助我们不重不漏的列出所以可能的结果 列表法 （1）定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法 （2）列表法的应用场合 当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法 树状图法 （1）定义：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法 （2）运用树状图法求概率的条件 当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用
73、树状图法求概率【典型例题分析】典例1：将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：ax+by2，l2：x+2y2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点（P1，P2）在圆（xm）2+y2的内部，则实数m的取值范围是（）A（，+） B（，） C（，） D（，）解析：对于a与b各有6中情形，故总数为36种设两条直线l1：ax+by2，l2：x+2y2平行的情形有a2，b4，或a3，b6，故概率为P设两条直线l1：ax+by2，l2：x+2y2相交的情形除平行与重合即可，当直线l1、l2相交时b2a，图中满足b2a的有（1，2）、（2，4）
74、、（3，6）共三种，满足b2a的有36333种，直线l1、l2相交的概率P，点（P1，P2）在圆（xm）2+y2的内部，（m）2+（）2，解得m故选：D典例2：某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下等级12345频率0.05m0.150.35n（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率解析：（1）由频率分布表得 0.05+m+0.15+0.35+n1，即 m+n0.45（2分）由抽取的20个零件中
75、，等级为5的恰有2个，得 （4分）所以m0.450.10.35（5分）（2）：由（1）得，等级为3的零件有3个，记作x1，x2，x3；等级为5的零件有2个，记作y1，y2从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：（x1，x2），（x1，x3），（x1，y1），（x1，y2），（x2，x3），（x2，y1），（x2，y2），（x3，y1），（x3，y2），（y1，y2）共计10种（9分）记事件A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”则A包含的基本事件为（x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2）共4个（11分）故所求概率为 （1
76、3分）12几何概型【考点归纳】1定义：若一个试验具有下列特征：（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；（2）每次试验的各种结果是等可能的那么这样的试验称为几何概型2几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域，事件A所对应的区域用A表示（A），则P（A）称为事件A的几何概率13离散型随机变量及其分布列【考点归纳】1、相关概念；（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母、等表示（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量若是随机变量，a
77、+b，其中a、b是常数，则也是随机变量（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 （4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出2、离散型随机变量（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量随机变量常用大写字母X，Y，表示，也可以用希腊字母，表示（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都
78、能一一列举出来，则称X为离散型随机变量3、离散型随机变量的分布列（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，pn，则得下表： X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列（2）性质：pi0，i1，2，3，n；p1+p2+pn114离散型随机变量的期望与方差【知识点的知识】1、离散型随机变量的期望数学期望：一般地，若离散型随机变量的概率分布为x1x2xnPp1p2pn则称Ex1p1+x2p2+xnpn+为的数学期望，简称期望数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的
79、一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令p1p2pn，则有p1p2pn，E（x1+x2+xn），所以的数学期望又称为平均数、均值 期望的一个性质：若a+b，则E（a+b）aE+b 2、离散型随机变量的方差；方差：对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是x1，x2，xn，且取这些值的概率分别是p1，p2，pn，那么，称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的E是随机变量的期望标准差：D的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作方差的性质：方差的意义：（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；（2）随机变量 的方
80、差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛15条件概率与独立事件【知识点的知识】1、条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示（2）条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）（3）条件概率的求法：利用条件概率公式，分别求出P（A）和P（AB），得P（B|A），其中P（A）0；借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n（AB），得P（B|
81、A）【解题方法点拨】典例1：利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，在a+b为偶数的条件下，|ab|2发生的概率是解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6636，即（a，b）的情况有36种，事件“a+b为偶数”包含基本事件：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个，“在a+b为偶数的条件下，|ab|2”包含基本事件：（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个
82、，故在a+b为偶数的条件下，|ab|2发生的概率是P故答案为：典例2：甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是设每人回答正确与否相互之间没有影响，用表示甲队总得分（）求随机变量的分布列及其数学期望E（）；（）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率分析：（）由题设知的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（0），P（1），P（2），P（3），由此能求出随机变量的分布列和数学期望E（）（）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高
