1、浦东新区2012学年度第一学期期末质量测试高三数学试卷（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1若集合，则实数 . 【答案】1因为，所以，即。2已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是【答案】由题意可知方程组为，解得。3函数的定义域为 . 【答案】要使函数有意义，则有，即，所以，即函数的定义域为。4已知，且，则的最大值为 .【答案】因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为。5函数（）的反函数是 .【答案】，由得，所以。当时，即，（）。6函数的最小正周期为 .【答案】由得，所以周期。7等差数列中，则该数列的前项的和
2、 .【答案】在等差数列，得，即。所以。8已知数列是无穷等比数列，其前n项和是，若， 则的值为 . 【答案】由，得，所以。9已知实数满足约束条件，则的最小值等于 .【答案】由得，作出不等式组对应的可行域为BCD,平移直线，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最小，此时最小，由，得，即,代入得。10若一个圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 .【答案】因为圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，所以母线，底面半径。所以底面周长，所以侧面积为。11二项式的展开式前三项系数成等差数列，则 .【答案】二项式的通项公式为，所以展开式的前三项为，即，因为前三项系数成等差数列，所以，解得或（舍去
3、）。12如图所示，已知一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 . 【答案】由三视图可知该几何下面是圆柱，上面是四棱锥。圆柱的底面半径为1，高为2.所以圆柱的体积为。四棱锥的高为，四棱锥底面边长为，所以四棱锥的体积为，所以该几何体的体积为。13非零向量与，对于任意的的最小值的几何意义为 .【答案】点A到直线的距离设向量与的夹角为，所以，所以当时，有最小值，此时，所以的最小值的几何意义为点A到直线的距离。14共有种排列，其中满足“对所有 都有”的不同排列有 种.【答案】54可分步考虑：第1步，确定，所以只能从1,2,3这3个数字中选1个，有3种；第2步，确定，从上面余下的2个中选1个，再可选数
4、字，有3种；第3步，确定，从上面余下的2个中选1个，再可选数字1，有3种；第4步，确定，从上面余下的2个中选1个，再没其它数字可选，有2种；第5步，确定，从上面余下的1个中选1个，有1种.故一共有3332154种.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15已知ABC两内角A、B的对边边长分别为a、b， 则“”是“ ”的（ ）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件【答案】A由得，即，所以或，即或，所以“”是“ ”的充分非必要条件，选A.16已知函数，若函数为奇函数，则实数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B因为函数为奇函数，所以，即，所以选B.17若，
5、的方差为，则，的方差为（ ）A. B. C. D.【答案】D若，则,因为,所以，选D.18定义域为的函数图象的两个端点为，向量，是图象上任意一点，其中. 若不等式恒成立，则称函数在上满足“范围线性近似”，其中最小的正实数称为该函数的线性近似阀值 下列定义在上函数中，线性近似阀值最小的是 （ ） A. B. C. D.【答案】D解：N在线段AB上，且，又，xM=xN，|MN|=|yM-xN |. 不等式|MN|k恒成立|MN|maxk，最小的正实数k即是|MN|max. 对于(A)，A(1,1)，B(2,4)，AB方程为y=3x-2，如图1，|MN|= yN- yM =3x-2- x2=-(x-
6、)2+，当x=时，|MN|max=；对于(B)，A(1,2)，B(2,1)，AB方程为y=-x+3，如图2，|MN|= yN- yM =-x+3-=3-(x+)3-，当x=，即x=时，上式成立等号，|MN|max=3-；对于(C)，A(1,)，B(2, )，AB方程为y=，如图3，|MN|=yM-xN = sin-，当x=时，|MN|max=1-；对于(D)，A(1,0)，B(2,)，AB方程为y=x-，如图4，|MN|=yM-xN =，是|MN|的四个最大值中的最小的一个，线性近似阀值最小的是D.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤19（本小题满分12分，第
7、1小题满分6分，第2小题满分6分）如图，直三棱柱中，,.（1）求直三棱柱的体积；（2）若是的中点，求异面直线与所成的角.解：（1）；6分（2）设是的中点，连结，,是异面直线与所成的角.8分在中，.10分即.异面直线与所成的角为.12分20（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知复数.（1）若，求角；（2）复数对应的向量分别是,其中为坐标原点，求的取值范围.解：（1） =2分 4分 又 ， 6分（2） 10分 ，14分21（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形的空地上修建一个占地面积
8、为的矩形健身场地，如图点M在上，点N在上，且P点在斜边上，已知且米，.（1）试用表示，并求的取值范围；（2）设矩形健身场地每平方米的造价为，再把矩形以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为（为正常数），求总造价关于的函数；试问如何选取的长使总造价最低（不要求求出最低造价）.解：（1）在中，显然，2分矩形的面积，4分于是为所求.6分（2） 矩形健身场地造价 7分又的面积为，即草坪造价，8分由总造价，.10分，11分当且仅当即时等号成立，12分此时，解得或，所以选取的长为12米或18米时总造价最低.14分22（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）定义数列，如果
9、存在常数，使对任意正整数，总有成立，那么我们称数列为“摆动数列”（1）设，判断、是否为“摆动数列”，并说明理由；（2）设数列为“摆动数列”，求证：对任意正整数，总有成立；（3）设数列的前项和为，且，试问：数列是否为“摆动数列”，若是，求出的取值范围；若不是，说明理由.解：（1）假设数列是“摆动数列”，即存在常数，总有对任意成立，不妨取时，则，取时，则，显然常数不存在，所以数列不是“摆动数列”；2分而数列是“摆动数列”，.由，于是对任意成立，所以数列是“摆动数列”.4分（2）由数列为“摆动数列”，即存在常数，使对任意正整数，总有成立.即有成立.则，6分所以，7分同理，8分所以.9分因此对任意的，
10、都有成立.10分（3）当时，当时，综上，12分即存在，使对任意正整数，总有成立，所以数列是“摆动数列”；14分当为奇数时递减，所以，只要即可，当为偶数时递增，只要即可.15分综上.所以数列是“摆动数列”，的取值范围是.16分23（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分）设函数 （1）求函数和的解析式；（2）是否存在实数，使得恒成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（3）定义，且， 当时，求的解析式；已知下面正确的命题： 当时，都有恒成立. 若方程恰有15个不同的实数根，确定的取值；并求这15个不同的实数根的和.解：（1）函数函数4分（2），6分则当且仅当时，即.综上可知当时，有恒成立.8分（3） 当时，对于任意的正整数， 都有，故有 .13分 由可知当时，有，根据命题的结论可得，当时，故有，因此同理归纳得到，当时，15分时， 解方程得，要使方程在上恰有15个不同的实数根，则必须 解得方程的根17分这15个不同的实数根的和为：.18分