83、”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再由P（B/A），能求出结果解答：（）由题设知的可能取值为0，1，2，3，P（0）（1）（1）（1），P（1）（1）（1）+（1）（1）+（1）（1），P（2）+，P（3），随机变量的分布列为： 012 3P 数学期望E（）0+1+2+3（）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，则P（A）+，P（AB），P（B|A）【解题方法点拨】1、P（B|A）的性质：（1）非负性：对任意的A，0P（B|A）1； （2）规范性：P（|B）1；P（|B）0；（3）可列可加性：如果是两个互斥事件，则P（BC|A）P（B|A）+P（C|A）2
84、、概率P（B|A）和P（AB）的区别与联系：（1）联系：事件A和B都发生了；（2）区别：a、P（B|A）中，事件A和B发生有时间差异，A先B后；在P（AB）中，事件A、B同时发生b、样本空间不同，在P（B|A）中，样本空间为A，事件P（AB）中，样本空间仍为16正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【知识点的知识】1正态曲线及性质（1）正态曲线的定义函数，（x），x（，+），其中实数和（0）为参数，我们称，（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线（2）正态曲线的解析式指数的自变量是x定义域是R，即x（，+）解析式中含有两个常数：和e，这是两个无理数解析式中含有两个参数：和，其中可取任
85、意实数，0这是正态分布的两个特征数解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为2正态分布（1）正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b（ab），随机变量X满足P（aXb），（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（，2）（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P（X+）0.6826；P（2X+2）0.9544；P（3X+3）0.99743正态曲线的性质正态曲线，（x），xR有以下性质：（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x对称；（3）曲线在x处达到峰值；（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；（5）当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平
86、移；（6）当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散4三个邻域 会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据【典型例题分析】题型一：概率密度曲线基础考察典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x），则这个正态总体的平均数与标准差分别是（）A10与8 B10与2 C8与10 D2与10解析：由，可知2，10答案：B典例2：已知随机变量服从正态分布N（2，2），且P（4）0.8，则P（02）等于（）A0.6 B0
87、.4 C0.3 D0.2解析：由P（4）0.8知P（4）P（0）0.2，故P（02）0.3故选C典例3：已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2X4）0.682 6，则P（X4）等于（）A0.158 8 B0.158 7 C0.158 6 D0.158 5解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x3对称，P（X4）0.5P（2X4）0.50.682 60.1587故选B题型二：正态曲线的性质典例1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；（2）求正态总体在（4，4的概率分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析
88、式中的两个参数，的值，其中决定曲线的对称轴的位置，则与曲线的形状和最大值有关解（1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即0由，得4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是，（x），x（，+）（2）P（4X4）P（04X0+4）P（X+）0.6826点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响典例2：设两个正态分布N（1，）（10）和N（2，）（20）的密度函数图象如图所示，则有（）A12，12B12，12C12，12D12，12解析：根据正态分布N（，2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x对称，在x
89、处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A答案：A题型三：服从正态分布的概率计算典例1：设XN（1，22），试求（1）P（1X3）；（2）P（3X5）；（3）P（X5）分析：将所求概率转化到（，+（2，+2或3，+3上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解解析：XN（1，22），1，2（1）P（1X3）P（12X1+2）P（X+）0.682 6（2）P（3X5）P（3X1），P（3X5）P（3X5）P（1X3）P（14X1+4）P（12X1+2）P（2X+2）P（X+）（0.954 40.682 6）0.1359（3）P（X5）P
90、（X3），P（X5）1P（3X5）1P（14X1+4）1P（2X+2）（10.954 4）0.0228 求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上典例2：随机变量服从正态分布N（1，2），已知P（0）0.3，则P（2）解析：由题意可知，正态分布的图象关于直线x1对称，所以P（2）P（0）0.3，P（2）10.30.7答案：0.7题型4：正态分布的应用典例1：2011年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共
91、抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量服从正态分布N（8，2），已知耗油量7，9的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有辆解析：由题意可知N（8，2），故正态分布曲线以8为对称轴，又因为P（79）0.7，故P（79）2P（89）0.7，所以P（89）0.35，而P（8）0.5，所以P（9）0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1 2000.15180辆点评：服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和x轴之间的曲边梯形的面积，根据正态密度曲线的对称性，当P（x1）P（x2）时必然有，这是解决正态分布类试题的一个重
92、要结论典例2：工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N（4，），问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间（3，5这个尺寸范围的零件大约有多少个？解XN（4，），4，不属于区间（3，5的概率为P（X3）+P（X5）1P（3X5）1P（41X4+1）1P（3X+3）10.99740.00260.003，1 0000.0033（个），即不属于区间（3，5这个尺寸范围的零件大约有3个【解题方法点拨】 正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误对正态分布N（，2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为2而不是，同时，记住正态密度曲线的六条性质声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/9/18 15:25:40；用户：招远8；邮箱：zybzy8；学号：40292118